4. Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn

Đề bài

Câu 1 :

Giá trị của biểu thức (45)2625   là:

  • A.

    525

  • B.

    4

  • C.

    2+25

  • D.

    1

Câu 2 :

Giá trị của biểu thức 32+503818

  • A.

    1

  • B.

    0

  • C.

    2

  • D.

    3

Câu 3 :

Rút gọn biểu thức 5a+2a4a4a25a  với a>0 ta được

  • A.

    a

  • B.

    4a

  • C.

    2a

  • D.

    a

Câu 4 :

Giá trị biểu thức (5+2)7210

  • A.

    4

  • B.

    5

  • C.

    2

  • D.

    3

Câu 5 :

Rút gọn biểu thức 2a9a3+a216a+2a236a5 với a>0 ta được 

  • A.

    14a+aa

  • B.

    14aaa

  • C.

    14a+2aa

  • D.

    20a2aa

Câu 6 :

Đẳng thức nào dưới đây là đúng?

  • A.

    abb2a2b4a22ab+b2=a với ab>0,b0

  • B.

    abb2a2b4a22ab+b2=|a| với ab>0,b0

  • C.

    abb2a2b4a22ab+b2=ab với ab>0,b0

  • D.

    abb2a2b4a22ab+b2=ab với ab>0,b0

Câu 7 :

Chọn khẳng định đúng?

  • A.

    (236822163).(a6)=3a2

  • B.

    (236822163).(a6)=3a2

  • C.

    (236822163).(a6)=a2

  • D.

    (236822163).(a6)=a2

Câu 8 :

Cho biểu thức P=2xx+1. Giá trị của P khi x=9

  • A.

    92

  • B.

    94

  • C.

    9

  • D.

    18

Câu 9 :

Cho biểu thức P=xx+1. Giá trị của P khi x=223

  • A.

    4

  • B.

    2

  • C.

    3

  • D.

    1

Câu 10 :

Cho biểu thức P=x+1x2.

Giá trị của P khi x=3+22 là:

  • A.

    4+32

  • B.

    432

  • C.

    3

  • D.

    32

Câu 11 :

Cho biểu thức P=x+2x+2xvới x>0. So sánh P với 4.

  • A.

    P>4

  • B.

    P<4

  • C.

    P=4

  • D.

    P4

Câu 12 :

Cho biểu thức P=3x1x+1với x0. Tìm x biết P=x .

  • A.

    1

  • B.

    2

  • C.

    3

  • D.

    4

Câu 13 :

Cho P=2x+1.

Có bao nhiêu giá trị xZ để PZ ?

  • A.

    1

  • B.

    2

  • C.

    0

  • D.

    4

Câu 14 :

Cho A=13127+33;B=5+55+2+551353+5. Chọn câu đúng.

  • A.

    B>A>0

  • B.

    A<B<0

  • C.

    A<0<B

  • D.

    B<0<A

Câu 15 :

Cho A=2x1x+2 với x0. Có bao nhiêu giá trị của x để A có giá trị nguyên.

  • A.

    2     

  • B.

    1     

  • C.

    0     

  • D.

    3     

Câu 16 :

Cho biểu thức A=x+1x2+2xx+2+2+5x4x với x0;x4

Câu 16.1

Rút gọn biểu thức A ta được

  • A

    A=3xx+2

  • B

    A=xx+2

  • C

    A=2xx+2

  • D

    A=3x+2

Câu 16.2

Tìm x để A=2.

  • A

    12

  • B

    4

  • C

    16

  • D

    25

Câu 17 :

Cho biểu thức

B=(x2x1x+2x+2x+1).(1x)22 với x0;x1

Câu 17.1

Rút gọn biểu thức B ta được 

  • A

    B=xx

  • B

    B=xx

  • C

    B=x+x

  • D

    B=x+2x

Câu 17.2

Tìm x để B>0

  • A

    x>1

  • B

    x<2

  • C

    0<x<1

  • D

    x1

Câu 17.3

Tìm giá trị lớn nhất của B

  • A

    1

  • B

    2

  • C

    3

  • D

    14

Câu 18 :

Cho biểu thức C=2x9x5x+6x+3x22x+13x

với x0;x4;x9.

Câu 18.1

Rút gọn biểu thức C ta được

  • A

    C=x1x3

  • B

    C=x1x+3

  • C

    C=x+1x3

  • D

    C=x+1x+3

Câu 18.2

Tìm x để C<1

  • A

    0x<9

  • B

    0x<9;x4

  • C

    4<x<9

  • D

    0<x<4

Câu 19 :

Cho biểu thức P=(2x+1x311x1):(1x+4x+x+1)

Câu 19.1

Rút gọn P.

  • A

    P=xx3

  • B

    P=xx+3

  • C

    P=3+xx3

  • D

    P=xx3  

Câu 19.2

Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên dương.

  • A

    x=1;x=36

  • B

    x=16

  • C

    x=4;x=6

  • D

    x=16;x=36

Câu 20 :

Tính giá trị của A=121+12+132+23++120182017+20172018

  • A.

    A=122018

  • B.

    A=112028

  • C.

    A=112015

  • D.

    A=112018

Câu 21 :

Rút gọn biểu thức: T=(2a22)(a1)aa2(a>0;a4)

  • A.
    T=(a+1).
  • B.
    T=(a1).
  • C.
    T=2(a+1).
  • D.
    T=2(a1).

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Giá trị của biểu thức (45)2625   là:

  • A.

    525

  • B.

    4

  • C.

    2+25

  • D.

    1

Đáp án : A

Phương pháp giải :

-Đưa biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức a2+2ab+b2=(a+b)2;a22ab+b2=(ab)2

-Sử dụng hằng đẳng thức A2=|A|={AkhiA0AkhiA<0

-Cộng trừ các căn thức bậc hai.

Lời giải chi tiết :

(45)2625=(45)2525+1=(45)2(51)2

=|45||51|

=455+1=525

Câu 2 :

Giá trị của biểu thức 32+503818

  • A.

    1

  • B.

    0

  • C.

    2

  • D.

    3

Đáp án : B

Phương pháp giải :

-Sử dụng công thức khai phương một tích  AB=A.B,(A,B0) đưa biểu thức về các căn thức cùng loại (cùng biểu thức dưới dấu căn).

-Cộng trừ các căn thức

Lời giải chi tiết :

32+503818=16.2+25.234.29.2

=42+526232=0

Câu 3 :

Rút gọn biểu thức 5a+2a4a4a25a  với a>0 ta được

  • A.

    a

  • B.

    4a

  • C.

    2a

  • D.

    a

Đáp án : D

Phương pháp giải :

-Khử mẫu biểu thức lấy căn theo công thức AB=ABB(A0,B>0)

-Sử dụng công thức khai phương một thương AB=AB với A0,B>0 và công thức khai phương một tích  AB=A.B,(A,B0)

-Cộng trừ các căn thức bậc hai.

Lời giải chi tiết :

5a+2a4a4a25a=5a+2.a4a4aa5a=5a+a2a5a

=a

Câu 4 :

Giá trị biểu thức (5+2)7210

  • A.

    4

  • B.

    5

  • C.

    2

  • D.

    3

Đáp án : D

Phương pháp giải :

-Đưa biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức a2+2ab+b2=(a+b)2;a22ab+b2=(ab)2

-Sử dụng hằng đẳng thức A2=|A|={AkhiA0AkhiA<0

Lời giải chi tiết :

(5+2)7210

=(5+2)525.2+2=(5+2)(52)2=(5+2)|52|

=(5+2)(52)=52=3

Câu 5 :

Rút gọn biểu thức 2a9a3+a216a+2a236a5 với a>0 ta được 

  • A.

    14a+aa

  • B.

    14aaa

  • C.

    14a+2aa

  • D.

    20a2aa

Đáp án : A

Phương pháp giải :

-Sử dụng công thức khai phương một thương AB=AB với A0,B>0 và công thức khai phương một tích  AB=A.B,(A,B0)

-Khử mẫu biểu thức lấy căn theo công thức AB=ABB(A0,B>0)

-Sử dụng hằng đẳng thức A2=|A|

-Cộng trừ các căn thức bậc hai.

Lời giải chi tiết :

Với a>0 ta có 2a9a3+a216a+2a236a5=2a9a2.a+a216aa+2a2.36a4.a

=2a3aa+4aa+2a2.6a2a=2a3aa+4aa+12a=14a+aa

Câu 6 :

Đẳng thức nào dưới đây là đúng?

  • A.

    abb2a2b4a22ab+b2=a với ab>0,b0

  • B.

    abb2a2b4a22ab+b2=|a| với ab>0,b0

  • C.

    abb2a2b4a22ab+b2=ab với ab>0,b0

  • D.

    abb2a2b4a22ab+b2=ab với ab>0,b0

Đáp án : B

Phương pháp giải :

 

-Sử dụng công thức khai phương một thương AB=AB với A0,B>0

-Đưa biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức a22ab+b2=(ab)2

-Sử dụng hằng đẳng thức A2=|A|

Lời giải chi tiết :

Ta có abb2a2b4a22ab+b2=abb2.a2b4(ab)2=(ab)b2.|a|b2|ab|=(ab)b2.|a|b2(ab)=|a|

 

Câu 7 :

Chọn khẳng định đúng?

  • A.

    (236822163).(a6)=3a2

  • B.

    (236822163).(a6)=3a2

  • C.

    (236822163).(a6)=a2

  • D.

    (236822163).(a6)=a2

Đáp án : B

Phương pháp giải :

– Sử dụng đưa thừa số ra ngoài dấu căn theo công thức  A2B=|A|.B(B0), công thức khai phương một tích AB=A.B(A0,B0) và nhóm nhân tử chung để có thể rút gọn phân số trước khi quy đồng.

-Quy đồng mẫu số và cộng trừ các căn thức

Lời giải chi tiết :

Ta có (236822163).(a6)

=(232.34.2236.63).(a6)

=[3(22)222663].(a6)

=[6(21)2(21)26].(a6)

=(6226).(a6)

=(362).(a6)

=3a2

Câu 8 :

Cho biểu thức P=2xx+1. Giá trị của P khi x=9

  • A.

    92

  • B.

    94

  • C.

    9

  • D.

    18

Đáp án : A

Phương pháp giải :

-Thay giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức và thực hiện phép tính

Lời giải chi tiết :

Ta có P=2.99+1= 183+1=184=92.

Câu 9 :

Cho biểu thức P=xx+1. Giá trị của P khi x=223

  • A.

    4

  • B.

    2

  • C.

    3

  • D.

    1

Đáp án : B

Phương pháp giải :

-Sử dụng các phép biến đổi như trục căn thức ở mẫu và đưa về hằng đẳng thức để rút gọn biến số trước khi thay vào biểu thức

-Thay giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức và thực hiện phép tính

Lời giải chi tiết :

Ta có x=223=2(2+3)(23)(2+3)=4+2343=4+23=(3+1)2.x=(3+1)2=3+1

Khi đó ta có P=4+233+1+1=4+233+2=2(3+2)3+2=2.

Câu 10 :

Cho biểu thức P=x+1x2.

Giá trị của P khi x=3+22 là:

  • A.

    4+32

  • B.

    432

  • C.

    3

  • D.

    32

Đáp án : A

Phương pháp giải :

– Sử dụng  hằng đẳng thức a2+2ab+b2=(a+b)2;A2=|A| để rút gọn biến số trước khi thay vào biểu thức.

– Thay giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức và thực hiện phép tính.

Lời giải chi tiết :

Ta có x=3+22=(2+1)2

x=(2+1)2=2+1

Thay x=2+1 vào biểu thức P ta được

P=2+1+12+12=2+221

=(2+2)(2+1)(21)(2+1)

=4+32

Câu 11 :

Cho biểu thức P=x+2x+2xvới x>0. So sánh P với 4.

  • A.

    P>4

  • B.

    P<4

  • C.

    P=4

  • D.

    P4

Đáp án : A

Phương pháp giải :

– Muốn so sánh hai biểu thức AB ta so sánh hiệu AB với số 0.

Nếu AB>0A>B, nếu AB<0A<B

-Khi so sánh với số 0 ta thường đưa về hằng đẳng thức để so sánh.

Lời giải chi tiết :

Ta xét P4=x+2x+2x4=x+2x+24xx=x2x+2x=(x2x+1)+1x=(x1)2+1x

(x1)2+11>0,x>0x>0,x>0 nên P4>0P>4 với x>0.

Câu 12 :

Cho biểu thức P=3x1x+1với x0. Tìm x biết P=x .

  • A.

    1

  • B.

    2

  • C.

    3

  • D.

    4

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Giải phương trình chứa căn bằng cách quy đồng mẫu số, đưa phương trình về dạng chứa căn cơ bản đã biết

Lời giải chi tiết :

Với x0 ta có P=x

3x1x+1=x

3x1x+1=x(x+1)x+1

3x1=x+x

x2x+1=0

(x1)2=0

x=1

x=1(TM)

Câu 13 :

Cho P=2x+1.

Có bao nhiêu giá trị xZ để PZ ?

  • A.

    1

  • B.

    2

  • C.

    0

  • D.

    4

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng: với P=ab với a,bZ thì PZab

Lời giải chi tiết :

Ta có để P=2x+1 thì 2(x+1) (x+1)Ư(2)={1;1;2;2}

x+1>0 với x0 nên x+1{1;2}

+) x+1=1x=0 (TM )

+) x+1=2x=1 (TM )

Vậy có hai giá trị của x thỏa mãn điều kiện.

Câu 14 :

Cho A=13127+33;B=5+55+2+551353+5. Chọn câu đúng.

  • A.

    B>A>0

  • B.

    A<B<0

  • C.

    A<0<B

  • D.

    B<0<A

Đáp án : C

Phương pháp giải :

– Tính giá trị AB rồi so sánh.

– Sử dụng A.B=A.B(A,B0);1AB=A+BAB2(A0;AB2)

Lời giải chi tiết :

Ta có: A=13127+33=3+1(31)(3+1)9.3+3.33

=3+1233+3=3+1432=1332

B=5+55+2+551353+5=(5+5)(52)(5+2)(52)+5(5+1)(51)(5+1)35(35)(3+5)(35)

=3551+5+5495154=12520+5+595+154=5

Ta thấy A=1332<0(do133<0)B=5>0 nên A<0<B.

Câu 15 :

Cho A=2x1x+2 với x0. Có bao nhiêu giá trị của x để A có giá trị nguyên.

  • A.

    2     

  • B.

    1     

  • C.

    0     

  • D.

    3     

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Ta đánh giá giá trị của A sau đó chọn ra các giá trị nguyên A có thể đạt được, từ đó tìm x.

Lời giải chi tiết :

Ta có: A=2x1x+2=(2x+4)5x+2=2(x+2)x+25x+2=25x+2

Ta có: x0x0x+22>05x+2>0 suy ra 25x+2<2 hay A<2  (1)

Lại có: x+225x+252 suy ra 25x+2252A12 (2)

Từ (1) và (2) ta có: 12A<2AZA{0;1}

+ Với A=02x1x+2=02x1=0x=12x=14(tm)

+ Với A=12x1x+2=12x1=x+2x=3x=9(tm)

Vậy với x=14;x=9 thì A đạt giá trị nguyên. Hay có 2 giá trị của x thỏa mãn đề bài.

Câu 16 :

Cho biểu thức A=x+1x2+2xx+2+2+5x4x với x0;x4

Câu 16.1

Rút gọn biểu thức A ta được

  • A

    A=3xx+2

  • B

    A=xx+2

  • C

    A=2xx+2

  • D

    A=3x+2

Đáp án: A

Phương pháp giải :

– Xác định mẫu thức chung

– Quy đồng mẫu thức các phân thức

-Cộng trừ các phân thức đã quy đồng

Chú ý sử dụng linh hoạt các hằng đẳng thức và các phép biến đổi đơn giản đã biết

Lời giải chi tiết :

Ta có A=x+1x2+2xx+2+2+5x4x=(x+1)(x+2)+2x(x2)(x2)(x+2)2+5x(x2)(x+2)

=x+3x+2+2x4x25x(x2)(x+2)=3x6x(x2)(x+2)=3x(x2)(x+2)(x2)=3xx+2

Vậy A=3xx+2 với x0;x4

Câu 16.2

Tìm x để A=2.

  • A

    12

  • B

    4

  • C

    16

  • D

    25

Đáp án: C

Phương pháp giải :

– Sử dụng kết quả câu trước A=3xx+2 với x0;x4

– Cho A=2 rồi quy đồng mẫu số hoặc nhân chéo để đưa phương trình về dạng cơ bản đã biết

Lời giải chi tiết :

Với x0;x4 ta có A=3xx+2

Xét A=23xx+2=23x=2(x+2)x=4

x=16(TM)

Vậy x=16.

Câu 17 :

Cho biểu thức

B=(x2x1x+2x+2x+1).(1x)22 với x0;x1

Câu 17.1

Rút gọn biểu thức B ta được 

  • A

    B=xx

  • B

    B=xx

  • C

    B=x+x

  • D

    B=x+2x

Đáp án: B

Phương pháp giải :

– Xác định mẫu thức chung

– Quy đồng mẫu thức các phân thức

-Cộng trừ các phân thức đã quy đồng

Chú ý sử dụng linh hoạt các hằng đẳng thức và các phép biến đổi đơn giản đã biết

Lời giải chi tiết :

Ta có B=(x2x1x+2x+2x+1).(1x)22=(x2(x1)(x+1)x+2(x+1)2).(x1)22

=((x2)(x+1)(x1)(x+1)2(x+2)(x1)(x1)(x+1)2).(x1)2(x+1)22

=xx2xx+2(x1)(x+1)2.(x1)2.(x+1)22=2x(x1)2=xx

Vậy B=xx.

Câu 17.2

Tìm x để B>0

  • A

    x>1

  • B

    x<2

  • C

    0<x<1

  • D

    x1

Đáp án: C

Phương pháp giải :

-Đưa về phương trình tích rồi xét các trường hợp

-So sánh với điều kiện rồi kết luận nghiệm

Lời giải chi tiết :

Theo câu trước ta có  B=xx.

Xét B>0xx>0x(1x)>0

Với x0, x1 ta có x0 nên x(1x)>0{1x>0x0{x<1x0{x<1x0

Kết hợp điều  kiện ta có 0<x<1.

Câu 17.3

Tìm giá trị lớn nhất của B

  • A

    1

  • B

    2

  • C

    3

  • D

    14

Đáp án: D

Phương pháp giải :

Thêm bớt hạng tử để đưa biểu thức về hằng đẳng thức để đánh giá.

Lời giải chi tiết :

Ta có B=xx với x0;x1

Khi đó B=xx=(xx)=14(xx+14)=14(x12)2

Nhận thây 14(x12)214 với x0;x1

Dấu “=” xảy ra khi x12=0x=12x=14(TM)

Vậy giá trị lớn nhất của B14 khi và chỉ khi x=14.

Câu 18 :

Cho biểu thức C=2x9x5x+6x+3x22x+13x

với x0;x4;x9.

Câu 18.1

Rút gọn biểu thức C ta được

  • A

    C=x1x3

  • B

    C=x1x+3

  • C

    C=x+1x3

  • D

    C=x+1x+3

Đáp án: C

Phương pháp giải :

-Tìm mẫu thức chung bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử

-Quy đồng mẫu thức các phân thức.

-Cộng trừ các phân thức đã quy đồng và rút gọn.

Lời giải chi tiết :

Ta có x5x+6=x2x3x+6=x(x2)3(x2)=(x3)(x2) nên

C=2x9x5x+6x+3x22x+13x=2x9(x2)(x3)x+3x2+2x+1x3

=2x9(x+3)(x3)+(2x+1)(x2)(x2)(x3)=2x9x+9+2x3x2(x2)(x3)

=xx2(x2)(x3)=x2x+x2(x2)(x3)=x(x2)+(x2)(x2)(x3)=(x+1)(x2)(x2)(x3)=x+1x3

Vậy C=x+1x3với x0;x4;x9

Câu 18.2

Tìm x để C<1

  • A

    0x<9

  • B

    0x<9;x4

  • C

    4<x<9

  • D

    0<x<4

Đáp án: B

Phương pháp giải :

– Chuyển vế, quy đồng các phân thức sau đó xét các trường hợp xảy ra của bất phương trình

-So sánh điều kiện rồi kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết :

Theo câu trước ta có C=x+1x3 với x0;x4;x9

Để C<1x+1x3<1x+1x3x3x3<04x3<0

4>0 nên x3<0x<3x<9

Kết hợp điều kiện x0;x4;x9 suy ra 0x<9;x4.

Câu 19 :

Cho biểu thức P=(2x+1x311x1):(1x+4x+x+1)

Câu 19.1

Rút gọn P.

  • A

    P=xx3

  • B

    P=xx+3

  • C

    P=3+xx3

  • D

    P=xx3  

Đáp án: A

Phương pháp giải :

– Tìm mẫu thức chung bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử.

– Quy đồng mẫu thức các phân thức.

– Cộng trừ các phân thức đã quy đồng và rút gọn.

Lời giải chi tiết :

ĐKXĐ: {x0x1

P=(2x+1x311x1):(1x+4x+x+1)=(2x+1(x1)(x+x+1)1x1):(x+x+1x4x+x+1)=2x+1xx1(x1)(x+x+1):x3x+x+1=xx(x1)(x+x+1).x+x+1x3(x9)=x(x1)(x1)(x3)=xx3.    

Vậy P=xx3 với x0;x1;x9

Câu 19.2

Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên dương.

  • A

    x=1;x=36

  • B

    x=16

  • C

    x=4;x=6

  • D

    x=16;x=36

Đáp án: D

Phương pháp giải :

Sử dụng kết quả câu trước P=xx3 với x0;x1;x9

Đưa P về dạng P=a+mx3(a;mZ), khi đó để P nhận giá trị là số nguyên dương thì {PZP>0{mx3Za+mx3>0

Lời giải chi tiết :

ĐKXĐ: {x0x1x9

Ta có: P=xx3=x3+3x3=1+3x3.

Để P nhận giá trị là số nguyên dương thì {PZP>0{3x3Z1+3x3>0

{3x3Z3x3>1{3x3Z3+x3x3>0{(x3)U(3)(1)xx3>0(2)(1)(x3){1;3}[x3=1x3=3[x=4x=6[x=16(tm)x=36(tm)

Vậy x = 16 hoặc x = 36 thì P nguyên dương.

Câu 20 :

Tính giá trị của A =\dfrac{1}{{2\sqrt 1  + 1\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2  + 2\sqrt 3 }} + … + \dfrac{1}{{2018\sqrt {2017}  + 2017\sqrt {2018} }}

  • A.

    A=1-\dfrac{2}{\sqrt{2018}}

  • B.

    A=1-\dfrac{1}{\sqrt{2028}}

  • C.

    A=1-\dfrac{1}{\sqrt{2015}}

  • D.

    A=1-\dfrac{1}{\sqrt{2018}}

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng: \dfrac{1}{{k\sqrt {k – 1}  + \left( {k – 1} \right)\sqrt k }} = \dfrac{1}{{\sqrt {k – 1} }} – \dfrac{1}{{\sqrt k }}

Lời giải chi tiết :

Ta có: k\sqrt {k – 1}  + \left( {k – 1} \right)\sqrt k \, = \sqrt {k\left( {k – 1} \right)} \left( {\sqrt k  + \sqrt {k – 1} } \right) với k \ge 1.

\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{k\sqrt {k – 1}  + \left( {k – 1} \right)\sqrt k }} \\= \dfrac{1}{{\sqrt {k\left( {k – 1} \right)} \left( {\sqrt k  + \sqrt {k – 1} } \right)}} \\= \dfrac{{\left( {\sqrt k  – \sqrt {k – 1} } \right)}}{{\sqrt {k\left( {k – 1} \right)} \left( {\sqrt k  + \sqrt {k – 1} } \right)\left( {\sqrt k  – \sqrt {k – 1} } \right)}}\\ = \dfrac{{\sqrt k  – \sqrt {k – 1} }}{{\sqrt {k\left( {k – 1} \right)} }} \\= \dfrac{{\sqrt k  – \sqrt {k – 1} }}{{\sqrt k .\sqrt {k – 1} }} \\= \dfrac{1}{{\sqrt {k – 1} }} – \dfrac{1}{{\sqrt k }}\end{array}  

Thay lại vào A ta được:

A = \dfrac{1}{{2\sqrt 1  + 1\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2  + 2\sqrt 3 }} + … + \dfrac{1}{{2018\sqrt {2017}  + 2017\sqrt {2018} }}= \,\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 1 }} – \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }} – \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) + ….. + \left( {\dfrac{1}{{\sqrt {2017} }} – \dfrac{1}{{\sqrt {2018} }}} \right)= 1 – \dfrac{1}{{\sqrt {2018} }}

Câu 21 :

Rút gọn biểu thức: T = \dfrac{{\left( {\sqrt {2a}  – 2\sqrt 2 } \right)\left( {a – 1} \right)}}{{a – \sqrt a  – 2}}\left( {a > 0;a \ne 4} \right)

  • A.
    T = \left( {\sqrt a  + 1} \right).
  • B.
    T = \left( {\sqrt a  – 1} \right).
  • C.
    T = \sqrt 2 \left( {\sqrt a  + 1} \right).
  • D.
    T = \sqrt 2 \left( {\sqrt a  – 1} \right).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi rút gọn.

Lời giải chi tiết :

\begin{array}{l}T = \dfrac{{\left( {\sqrt {2a}  – 2\sqrt 2 } \right)\left( {a – 1} \right)}}{{a – \sqrt a  – 2}}\,\,\,\,\left( {a > 0;a \ne 4} \right)\\ = \dfrac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt a  – 2} \right)\left( {\sqrt a  – 1} \right)\left( {\sqrt a  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a  – 2} \right)\left( {\sqrt a  + 1} \right)}}\\ = \sqrt 2 \left( {\sqrt a  – 1} \right)\end{array}

Vậy T = \sqrt 2 \left( {\sqrt a  – 1} \right).

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE