4. Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn

Đề bài

Câu 1 :

Giá trị của biểu thức $\sqrt {{{\left( {4 – \sqrt 5 } \right)}^2}} – \sqrt {6 – 2\sqrt 5 } $ là:

A.

$5-2\sqrt 5$
B.

$4$
C.

$2+2\sqrt 5$
D.

$1$

Câu 2 :

Giá trị của biểu thức $\sqrt {32} + \sqrt {50} – 3\sqrt 8 – \sqrt {18} $ là

A.

$1$
B.

$0$
C.

$2$
D.

$3$

Câu 3 :

Rút gọn biểu thức $5\sqrt a + 2\sqrt {\dfrac{a}{4}} – a\sqrt {\dfrac{4}{a}} – \sqrt {25a} $ với $a > 0$ ta được

A.

$\sqrt a $
B.

$4\sqrt a $
C.

$2\sqrt a $
D.

$ – \sqrt a $

Câu 4 :

Giá trị biểu thức $\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\sqrt {7 – 2\sqrt {10} } $ là

A.

$4$
B.

$5$
C.

$2$
D.

$3$

Câu 5 :

Rút gọn biểu thức $2\sqrt a – \sqrt {9{a^3}} + {a^2}\sqrt {\dfrac{{16}}{a}} + \dfrac{2}{{{a^2}}}\sqrt {36{a^5}} $ với $a > 0$ ta được

A.

$14\sqrt a + a\sqrt a $
B.

$14\sqrt a – a\sqrt a $
C.

$14\sqrt a + 2a\sqrt a $
D.

$20\sqrt a – 2a\sqrt a $

Câu 6 :

Đẳng thức nào dưới đây là đúng?

A.

$\dfrac{{a – b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} – 2ab + {b^2}}}} = a$ với $a – b > 0,b \ne 0$
B.

$\dfrac{{a – b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} – 2ab + {b^2}}}} = \left| a \right|$ với $a – b > 0,b \ne 0$
C.

$\dfrac{{a – b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} – 2ab + {b^2}}}} = ab$ với $a – b > 0,b \ne 0$
D.

$\dfrac{{a – b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} – 2ab + {b^2}}}} = a – b$ với $a – b > 0,b \ne 0$

Câu 7 :

Chọn khẳng định đúng?

A.

$\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 – \sqrt 6 }}{{\sqrt 8 – 2}} – \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ – a}}{{\sqrt 6 }}} \right) = \dfrac{{ – 3a}}{2}$
B.

$\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 – \sqrt 6 }}{{\sqrt 8 – 2}} – \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ – a}}{{\sqrt 6 }}} \right) = \dfrac{{3a}}{2}$
C.

$\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 – \sqrt 6 }}{{\sqrt 8 – 2}} – \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ – a}}{{\sqrt 6 }}} \right) = \dfrac{{ – a}}{2}$
D.

$\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 – \sqrt 6 }}{{\sqrt 8 – 2}} – \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ – a}}{{\sqrt 6 }}} \right) = \dfrac{a}{2}$

Câu 8 :

Cho biểu thức $P = \dfrac{{2x}}{{\sqrt x + 1}}$. Giá trị của $P$ khi $x = 9$ là

A.

$\dfrac{9}{2}$
B.

$\dfrac{9}{4}$
C.

$9$
D.

$18$

Câu 9 :

Cho biểu thức $P = \dfrac{x}{{\sqrt x + 1}}$. Giá trị của $P$ khi $x = \dfrac{2}{{2 – \sqrt 3 }}$ là

A.

$4$
B.

$2$
C.

$3$
D.

$1$

Câu 10 :

Cho biểu thức $P = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 2}}$.

Giá trị của $P$ khi $x = 3 + 2\sqrt 2 $ là:

A.

$4 + 3\sqrt 2 $
B.

$4 – 3\sqrt 2 $
C.

$3$
D.

$3\sqrt 2 $

Câu 11 :

Cho biểu thức $P = \dfrac{{x + 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}$với $x > 0$. So sánh $P$ với $4$.

A.

$P > 4$
B.

$P < 4$
C.

$P = 4$
D.

$P \le 4$

Câu 12 :

Cho biểu thức $P = \dfrac{{3\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 1}}$với $x \ge 0$. Tìm $x$ biết $P = \sqrt x $ .

A.

$1$
B.

$2$
C.

$3$
D.

$4$

Câu 13 :

Cho $P = \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}$.

Có bao nhiêu giá trị $x \in \mathbb{Z}$ để $P \in \mathbb{Z}$ ?

A.

$1$
B.

$2$
C.

$0$
D.

$4$

Câu 14 :

Cho $A = \dfrac{1}{{\sqrt 3 – 1}} – \sqrt {27} + \dfrac{3}{{\sqrt 3 }};$$B = \dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 5 + 2}} + \dfrac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 – 1}} – \dfrac{{3\sqrt 5 }}{{3 + \sqrt 5 }}$. Chọn câu đúng.

A.

$B > A > 0$
B.

$A < B < 0$
C.

$A < 0 < B$
D.

$B < 0 < A$

Câu 15 :

Cho $A = \dfrac{{2\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 2}}$ với $x \ge 0.$ Có bao nhiêu giá trị của $x$ để $A$ có giá trị nguyên.

A.

$2$
B.

$1$
C.

$0$
D.

$3$

Câu 16 :

Cho biểu thức $A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 2}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{2 + 5\sqrt x }}{{4 – x}}$ với $x \ge 0;x \ne 4$

Câu 16.1

Rút gọn biểu thức $A$ ta được

A

$A = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$
B

$A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$
C

$A = \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$
D

$A = \dfrac{3}{{\sqrt x + 2}}$

Câu 16.2

Tìm $x$ để $A = 2$.

A

$12$
B

$4$
C

$16$
D

$25$

Câu 17 :

Cho biểu thức

$B = \left( {\dfrac{{\sqrt x – 2}}{{x – 1}} – \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\dfrac{{{{\left( {1 – x} \right)}^2}}}{2}$ với $x \ge 0;x \ne 1$

Câu 17.1

Rút gọn biểu thức $B$ ta được

A

$B = x – \sqrt x $
B

$B = \sqrt x – x$
C

$B = \sqrt x + x$
D

$B = x + 2\sqrt x $

Câu 17.2

Tìm $x$ để $B > 0$

A

$x > 1$
B

$x < 2$
C

$0 < x < 1$
D

$x \le 1$

Câu 17.3

Tìm giá trị lớn nhất của $B$

A

$1$
B

$2$
C

$3$
D

$\dfrac{1}{4}$

Câu 18 :

Cho biểu thức $C = \dfrac{{2\sqrt x – 9}}{{x – 5\sqrt x + 6}} – \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x – 2}} – \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{3 – \sqrt x }}$

với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$.

Câu 18.1

Rút gọn biểu thức $C$ ta được

A

$C = \dfrac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x – 3}}$
B

$C = \dfrac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 3}}$
C

$C = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 3}}$
D

$C = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}}$

Câu 18.2

Tìm $x$ để $C < 1$

A

$0 \le x < 9$
B

$0 \le x < 9;x \ne 4$
C

$4 < x < 9$
D

$0 < x < 4$

Câu 19 :

Cho biểu thức $P = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}} – 1}} – \dfrac{1}{{\sqrt x – 1}}} \right):\left( {1 – \dfrac{{x + 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)$

Câu 19.1

Rút gọn P.

A

$P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x – 3}}$
B

$P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}$
C

$P = \dfrac{{3 + \sqrt x }}{{\sqrt x – 3}}$
D

$P = \dfrac{{ – \sqrt x }}{{\sqrt x – 3}}$

Câu 19.2

Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên dương.

A

$x = 1;x = 36$
B

$x = 16$
C

$x = 4;x = 6$
D

$x = 16; x = 36$

Câu 20 :

Tính giá trị của $A =\dfrac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + … + \dfrac{1}{{2018\sqrt {2017} + 2017\sqrt {2018} }}$

A.

$A=1-\dfrac{2}{\sqrt{2018}}$
B.

$A=1-\dfrac{1}{\sqrt{2028}}$
C.

$A=1-\dfrac{1}{\sqrt{2015}}$
D.

$A=1-\dfrac{1}{\sqrt{2018}}$

Câu 21 :

Rút gọn biểu thức: $T = \dfrac{{\left( {\sqrt {2a} – 2\sqrt 2 } \right)\left( {a – 1} \right)}}{{a – \sqrt a – 2}}\left( {a > 0;a \ne 4} \right)$

A.
$T = \left( {\sqrt a + 1} \right)$.
B.
$T = \left( {\sqrt a – 1} \right)$.
C.
$T = \sqrt 2 \left( {\sqrt a + 1} \right)$.
D.
$T = \sqrt 2 \left( {\sqrt a – 1} \right)$.

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Giá trị của biểu thức $\sqrt {{{\left( {4 – \sqrt 5 } \right)}^2}} – \sqrt {6 – 2\sqrt 5 } $ là:

A.

$5-2\sqrt 5$
B.

$4$
C.

$2+2\sqrt 5$
D.

$1$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

-Đưa biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức ${a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2};{a^2} – 2ab + {b^2} = {\left( {a – b} \right)^2}$

-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,\,A \ge 0\\ – A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.$

-Cộng trừ các căn thức bậc hai.

Lời giải chi tiết :

$\sqrt {{{\left( {4 – \sqrt 5 } \right)}^2}} – \sqrt {6 – 2\sqrt 5 } $$ = \sqrt {{{\left( {4 – \sqrt 5 } \right)}^2}} – \sqrt {5 – 2\sqrt 5 + 1} = \sqrt {{{\left( {4 – \sqrt 5 } \right)}^2}} – \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 – 1} \right)}^2}} $

$= \left| {4 – \sqrt 5 } \right| – \left| {\sqrt 5 – 1} \right| $

$= 4 – \sqrt 5 – \sqrt 5 + 1 =5-2\sqrt 5 $

Câu 2 :

Giá trị của biểu thức $\sqrt {32} + \sqrt {50} – 3\sqrt 8 – \sqrt {18} $ là

A.

$1$
B.

$0$
C.

$2$
D.

$3$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

-Sử dụng công thức khai phương một tích $\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B ,\,\,\left( {A,B \ge 0} \right)$ đưa biểu thức về các căn thức cùng loại (cùng biểu thức dưới dấu căn).

-Cộng trừ các căn thức

Lời giải chi tiết :

$\sqrt {32} + \sqrt {50} – 3\sqrt 8 – \sqrt {18} $$ = \sqrt {16.2} + \sqrt {25.2} – 3\sqrt {4.2} – \sqrt {9.2} $

$= 4\sqrt 2 + 5\sqrt 2 – 6\sqrt 2 – 3\sqrt 2 = 0$

Câu 3 :

Rút gọn biểu thức $5\sqrt a + 2\sqrt {\dfrac{a}{4}} – a\sqrt {\dfrac{4}{a}} – \sqrt {25a} $ với $a > 0$ ta được

A.

$\sqrt a $
B.

$4\sqrt a $
C.

$2\sqrt a $
D.

$ – \sqrt a $

Đáp án : D

Phương pháp giải :

-Khử mẫu biểu thức lấy căn theo công thức $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}\,\left( {A \ge 0,B > 0} \right)$

-Sử dụng công thức khai phương một thương $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$ với $A \ge 0,B > 0$ và công thức khai phương một tích $\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B ,\,\,\left( {A,B \ge 0} \right)$

-Cộng trừ các căn thức bậc hai.

Lời giải chi tiết :

$5\sqrt a + 2\sqrt {\dfrac{a}{4}} – a\sqrt {\dfrac{4}{a}} – \sqrt {25a} $$ = 5\sqrt a + 2.\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt 4 }} – a\dfrac{{\sqrt {4a} }}{a} – 5\sqrt a $$ = 5\sqrt a + \sqrt a – 2\sqrt a – 5\sqrt a $

$ = – \sqrt a $

Câu 4 :

Giá trị biểu thức $\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\sqrt {7 – 2\sqrt {10} } $ là

A.

$4$
B.

$5$
C.

$2$
D.

$3$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

-Đưa biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức ${a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2};{a^2} – 2ab + {b^2} = {\left( {a – b} \right)^2}$

-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,\,A \ge 0\\ – A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

$\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\sqrt {7 – 2\sqrt {10} } $

$=\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\sqrt {5 – 2\sqrt 5 .\sqrt 2 + 2} = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 – \sqrt 2 } \right)}^2}} = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\left| {\sqrt 5 – \sqrt 2 } \right|$

$ = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 5 – \sqrt 2 } \right) = 5 – 2 = 3$

Câu 5 :

Rút gọn biểu thức $2\sqrt a – \sqrt {9{a^3}} + {a^2}\sqrt {\dfrac{{16}}{a}} + \dfrac{2}{{{a^2}}}\sqrt {36{a^5}} $ với $a > 0$ ta được

A.

$14\sqrt a + a\sqrt a $
B.

$14\sqrt a – a\sqrt a $
C.

$14\sqrt a + 2a\sqrt a $
D.

$20\sqrt a – 2a\sqrt a $

Đáp án : A

Phương pháp giải :

-Khử mẫu biểu thức lấy căn theo công thức $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}\,\left( {A \ge 0,B > 0} \right)$

-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$

-Cộng trừ các căn thức bậc hai.

Lời giải chi tiết :

Với $a>0$ ta có $2\sqrt a – \sqrt {9{a^3}} + {a^2}\sqrt {\dfrac{{16}}{a}} + \dfrac{2}{{{a^2}}}\sqrt {36{a^5}} $$ = 2\sqrt a – \sqrt {9{a^2}.a} + {a^2}\dfrac{{\sqrt {16a} }}{a} + \dfrac{2}{{{a^2}}}.\sqrt {36{a^4}.a} $

$ = 2\sqrt a – 3a\sqrt a + 4a\sqrt a + \dfrac{2}{{{a^2}}}.6{a^2}\sqrt a $$ = 2\sqrt a – 3a\sqrt a + 4a\sqrt a + 12\sqrt a = 14\sqrt a + a\sqrt a $

Câu 6 :

Đẳng thức nào dưới đây là đúng?

A.

$\dfrac{{a – b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} – 2ab + {b^2}}}} = a$ với $a – b > 0,b \ne 0$
B.

$\dfrac{{a – b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} – 2ab + {b^2}}}} = \left| a \right|$ với $a – b > 0,b \ne 0$
C.

$\dfrac{{a – b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} – 2ab + {b^2}}}} = ab$ với $a – b > 0,b \ne 0$
D.

$\dfrac{{a – b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} – 2ab + {b^2}}}} = a – b$ với $a – b > 0,b \ne 0$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

-Sử dụng công thức khai phương một thương $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$ với $A \ge 0,B > 0$

-Đưa biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức ${a^2} – 2ab + {b^2} = {\left( {a – b} \right)^2}$

-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{{a – b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} – 2ab + {b^2}}}} = \dfrac{{a – b}}{{{b^2}}}.\dfrac{{\sqrt {{a^2}{b^4}} }}{{\sqrt {{{\left( {a – b} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\left( {a – b} \right)}}{{{b^2}}}.\dfrac{{\left| a \right|{b^2}}}{{\left| {a – b} \right|}} = \dfrac{{\left( {a – b} \right)}}{{{b^2}}}.\dfrac{{\left| a \right|{b^2}}}{{\left( {a – b} \right)}} = \left| a \right|$

Câu 7 :

Chọn khẳng định đúng?

A.

$\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 – \sqrt 6 }}{{\sqrt 8 – 2}} – \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ – a}}{{\sqrt 6 }}} \right) = \dfrac{{ – 3a}}{2}$
B.

$\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 – \sqrt 6 }}{{\sqrt 8 – 2}} – \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ – a}}{{\sqrt 6 }}} \right) = \dfrac{{3a}}{2}$
C.

$\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 – \sqrt 6 }}{{\sqrt 8 – 2}} – \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ – a}}{{\sqrt 6 }}} \right) = \dfrac{{ – a}}{2}$
D.

$\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 – \sqrt 6 }}{{\sqrt 8 – 2}} – \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ – a}}{{\sqrt 6 }}} \right) = \dfrac{a}{2}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

– Sử dụng đưa thừa số ra ngoài dấu căn theo công thức $\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|.B\,\,\left( {B \ge 0} \right)$, công thức khai phương một tích $\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B \,\,\,\left( {A \ge 0,B \ge 0} \right)$ và nhóm nhân tử chung để có thể rút gọn phân số trước khi quy đồng.

-Quy đồng mẫu số và cộng trừ các căn thức

Lời giải chi tiết :

Ta có $\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 – \sqrt 6 }}{{\sqrt 8 – 2}} – \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ – a}}{{\sqrt 6 }}} \right)$

$ = \left( {\dfrac{{2\sqrt 3 – \sqrt 2 .\sqrt 3 }}{{\sqrt {4.2} – 2}} – \dfrac{{\sqrt {36.6} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ – a}}{{\sqrt 6 }}} \right)$

$ = \left[ {\dfrac{{\sqrt 3 \left( {2 – \sqrt 2 } \right)}}{{2\sqrt 2 – 2}} – \dfrac{{6\sqrt 6 }}{3}} \right].\left( { – \dfrac{a}{{\sqrt 6 }}} \right)$

$ = \left[ {\dfrac{{\sqrt 6 \left( {\sqrt 2 – 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt 2 – 1} \right)}} – 2\sqrt 6 } \right].\left( { – \dfrac{a}{{\sqrt 6 }}} \right)$

$ = \left( {\dfrac{{\sqrt 6 }}{2} – 2\sqrt 6 } \right).\left( {\dfrac{{ – a}}{{\sqrt 6 }}} \right) $

$= \left( { – \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2}} \right).\left( {\dfrac{{ – a}}{{\sqrt 6 }}} \right)$

$= \dfrac{{3a}}{2}$

Câu 8 :

Cho biểu thức $P = \dfrac{{2x}}{{\sqrt x + 1}}$. Giá trị của $P$ khi $x = 9$ là

A.

$\dfrac{9}{2}$
B.

$\dfrac{9}{4}$
C.

$9$
D.

$18$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

-Thay giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức và thực hiện phép tính

Lời giải chi tiết :

Ta có $P = \dfrac{{2.9}}{{\sqrt 9 + 1}}$= $\dfrac{{18}}{3+1}$$= \dfrac{{18}}{4} = \dfrac{9}{2}.$

Câu 9 :

Cho biểu thức $P = \dfrac{x}{{\sqrt x + 1}}$. Giá trị của $P$ khi $x = \dfrac{2}{{2 – \sqrt 3 }}$ là

A.

$4$
B.

$2$
C.

$3$
D.

$1$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

-Sử dụng các phép biến đổi như trục căn thức ở mẫu và đưa về hằng đẳng thức để rút gọn biến số trước khi thay vào biểu thức

-Thay giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức và thực hiện phép tính

Lời giải chi tiết :

Ta có $x = \dfrac{2}{{2 – \sqrt 3 }} = \dfrac{{2\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {2 – \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}} = \dfrac{{4 + 2\sqrt 3 }}{{4 – 3}} = 4 + 2\sqrt 3 = {\left( {\sqrt 3 + 1} \right)^2}$.$ \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 3 + 1$

Khi đó ta có $P = \dfrac{{4 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 + 1 + 1}} = \dfrac{{4 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 + 2}} = \dfrac{{2\left( {\sqrt 3 + 2} \right)}}{{\sqrt 3 + 2}} = 2$.

Câu 10 :

Cho biểu thức $P = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 2}}$.

Giá trị của $P$ khi $x = 3 + 2\sqrt 2 $ là:

A.

$4 + 3\sqrt 2 $
B.

$4 – 3\sqrt 2 $
C.

$3$
D.

$3\sqrt 2 $

Đáp án : A

Phương pháp giải :

– Sử dụng hằng đẳng thức ${a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2};\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ để rút gọn biến số trước khi thay vào biểu thức.

– Thay giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức và thực hiện phép tính.

Lời giải chi tiết :

Ta có $x = 3 + 2\sqrt 2 $$ = {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^2}$

$\Rightarrow \sqrt x = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 + 1$

Thay $\sqrt x = \sqrt 2 + 1$ vào biểu thức $P$ ta được

$P = \dfrac{{\sqrt 2 + 1 + 1}}{{\sqrt 2 + 1 – 2}} = \dfrac{{\sqrt 2 + 2}}{{\sqrt 2 – 1}}$

$ = \dfrac{{\left( {\sqrt 2 + 2} \right)\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 2 – 1} \right)\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}} $

$= 4 + 3\sqrt 2 $

Câu 11 :

Cho biểu thức $P = \dfrac{{x + 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}$với $x > 0$. So sánh $P$ với $4$.

A.

$P > 4$
B.

$P < 4$
C.

$P = 4$
D.

$P \le 4$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

– Muốn so sánh hai biểu thức $A$ và $B$ ta so sánh hiệu $A – B$ với số $0$.

Nếu $A – B > 0 \Leftrightarrow A > B$, nếu $A – B < 0 \Leftrightarrow A < B$

-Khi so sánh với số $0$ ta thường đưa về hằng đẳng thức để so sánh.

Lời giải chi tiết :

Ta xét $P – 4 = \dfrac{{x + 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }} – 4 = \dfrac{{x + 2\sqrt x + 2 – 4\sqrt x }}{{\sqrt x }} = \dfrac{{x – 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}$$ = \dfrac{{\left( {x – 2\sqrt x + 1} \right) + 1}}{{\sqrt x }} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x – 1} \right)}^2} + 1}}{{\sqrt x }}$

Vì ${\left( {\sqrt x – 1} \right)^2} + 1 \ge 1 > 0,\,\forall x > 0$ và $\sqrt x > 0,\,\forall x > 0$ nên $P – 4 > 0 \Leftrightarrow P > 4$ với $x > 0$.

Câu 12 :

Cho biểu thức $P = \dfrac{{3\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 1}}$với $x \ge 0$. Tìm $x$ biết $P = \sqrt x $ .

A.

$1$
B.

$2$
C.

$3$
D.

$4$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Giải phương trình chứa căn bằng cách quy đồng mẫu số, đưa phương trình về dạng chứa căn cơ bản đã biết

Lời giải chi tiết :

Với $x \ge 0$ ta có $P = \sqrt x $

$\Leftrightarrow \dfrac{{3\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 1}} = \sqrt x $

$\Leftrightarrow \dfrac{{3\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 1}} = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}}$

$ \Rightarrow 3\sqrt x – 1 = x + \sqrt x $

$\Leftrightarrow x – 2\sqrt x + 1 = 0 $

$\Leftrightarrow {\left( {\sqrt x – 1} \right)^2} = 0 $

$\Leftrightarrow \sqrt x = 1 $

$\Leftrightarrow x = 1\,\left( {TM} \right)$

Câu 13 :

Cho $P = \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}$.

Có bao nhiêu giá trị $x \in \mathbb{Z}$ để $P \in \mathbb{Z}$ ?

A.

$1$
B.

$2$
C.

$0$
D.

$4$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng: với $P = \dfrac{a}{b}$ với $a,b \in \mathbb{Z}$ thì $P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow a \vdots b$

Lời giải chi tiết :

Ta có để $P = \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}$ thì $2 \vdots \left( {\sqrt x + 1} \right)$ $\Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 1} \right) \in $Ư$\left( 2 \right) = \left\{ {1; – 1;2; – 2} \right\}$

Mà $\sqrt x + 1 > 0$ với $x \ge 0$ nên $\sqrt x + 1 \in \left\{ {1;2} \right\}$

+) $\sqrt x + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0$ (TM )

+) $\sqrt x + 1 = 2 \Leftrightarrow x = 1$ (TM )

Vậy có hai giá trị của $x$ thỏa mãn điều kiện.

Câu 14 :

A.

$B > A > 0$
B.

$A < B < 0$
C.

$A < 0 < B$
D.

$B < 0 < A$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

– Tính giá trị $A$ và $B$ rồi so sánh.

– Sử dụng $\sqrt {A.B} = \sqrt A .\sqrt B \left( {A,B \ge 0} \right);$$\dfrac{1}{{\sqrt A – B}} = \dfrac{{\sqrt A + B}}{{A – {B^2}}}\,\left( {A \ge 0;A \ne {B^2}} \right)$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $A = \dfrac{1}{{\sqrt 3 – 1}} – \sqrt {27} + \dfrac{3}{{\sqrt 3 }} $$= \dfrac{{\sqrt 3 + 1}}{{\left( {\sqrt 3 – 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}} – \sqrt {9.3} + \dfrac{{\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }}$

$ = \dfrac{{\sqrt 3 + 1}}{2} – 3\sqrt 3 + \sqrt 3 $$ = \dfrac{{\sqrt 3 + 1 – 4\sqrt 3 }}{2}$$ = \dfrac{{1 – 3\sqrt 3 }}{2}$

Và $B = \dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 5 + 2}} + \dfrac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 – 1}} – \dfrac{{3\sqrt 5 }}{{3 + \sqrt 5 }} $$= \dfrac{{\left( {5 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 5 – 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 – 2} \right)}} + \dfrac{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 5 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 5 – 1} \right)\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}} – \dfrac{{3\sqrt 5 \left( {3 – \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 – \sqrt 5 } \right)}}$

$ = \dfrac{{3\sqrt 5 – 5}}{1} + \dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{4} – \dfrac{{9\sqrt 5 – 15}}{4} $$= \dfrac{{12\sqrt 5 – 20 + 5 + \sqrt 5 – 9\sqrt 5 + 15}}{4} = \sqrt 5 $

Ta thấy $A = \dfrac{{1 – 3\sqrt 3 }}{2} < 0\,\left( {do\,1 – 3\sqrt 3 < 0} \right)$ và $B = \sqrt 5 > 0$ nên $A < 0 < B$.

Câu 15 :

Cho $A = \dfrac{{2\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 2}}$ với $x \ge 0.$ Có bao nhiêu giá trị của $x$ để $A$ có giá trị nguyên.

A.

$2$
B.

$1$
C.

$0$
D.

$3$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Ta đánh giá giá trị của $A$ sau đó chọn ra các giá trị nguyên $A$ có thể đạt được, từ đó tìm $x.$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $A = \dfrac{{2\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 2}} = \dfrac{{\left( {2\sqrt x + 4} \right) – 5}}{{\sqrt x + 2}} = \dfrac{{2\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x + 2}} – \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}} = 2 – \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}}$

Ta có: $x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt x + 2 \ge 2 > 0 \Rightarrow \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}} > 0$ suy ra $2 – \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}} < 2$ hay $A < 2$ (1)

Lại có: $\sqrt x + 2 \ge 2 \Rightarrow \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}} \le \dfrac{5}{2}$ suy ra $2 – \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}} \ge 2 – \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow A \ge – \dfrac{1}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $ – \dfrac{1}{2} \le A < 2$ mà $A \in \mathbb{Z} \Rightarrow A \in \left\{ {0;1} \right\}$

+ Với $A = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{2\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 2}} = 0 \Rightarrow 2\sqrt x – 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}\left( {tm} \right)$

+ Với $A = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{2\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 2}} = 1 \Rightarrow 2\sqrt x – 1 = \sqrt x + 2 \Leftrightarrow \sqrt x = 3 \Leftrightarrow x = 9\left( {tm} \right)$

Vậy với $x = \dfrac{1}{4};x = 9$ thì $A$ đạt giá trị nguyên. Hay có 2 giá trị của $x$ thỏa mãn đề bài.

Câu 16 :

Cho biểu thức $A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 2}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{2 + 5\sqrt x }}{{4 – x}}$ với $x \ge 0;x \ne 4$

Câu 16.1

Rút gọn biểu thức $A$ ta được

A

$A = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$
B

$A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$
C

$A = \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$
D

$A = \dfrac{3}{{\sqrt x + 2}}$

Đáp án: A

Phương pháp giải :

– Xác định mẫu thức chung

– Quy đồng mẫu thức các phân thức

-Cộng trừ các phân thức đã quy đồng

Chú ý sử dụng linh hoạt các hằng đẳng thức và các phép biến đổi đơn giản đã biết

Lời giải chi tiết :

Ta có $A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 2}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{2 + 5\sqrt x }}{{4 – x}}$$ = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) + 2\sqrt x \left( {\sqrt x – 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} – \dfrac{{2 + 5\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$

$ = \dfrac{{x + 3\sqrt x + 2 + 2x – 4\sqrt x – 2 – 5\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$$ = \dfrac{{3x – 6\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$$ = \dfrac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x – 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x – 2} \right)}} = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$

Vậy $A = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$ với $x \ge 0;x \ne 4$

Câu 16.2

Tìm $x$ để $A = 2$.

A

$12$
B

$4$
C

$16$
D

$25$

Đáp án: C

Phương pháp giải :

– Sử dụng kết quả câu trước $A = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$ với $x \ge 0;x \ne 4$

– Cho $A=2$ rồi quy đồng mẫu số hoặc nhân chéo để đưa phương trình về dạng cơ bản đã biết

Lời giải chi tiết :

Với $x \ge 0;x \ne 4$ ta có $A = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$

Xét $A = 2$$ \Leftrightarrow \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = 2 \Rightarrow 3\sqrt x = 2\left( {\sqrt x + 2} \right) \Leftrightarrow \sqrt x = 4 $

$\Leftrightarrow x = 16\,\,\left( {TM} \right)$

Vậy $x = 16$.

Câu 17 :

Cho biểu thức

$B = \left( {\dfrac{{\sqrt x – 2}}{{x – 1}} – \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\dfrac{{{{\left( {1 – x} \right)}^2}}}{2}$ với $x \ge 0;x \ne 1$

Câu 17.1

Rút gọn biểu thức $B$ ta được

A

$B = x – \sqrt x $
B

$B = \sqrt x – x$
C

$B = \sqrt x + x$
D

$B = x + 2\sqrt x $

Đáp án: B

Phương pháp giải :

– Xác định mẫu thức chung

– Quy đồng mẫu thức các phân thức

-Cộng trừ các phân thức đã quy đồng

Chú ý sử dụng linh hoạt các hằng đẳng thức và các phép biến đổi đơn giản đã biết

Lời giải chi tiết :

Ta có $B = \left( {\dfrac{{\sqrt x – 2}}{{x – 1}} – \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\dfrac{{{{\left( {1 – x} \right)}^2}}}{2}$$ = \left( {\dfrac{{\sqrt x – 2}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} – \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \right).\dfrac{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}{2}$

$ = \left( {\dfrac{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} – \dfrac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x – 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \right).\dfrac{{{{\left( {\sqrt x – 1} \right)}^2}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{2}$

$ = \dfrac{{x – \sqrt x – 2 – x – \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\dfrac{{{{\left( {\sqrt x – 1} \right)}^2}.{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{2}$$ = \dfrac{{ – 2\sqrt x \left( {\sqrt x – 1} \right)}}{2} = \sqrt x – x$

Vậy $B = \sqrt x – x$.

Câu 17.2

Tìm $x$ để $B > 0$

A

$x > 1$
B

$x < 2$
C

$0 < x < 1$
D

$x \le 1$

Đáp án: C

Phương pháp giải :

-Đưa về phương trình tích rồi xét các trường hợp

-So sánh với điều kiện rồi kết luận nghiệm

Lời giải chi tiết :

Theo câu trước ta có $B = \sqrt x – x$.

Xét $B > 0$$ \Leftrightarrow \sqrt x – x > 0 \Leftrightarrow \sqrt x \left( {1 – \sqrt x } \right) > 0$

Với $x \ge 0$, $x \ne 1$ ta có $\sqrt x \ge 0$ nên $\sqrt x \left( {1 – \sqrt x } \right) > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 – \sqrt x > 0\\x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x < 1\\x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 1\\x \ne 0\end{array} \right.$

Kết hợp điều kiện ta có $0 < x < 1$.

Câu 17.3

Tìm giá trị lớn nhất của $B$

A

$1$
B

$2$
C

$3$
D

$\dfrac{1}{4}$

Đáp án: D

Phương pháp giải :

Thêm bớt hạng tử để đưa biểu thức về hằng đẳng thức để đánh giá.

Lời giải chi tiết :

Ta có $B = \sqrt x – x$ với $x \ge 0;x \ne 1$

Khi đó $B = \sqrt x – x = – \left( {x – \sqrt x } \right) = \dfrac{1}{4} – \left( {x – \sqrt x + \dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{1}{4} – {\left( {\sqrt x – \dfrac{1}{2}} \right)^2}$

Nhận thây $\dfrac{1}{4} – {\left( {\sqrt x – \dfrac{1}{2}} \right)^2} \le \dfrac{1}{4}$ với $x \ge 0;x \ne 1$

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt x – \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}\,\,\left( {TM} \right)$

Vậy giá trị lớn nhất của $B$ là $\dfrac{1}{4}$ khi và chỉ khi $x = \dfrac{1}{4}$.

Câu 18 :

Cho biểu thức $C = \dfrac{{2\sqrt x – 9}}{{x – 5\sqrt x + 6}} – \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x – 2}} – \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{3 – \sqrt x }}$

với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$.

Câu 18.1

Rút gọn biểu thức $C$ ta được

A

$C = \dfrac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x – 3}}$
B

$C = \dfrac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 3}}$
C

$C = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 3}}$
D

$C = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}}$

Đáp án: C

Phương pháp giải :

-Tìm mẫu thức chung bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử

-Quy đồng mẫu thức các phân thức.

-Cộng trừ các phân thức đã quy đồng và rút gọn.

Lời giải chi tiết :

Ta có $x – 5\sqrt x + 6 = x – 2\sqrt x – 3\sqrt x + 6 = \sqrt x \left( {\sqrt x – 2} \right) – 3\left( {\sqrt x – 2} \right) = \left( {\sqrt x – 3} \right)\left( {\sqrt x – 2} \right)$ nên

$C = \dfrac{{2\sqrt x – 9}}{{x – 5\sqrt x + 6}} – \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x – 2}} – \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{3 – \sqrt x }}$$ = \dfrac{{2\sqrt x – 9}}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}} – \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x – 2}} + \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 3}}$

$ = \dfrac{{2\sqrt x – 9 – \left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right) + \left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x – 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}}$$ = \dfrac{{2\sqrt x – 9 – x + 9 + 2x – 3\sqrt x – 2}}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}}$

$ = \dfrac{{x – \sqrt x – 2}}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}} = \dfrac{{x – 2\sqrt x + \sqrt x – 2}}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x – 2} \right) + \left( {\sqrt x – 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}} = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x – 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 3}}$

Vậy $C = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 3}}$với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$

Câu 18.2

Tìm $x$ để $C < 1$

A

$0 \le x < 9$
B

$0 \le x < 9;x \ne 4$
C

$4 < x < 9$
D

$0 < x < 4$

Đáp án: B

Phương pháp giải :

– Chuyển vế, quy đồng các phân thức sau đó xét các trường hợp xảy ra của bất phương trình

-So sánh điều kiện rồi kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết :

Theo câu trước ta có $C = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 3}}$ với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$

Để $C < 1$$ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 3}} < 1 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 3}} – \dfrac{{\sqrt x – 3}}{{\sqrt x – 3}} < 0 \Leftrightarrow \dfrac{4}{{\sqrt x – 3}} < 0$

Mà $4 > 0$ nên $\sqrt x – 3 < 0 \Leftrightarrow \sqrt x < 3 \Rightarrow x < 9$

Kết hợp điều kiện $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$ suy ra $0 \le x < 9;x \ne 4$.

Câu 19 :

Cho biểu thức $P = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}} – 1}} – \dfrac{1}{{\sqrt x – 1}}} \right):\left( {1 – \dfrac{{x + 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)$

Câu 19.1

Rút gọn P.

A

$P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x – 3}}$
B

$P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}$
C

$P = \dfrac{{3 + \sqrt x }}{{\sqrt x – 3}}$
D

$P = \dfrac{{ – \sqrt x }}{{\sqrt x – 3}}$

Đáp án: A

Phương pháp giải :

– Tìm mẫu thức chung bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử.

– Quy đồng mẫu thức các phân thức.

– Cộng trừ các phân thức đã quy đồng và rút gọn.

Lời giải chi tiết :

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}} – 1}} – \dfrac{1}{{\sqrt x – 1}}} \right):\left( {1 – \dfrac{{x + 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\\ = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} – \dfrac{1}{{\sqrt x – 1}}} \right):\left( {\dfrac{{x + \sqrt x + 1 – x – 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\\ = \dfrac{{2x + 1 – x – \sqrt x – 1}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x – 3}}{{x + \sqrt x + 1}}\\ = \dfrac{{x – \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 3}}\,\,\,\,\left( {x \ne 9} \right)\\ = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x – 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x – 3}}.\end{array}$

Vậy $P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x – 3}}$ với $x \ge 0;x \ne 1;x \ne 9$

Câu 19.2

Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên dương.

A

$x = 1;x = 36$
B

$x = 16$
C

$x = 4;x = 6$
D

$x = 16; x = 36$

Đáp án: D

Phương pháp giải :

Sử dụng kết quả câu trước $P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x – 3}}$ với $x \ge 0;x \ne 1;x \ne 9$

Đưa P về dạng $P = a + \dfrac{m}{{\sqrt x – 3}}\left( {a;m \in \mathbb{Z}} \right)$, khi đó để $P$ nhận giá trị là số nguyên dương thì $\left\{ \begin{array}{l}P \in \mathbb{Z}\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{m}{{\sqrt x – 3}} \in \mathbb{Z}\\a + \dfrac{m}{{\sqrt x – 3}} > 0\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\\x \ne 9\end{array} \right.$

Ta có: $P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x – 3}} = \dfrac{{\sqrt x – 3 + 3}}{{\sqrt x – 3}} = 1 + \dfrac{3}{{\sqrt x – 3}}.$

Để $P$ nhận giá trị là số nguyên dương thì $\left\{ \begin{array}{l}P \in \mathbb{Z}\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{{\sqrt x – 3}} \in \mathbb{Z}\\1 + \dfrac{3}{{\sqrt x – 3}} > 0\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{{\sqrt x – 3}} \in Z\\\dfrac{3}{{\sqrt x – 3}} > – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{{\sqrt x – 3}} \in Z\\\dfrac{{3 + \sqrt x – 3}}{{\sqrt x – 3}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {\sqrt x – 3} \right) \in U\left( 3 \right)(1)\\\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x – 3}} > 0(2)\end{array} \right.\\(1) \Leftrightarrow \left( {\sqrt x – 3} \right) \in \left\{ {1;\,\,3} \right\}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x – 3 = 1\\\sqrt x – 3 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 4\\\sqrt x = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 16\,\,\left( {tm} \right)\\x = 36\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy x = 16 hoặc x = 36 thì P nguyên dương.

Câu 20 :

Tính giá trị của $A =\dfrac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + … + \dfrac{1}{{2018\sqrt {2017} + 2017\sqrt {2018} }}$

A.

$A=1-\dfrac{2}{\sqrt{2018}}$
B.

$A=1-\dfrac{1}{\sqrt{2028}}$
C.

$A=1-\dfrac{1}{\sqrt{2015}}$
D.

$A=1-\dfrac{1}{\sqrt{2018}}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng: $\dfrac{1}{{k\sqrt {k – 1} + \left( {k – 1} \right)\sqrt k }} $$= \dfrac{1}{{\sqrt {k – 1} }} – \dfrac{1}{{\sqrt k }}$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $k\sqrt {k – 1} + \left( {k – 1} \right)\sqrt k \, = \sqrt {k\left( {k – 1} \right)} \left( {\sqrt k + \sqrt {k – 1} } \right)$ với $k \ge 1$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{k\sqrt {k – 1} + \left( {k – 1} \right)\sqrt k }} \\= \dfrac{1}{{\sqrt {k\left( {k – 1} \right)} \left( {\sqrt k + \sqrt {k – 1} } \right)}} \\= \dfrac{{\left( {\sqrt k – \sqrt {k – 1} } \right)}}{{\sqrt {k\left( {k – 1} \right)} \left( {\sqrt k + \sqrt {k – 1} } \right)\left( {\sqrt k – \sqrt {k – 1} } \right)}}\\ = \dfrac{{\sqrt k – \sqrt {k – 1} }}{{\sqrt {k\left( {k – 1} \right)} }} \\= \dfrac{{\sqrt k – \sqrt {k – 1} }}{{\sqrt k .\sqrt {k – 1} }} \\= \dfrac{1}{{\sqrt {k – 1} }} – \dfrac{1}{{\sqrt k }}\end{array}$

Thay lại vào A ta được:

$A = \dfrac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }}$$ + … + \dfrac{1}{{2018\sqrt {2017} + 2017\sqrt {2018} }}$$= \,\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 1 }} – \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }} – \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) $$+ ….. + \left( {\dfrac{1}{{\sqrt {2017} }} – \dfrac{1}{{\sqrt {2018} }}} \right)$$= 1 – \dfrac{1}{{\sqrt {2018} }}$

Câu 21 :

Rút gọn biểu thức: $T = \dfrac{{\left( {\sqrt {2a} – 2\sqrt 2 } \right)\left( {a – 1} \right)}}{{a – \sqrt a – 2}}\left( {a > 0;a \ne 4} \right)$

A.
$T = \left( {\sqrt a + 1} \right)$.
B.
$T = \left( {\sqrt a – 1} \right)$.
C.
$T = \sqrt 2 \left( {\sqrt a + 1} \right)$.
D.
$T = \sqrt 2 \left( {\sqrt a – 1} \right)$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi rút gọn.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}T = \dfrac{{\left( {\sqrt {2a} – 2\sqrt 2 } \right)\left( {a – 1} \right)}}{{a – \sqrt a – 2}}\,\,\,\,\left( {a > 0;a \ne 4} \right)\\ = \dfrac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt a – 2} \right)\left( {\sqrt a – 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a – 2} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}\\ = \sqrt 2 \left( {\sqrt a – 1} \right)\end{array}$

Vậy $T = \sqrt 2 \left( {\sqrt a – 1} \right)$.

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE