13. Bài tập ôn tập chương 7

Do $DE$ là đường kính của $\left( {O;R} \right)$ nên $\widehat {DCE} = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó $CD \bot CE.$ Mặt khác theo giả thiết ta có $CD \bot AB.$

Do đó $AB//CE.$ Vậy tứ giác $ABEC$ là hình thang $\left( 1 \right).$

Mặt khác các dây $CE,AB$ là hai dây song song của $\left( O \right)$ chắn hai cung $AC$ và $BE$ nên

Cung $AC =$ cung $BE$ $\Rightarrow AC=BE\,\,\,\left( 2 \right).$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra tứ giác $ABEC$ là hình thang cân.

Ta có tia phân giác $AP$ chia đôi cung $BC$ thành hai cung bằng nhau, hay$sđ\overparen{BP} = sđ\overparen{CP}=\dfrac{1}{2}sđ\,\overparen{BC}.$

Tương tự ta có $sđ\overparen{AQ} = sđ\overparen{CQ}=\dfrac{1}{2}sđ\,\overparen{AC}$$sđ\overparen{AR} = sđ\overparen{BR}=\dfrac{1}{2}sđ\,\overparen{AB} .$ Khi đó theo tính chất của góc có đỉnh bên trong đường tròn ta có

$\begin{array}{l}\widehat {ASQ} = \dfrac{1}{2}\left( {sđ\,\overparen{AQ} + sđ\,\overparen{PR}} \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{2}sđ\,\overparen{AC} + \dfrac{1}{2}sđ\,\overparen{AB} + \dfrac{1}{2}sđ\,\overparen{BC}} \right) \\= \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{2}{{.360}^0}} \right) = {90^0}.\end{array}$

Ta có $\widehat {BCD}$ là góc nội tiếp chắn cung $BmD\,\,\left( 1 \right).$

Ta có $\widehat {FCE}$ là góc nội tiếp chắn cung $FnE\,\,\left( 2 \right).$

Mặt khác ta có $sđ\overparen{BmD}\, = sđ\overparen{FnE}\,\,\left( 3 \right).$ (hai cung bị chắn bởi hai dây song song)

Từ $\left( 1 \right),\,\left( 2 \right),\,\left( 3 \right)$ suy ra $\widehat {FCE} = \widehat {BCD} \Rightarrow \widehat {FCE} + \widehat {ECD} = \widehat {BCD} + \widehat {ECD}.$

Do đó $\widehat {FCD} = \widehat {ECB}\,\left( 4 \right).$

Theo tính chất về góc có đỉnh bên ngoài đường tròn ta có

$\widehat {CAE} = \dfrac{1}{2}\left( {sđ\overparen{CFE} – sđ\overparen{BmD}} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {sđ\,\overparen{CFE} – sđ\overparen{FnE}} \right) = \dfrac{1}{2}sđ\,\overparen{CF}\,\,\left( 5 \right).$

Theo tính chất của góc nội tiếp bị chắn bởi cung ta có $\widehat {CDF} = \dfrac{1}{2}sđ\overparen{CF}\,\,\left( 6 \right).$

Từ $\left( 5 \right)$ và $\left( 6 \right)$ ta nhận được $\widehat {CAE} = \widehat {CDF}\,\,\left( 7 \right).$

Từ $\left( 4 \right)$ và $\left( 7 \right)$ ta nhận được $\Delta ACE \backsim \Delta DCF$ (g-g)

Do đó $\dfrac{{AC}}{{DC}} = \dfrac{{AE}}{{DF}} = \dfrac{{CE}}{{CF}} \Rightarrow AC.DF = AE.DC.$