5. Bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Đề bài

Câu 1 :

Phương trình ${x^4} – 6{x^2} – 7 = 0$ có bao nhiêu nghiệm?

A.

$0$
B.

$1$
C.

$2$
D.

$4$

Câu 2 :

Phương trình ${\left( {x + 1} \right)^4} – 5{\left( {x + 1} \right)^2} – 84 = 0$ có tổng các nghiệm là

A.

$– \sqrt {12}$
B.

$– 2$
C.

$– 1$
D.

$2\sqrt {12}$

Câu 3 :

Phương trình $\dfrac{{2x}}{{x – 2}} – \dfrac{5}{{x – 3}} = \dfrac{{ – 9}}{{{x^2} – 5x + 6}}$ có số nghiệm là

A.

$2$
B.

$1$
C.

$0$
D.

$3$

Câu 4 :

Phương trình $\left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 – x}} – \dfrac{{1 – x}}{{1 + x}}} \right):\left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 – x}} – 1} \right) = \dfrac{3}{{14 – x}}$ có nghiệm là:

A.

$x = \sqrt 2$
B.

$x = 2$
C.

$x = 3$
D.

$x = 5$

Câu 5 :

Tích các nghiệm của phương trình ${\left( {{x^2} + 2x – 5} \right)^2} = {\left( {{x^2} – x + 5} \right)^2}$ là:

A.

$\dfrac{{10}}{3}$
B.

$0$
C.

$\dfrac{1}{2}$
D.

$\dfrac{5}{3}$

Câu 6 :

Số nghiệm của phương trình $3{x^3} + 3{x^2} + 5x + 5 = 0$ là:

A.

$2$
B.

$0$
C.

$1$
D.

$3$

Câu 7 :

Tổng các nghiệm của phương trình $x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 8$ là

A.

$– 3$
B.

$3$
C.

$1$
D.

$– 4$

Câu 8 :

Hai nghiệm của phương trình $\dfrac{x}{{x + 1}} – 10\dfrac{{x + 1}}{x} = 3$ là ${x_1} > {x_2}$ . Tính $3{x_1} + 4{x_2}$ .

A.

$– 3$
B.

$3$
C.

$7$
D.

$– 7$

Câu 9 :

Phương trình ${x^2} – 3x + 2 = \left( {1 – x} \right)\sqrt {3x – 2}$ có bao nhiêu nghiệm?

A.

$1$
B.

$3$
C.

$0$
D.

$2$

Câu 10 :

Phương trình $\sqrt {{x^2} + x + 1} = 3 – x$ có nghiệm là:

A.

$x = – 1$
B.

$x = \dfrac{7}{8}$
C.

$x = 1$
D.

$x = \dfrac{8}{7}$

Câu 11 :

Phương trình $\sqrt {4{x^2} – 4x + 5} + \sqrt {12{x^2} – 12x + 19} = 6$ có nghiệm là $\dfrac{a}{b}\,\left( {a,b > 0} \right)$ . Tính $a – b$ .

A.

$– 1$
B.

$4$
C.

$– 2$
D.

$2$

Câu 12 :

Giải phương trình $\sqrt {1 – \sqrt {{x^4} – {x^2}} } = x – 1$

A.

$x = 0$
B.

$x = \dfrac{5}{4}$
C.

${x_1} = 0;\,\,{x_2} = \dfrac{5}{4}$
D.

Đáp án khác

Câu 13 :

Giải phương trình $\dfrac{1}{{x – 1 + \sqrt {{x^2} – 2x + 5} }} + \dfrac{1}{{x – 1 – \sqrt {{x^2} – 2x + 5} }} = 1$

A.

x = -2
B.

x = 0
C.

x = 1
D.

x = -1

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Phương trình ${x^4} – 6{x^2} – 7 = 0$ có bao nhiêu nghiệm?

A.

$0$
B.

$1$
C.

$2$
D.

$4$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Đặt ${x^2} = t\,\left( {t \ge 0} \right)$ ta được phương trình ${t^2} – 6t – 7 = 0$ (*)

Nhận thấy $a – b + c = 1 + 6 – 7 = 0$ nên phương trình (*) có hai nghiệm ${t_1} = – 1\,\,\left( L \right);{t_2} = 7\,\left( N \right)$

Thay lại cách đặt ta có ${x^2} = 7 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 7$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.

Câu 2 :

Phương trình ${\left( {x + 1} \right)^4} – 5{\left( {x + 1} \right)^2} – 84 = 0$ có tổng các nghiệm là

A.

$– \sqrt {12}$
B.

$– 2$
C.

$– 1$
D.

$2\sqrt {12}$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Đặt ${\left( {x + 1} \right)^2} = t\,\left( {t \ge 0} \right)$ ta được phương trình ${t^2} – 5t – 84 = 0$ (*)

Ta có $\Delta = 361$ nên phương trình (*) có hai nghiệm ${t_1} = \dfrac{{5 + \sqrt {361} }}{2} = 12\,\,\left( N \right);{t_2} = \dfrac{{5 – \sqrt {361} }}{2} = – 7\,\left( L \right)$

Thay lại cách đặt ta có ${\left( {x + 1} \right)^2} = 12 \Leftrightarrow x = – 1 \pm \sqrt {12}$

Suy ra tổng các nghiệm là $– 1 + \sqrt {12} – 1 – \sqrt {12} = – 2$ .

Câu 3 :

Phương trình $\dfrac{{2x}}{{x – 2}} – \dfrac{5}{{x – 3}} = \dfrac{{ – 9}}{{{x^2} – 5x + 6}}$ có số nghiệm là

A.

$2$
B.

$1$
C.

$0$
D.

$3$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $x \ne 2;x \ne 3$

$\dfrac{{2x}}{{x – 2}} – \dfrac{5}{{x – 3}} = \dfrac{-9}{{{x^2} – 5x + 6}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{{2x\left( {x – 3} \right) – 5\left( {x – 2} \right)}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right)}} = \dfrac{{ – 9}}{{\left( {x – 2} \right)\left( {x – 3} \right)}}$ $\Rightarrow 2{x^2} – 11x + 19 = 0$

Nhận thấy $\Delta = {11^2} – 4.19.2 = – 31 < 0$ nên phương trình $2{x^2} – 11x + 19 = 0$ vô nghiệm. Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 4 :

Phương trình $\left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 – x}} – \dfrac{{1 – x}}{{1 + x}}} \right):\left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 – x}} – 1} \right) = \dfrac{3}{{14 – x}}$ có nghiệm là:

A.

$x = \sqrt 2$
B.

$x = 2$
C.

$x = 3$
D.

$x = 5$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $x \ne 1;x \ne – 1;x \ne 14$

Ta có $\left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 – x}} – \dfrac{{1 – x}}{{1 + x}}} \right):\left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 – x}} – 1} \right) = \dfrac{3}{{14 – x}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {1 + x} \right)}^2} – {{\left( {1 – x} \right)}^2}}}{{\left( {1 – x} \right)\left( {1 + x} \right)}}:\dfrac{{1 + x – 1 + x}}{{1 – x}} = \dfrac{3}{{14 – x}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{{4x}}{{\left( {1 – x} \right)\left( {1 + x} \right)}}.\dfrac{{1 – x}}{{2x}} = \dfrac{3}{{14 – x}} \Leftrightarrow \dfrac{2}{{x + 1}} = \dfrac{3}{{14 – x}}$ $\Rightarrow 28 – 2x = 3x + 3 \Leftrightarrow 5x = 25 \Leftrightarrow x = 5\,\left( {TM} \right)$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 5$

Câu 5 :

Tích các nghiệm của phương trình ${\left( {{x^2} + 2x – 5} \right)^2} = {\left( {{x^2} – x + 5} \right)^2}$ là:

A.

$\dfrac{{10}}{3}$
B.

$0$
C.

$\dfrac{1}{2}$
D.

$\dfrac{5}{3}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng ${A^2} = {B^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = B\\A = – B\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Ta có ${\left( {{x^2} + 2x – 5} \right)^2} = {\left( {{x^2} – x + 5} \right)^2}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2x – 5 = {x^2} – x + 5\\{x^2} + 2x – 5 = – {x^2} + x – 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = 10\\2{x^2} – x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{10}}{3}\\x = 0\\x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

Nên tích các nghiệm là $\dfrac{{10}}{3}.0.\dfrac{1}{2} = 0$

Câu 6 :

Số nghiệm của phương trình $3{x^3} + 3{x^2} + 5x + 5 = 0$ là:

A.

$2$
B.

$0$
C.

$1$
D.

$3$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Ta có $3{x^3} + 3{x^2} + 5x + 5 = 0$ $\Leftrightarrow 3{x^2}\left( {x + 1} \right) + 5\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {3{x^2} + 5} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{x^2} + 5 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{x^2} = – 5\left( L \right)\\x = – 1\end{array} \right. \Rightarrow x = – 1$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = – 1$ .

Câu 7 :

Tổng các nghiệm của phương trình $x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 8$ là

A.

$– 3$
B.

$3$
C.

$1$
D.

$– 4$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có $x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 8$ $\Leftrightarrow x\left( {x + 3} \right).\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 8 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = 8$

Đặt ${x^2} + 3x + 1 = t$ , thu được phương trình $\left( {t – 1} \right)\left( {t + 1} \right) = 8 \Leftrightarrow {t^2} – 1 = 8 \Leftrightarrow {t^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = – 3\end{array} \right.$

+) Với $t = 3 \Rightarrow {x^2} + 3x + 1 = 3$

$\Leftrightarrow {x^2} + 3x – 2 = 0$ , có $\Delta = 17 \Rightarrow {x_1} = \dfrac{{ – 3 + \sqrt {17} }}{2};$

${x_2} = \dfrac{{ – 3 – \sqrt {17} }}{2}$

+) Với $t = – 3 \Rightarrow {x^2} + 3x + 1 = – 3$

$\Leftrightarrow {x^2} + 3x + 4 = 0$ có $\Delta = – 7 < 0$ nên phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1} = \dfrac{{ – 3 + \sqrt {17} }}{2};{x_2} = \dfrac{{ – 3 – \sqrt {17} }}{2}$

Suy ra tổng các nghiệm là $\dfrac{{ – 3 + \sqrt {17} }}{2} + \dfrac{{ – 3 – \sqrt {17} }}{2} = – 3$

Câu 8 :

Hai nghiệm của phương trình $\dfrac{x}{{x + 1}} – 10\dfrac{{x + 1}}{x} = 3$ là ${x_1} > {x_2}$ . Tính $3{x_1} + 4{x_2}$ .

A.

$– 3$
B.

$3$
C.

$7$
D.

$– 7$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $x \ne 0;x \ne – 1$

Đặt $\dfrac{x}{{x + 1}} = t\,\left( {t \ne 0} \right)$ , khi đó phương trình đã cho trở thành $t – 10.\dfrac{1}{t} = 3 \Rightarrow {t^2} – 3t – 10 = 0$

Ta có $\Delta = 49 \Rightarrow {t_1} = \dfrac{{3 + \sqrt {49} }}{2} = 5;$

${t_2} = \dfrac{{3 – \sqrt {49} }}{2} = – 2\,\left( {TM} \right)$

+) Với $t = 5$ suy ra $\dfrac{x}{{x + 1}} = 5$

$\Rightarrow 5x + 5 = x \Leftrightarrow x = – \dfrac{5}{4}$ (nhận)

+) Với $t = – 2$ suy ra $\dfrac{x}{{x + 1}} = – 2$

$\Rightarrow – 2x – 2 = x \Leftrightarrow x = – \dfrac{2}{3}$ (nhận)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1} = – \dfrac{2}{3} > {x_2} = – \dfrac{5}{4}$

Nên $3{x_1} + 4{x_2}$ $= 3.\left( {\dfrac{{ – 2}}{3}} \right) + 4.\left( {\dfrac{{ – 5}}{4}} \right) = – 7$

Câu 9 :

Phương trình ${x^2} – 3x + 2 = \left( {1 – x} \right)\sqrt {3x – 2}$ có bao nhiêu nghiệm?

A.

$1$
B.

$3$
C.

$0$
D.

$2$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích và phương trình chứa căn thức

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $3x – 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{2}{3}$

Ta có ${x^2} – 3x + 2 = \left( {1 – x} \right)\sqrt {3x – 2}$ $\Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right) + \left( {x – 1} \right)\sqrt {3x – 2} = 0 \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {x – 2 + \sqrt {3x – 2} } \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – 1 = 0\\x – 2 + \sqrt {3x – 2} = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\left( {TM} \right)\\\sqrt {3x – 2} = 2 – x\,\left( * \right)\end{array} \right.$

Xét phương trình (*):

$\sqrt {3x – 2} = 2 – x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 – x \ge 0\\3x – 2 = {\left( {2 – x} \right)^2}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\{x^2} – 7x + 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\,\\x = 6\,\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x = 1$ (TM)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 1$ .

Câu 10 :

Phương trình $\sqrt {{x^2} + x + 1} = 3 – x$ có nghiệm là:

A.

$x = – 1$
B.

$x = \dfrac{7}{8}$
C.

$x = 1$
D.

$x = \dfrac{8}{7}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Giải phương trình chứa căn thức $\sqrt A = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A = {B^2}\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Ta có $\sqrt {{x^2} + x + 1} = 3 – x$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 – x \ge 0\\{x^2} + x + 1 = {\left( {3 – x} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\7x = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\x = \dfrac{8}{7}\end{array} \right. \Rightarrow x = \dfrac{8}{7}$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{8}{7}$ .

Câu 11 :

Phương trình $\sqrt {4{x^2} – 4x + 5} + \sqrt {12{x^2} – 12x + 19} = 6$ có nghiệm là $\dfrac{a}{b}\,\left( {a,b > 0} \right)$ . Tính $a – b$ .

A.

$– 1$
B.

$4$
C.

$– 2$
D.

$2$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có $\sqrt {4{x^2} – 4x + 5} + \sqrt {12{x^2} – 12x + 19} = 6$ $\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2x – 1} \right)}^2} + 4} + \sqrt {12{{\left( {x – \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + 16} = 6$

Nhận thấy $\sqrt {{{\left( {2x – 1} \right)}^2} + 4} \ge 2;\sqrt {12{{\left( {x – \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + } 16 \ge 4$ nên $\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2x – 1} \right)}^2} + 4} + \sqrt {12{{\left( {x – \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + 16} \ge 6$

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {2x – 1} \right)}^2} + 4} = 2\\\sqrt {12{{\left( {x – \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + 16} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x – 1 = 0\\x – \dfrac{1}{2} = 0\end{array} \right. \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{1}{2}$ .

Từ đó suy ra $a = 1;b = 2 \Rightarrow a – b = – 1$ .

Câu 12 :

Giải phương trình $\sqrt {1 – \sqrt {{x^4} – {x^2}} } = x – 1$

A.

$x = 0$
B.

$x = \dfrac{5}{4}$
C.

${x_1} = 0;\,\,{x_2} = \dfrac{5}{4}$
D.

Đáp án khác

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tìm điều kiện của phương trình. Bình phương hai vế của phương trình 2 lần để làm mất căn thức. Giải phương trình bậc hai. Kết hợp điều kiện xác định.

Lời giải chi tiết :

$\sqrt {1 – \sqrt {{x^4} – {x^2}} } = x – 1$

Điều kiện: $x – 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1$

$\begin{array}{l}PT \Leftrightarrow 1 – \sqrt {{x^4} – {x^2}} = {(x – 1)^2}\\ \Leftrightarrow 1 – \sqrt {{x^4} – {x^2}} = {x^2} – 2x + 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {{x^4} – {x^2}} = 2x – {x^2}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x – {x^2} \ge 0\\{x^4} – {x^2} = 4{x^2} – 4{x^3} + {x^4}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 2\\4{x^3} – 5{x^2} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 2\\{x^2}(4x – 5) = 0\end{array} \right.\, \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 2\\\left[ \begin{array}{l}{x^2} = 0\\4x – 5 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{5}{4}\,\,\end{array} \right.\end{array}$

Kết hợp với điều kiện ban đầu $x\ge 1$ ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{5}{4}$ .

Câu 13 :

Giải phương trình $\dfrac{1}{{x – 1 + \sqrt {{x^2} – 2x + 5} }} + \dfrac{1}{{x – 1 – \sqrt {{x^2} – 2x + 5} }} = 1$

A.

x = -2
B.

x = 0
C.

x = 1
D.

x = -1

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Biến đổi phương trình, đặt ẩn, quy đồng và rút gọn phân thức. Từ đó giải phương trình.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\dfrac{1}{{x – 1 + \sqrt {{x^2} – 2x + 5} }} + \dfrac{1}{{x – 1 – \sqrt {{x^2} – 2x + 5} }} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x – 1 + \sqrt {{{(x – 1)}^2} + 4} }} + \dfrac{1}{{x – 1 – \sqrt {{{(x – 1)}^2} + 4} }} = 1\end{array}$

Đặt $x – 1 = t$

$\begin{array}{l}PT \Leftrightarrow \dfrac{1}{{t + \sqrt {{t^2} + 4} }} + \dfrac{1}{{t – \sqrt {{t^2} + 4} }} = 1\\\Leftrightarrow \dfrac{{t – \sqrt {{t^2} + 4} + t + \sqrt {{t^2} + 4} }}{{(t + \sqrt {{t^2} + 4} )(t – \sqrt {{t^2} + 4} )}} = 1\\\Leftrightarrow \dfrac{{2t}}{{{t^2} – {t^2} – 4}} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2t}}{{ – 4}} = 1\\ \Leftrightarrow t = – 2\\ \Rightarrow x – 1 = – 2 \Leftrightarrow x = – 1.\end{array}$

Thử lại thấy $x=-1$ thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = -1.$

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE