3. Bài 3: Hình cầu. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

Đề bài

Câu 1 :

Cho hình cầu có đường kính d=6cm  . Diện tích mặt cầu là

  • A.

     36π(cm2)

  • B.

    9π(cm2)

  • C.

    12π(cm2)

  • D.

    36π(cm) 

Câu 2 :

Cho mặt cầu có thể tích V=288π(cm3) . Tính đường kính mặt cầu.

  • A.

    6cm

  • B.

    12cm

  • C.

    8cm

  • D.

    16cm 

Câu 3 :

Cho mặt cầu có số đo diện tích bằng với số đo thể tích. Tính bán kính mặt cầu.

  • A.

    3

  • B.

    6

  • C.

    9

  • D.

    12 

Câu 4 :

Cho hình cầu có bán kính 3cm. Một hình nón cũng có bán kính đáy bằng 3cm và có diện tích toàn phần bằng diện tích mặt cầu. Tính chiều cao của hình nón.

  • A.

    3

  • B.

    63

  • C.

    72

  • D.

    62 

Câu 5 :

Cho một hình cầu và hình trụ ngoại tiếp nó (đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính của hình cầu). Tính tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ.

  • A.

    3

  • B.

    1

  • C.

    12

  • D.

    2 

Câu 6 :

Cho một hình cầu nội tiếp trong hình trụ. Biết rằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính của hình cầu. Tính tỉ số giữa thể tích hình cầu và thể tích hình trụ.

  • A.

    23

  • B.

    32

  • C.

    12

  • D.

    2 

Câu 7 :

Cho một hình cầu và một hình lập phương ngoại tiếp nó. Tính tỉ số giữa diện tích mặt cậu và diện tích toàn phần của hình lập phương.

 

  • A.

    6π

  • B.

    16

  • C.

    π6

  • D.

    13 

Câu 8 :

Cho tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh góc vuông bằng a. Tính diện tích mặt cầu được tạo thành khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC một vòng quanh cạnh BC.

  • A.

    2πa2

  • B.

    πa22

  • C.

    a22

  • D.

    πa2 

Câu 9 :

Cho một tam giác đều ABC có cạnh AB=8cm, đường cao AH. Khi đó thể tích hình cầu được tạo thành khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác ABC một vòng quanh AH.

  • A.

    πa354

  • B.

    3πa372

  • C.

    3πa354

  • D.

    πa372 

Câu 10 :

Cho hình chữ nhật ABCDAB=4cm;AD=3cm . Tính diện tích mặt cầu thu được khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng MN với M là trung điểm AD , N là trung điểm BC .

  • A.

    25π

  • B.

    25π8

  • C.

    25

  • D.

     25π4 

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Cho hình cầu có đường kính d=6cm  . Diện tích mặt cầu là

  • A.

     36π(cm2)

  • B.

    9π(cm2)

  • C.

    12π(cm2)

  • D.

    36π(cm) 

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức diện tích mặt cầu S=4πR2

Lời giải chi tiết :

Vì đường kính d=6cm nên bán kính hình cầu R=62=3cm

Diện tích mặt cầu S=4πR2=4π.32=36π(cm2)

Câu 2 :

Cho mặt cầu có thể tích V=288π(cm3) . Tính đường kính mặt cầu.

  • A.

    6cm

  • B.

    12cm

  • C.

    8cm

  • D.

    16cm 

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức thể tích khối cầu V=43πR3 để tính bán kính, từ đó suy ra đường kính của mặt cầu.

Lời giải chi tiết :

Ta có V=43πR3=288πR3=216R=6cm

Từ đó đường kính mặt cầu là d=2R=2.6=12cm.

Câu 3 :

Cho mặt cầu có số đo diện tích bằng với số đo thể tích. Tính bán kính mặt cầu.

  • A.

    3

  • B.

    6

  • C.

    9

  • D.

    12 

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức thể tích khối cầu V=43πR3 và diện tích mặt cầu S=4πR2

Lời giải chi tiết :

Từ giả thiết ta có 4πR2=43πR3R3=3R2R=3

Câu 4 :

Cho hình cầu có bán kính 3cm. Một hình nón cũng có bán kính đáy bằng 3cm và có diện tích toàn phần bằng diện tích mặt cầu. Tính chiều cao của hình nón.

  • A.

    3

  • B.

    63

  • C.

    72

  • D.

    62 

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức diện tích mặt cầu S=4πR2 và diện tích toàn phần của hình nón Stp=πRl+πR2

Sử dụng công thức liên hệ l2=R2+h2 để tính chiều cao của hình nón.

Lời giải chi tiết :

Gọi l là độ dài đường sinh của hình nón.

Vì bán kính hình cầu và bán kính đáy của hình nón  bằng nhau nên từ giả thiết ta có 4πR2=πRl+πR24R2=Rl+R23R2=Rll=3R=3.3=9cm

Sử dụng công thức liên hệ trong hình nón ta có h2=l2R2=9232=72

h=62cm.

Câu 5 :

Cho một hình cầu và hình trụ ngoại tiếp nó (đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính của hình cầu). Tính tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ.

  • A.

    3

  • B.

    1

  • C.

    12

  • D.

    2 

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức diện tích mặt cầu S=4πR2 và diện tích xung quanh của hình trụ Sxq=2πRh

Lời giải chi tiết :

Vì đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính hình cầu nên h=2R với R là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ.

Diện tích mặt cầu S=4πR2 , diện tích xung quanh của hình trụ Sxq=2πRh=2πR.2R=4πR2

Tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụSSxq=4πR24πR2=1 .

Câu 6 :

Cho một hình cầu nội tiếp trong hình trụ. Biết rằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính của hình cầu. Tính tỉ số giữa thể tích hình cầu và thể tích hình trụ.

  • A.

    23

  • B.

    32

  • C.

    12

  • D.

    2 

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức thể tích hình cầu V=43πR3 và thể tích của khối trụ V=πR2h

Lời giải chi tiết :

Vì đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính hình cầu nên h=2R với R là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ.

Thể tích hình cầu Vc=43πR3 ; thể tích khối trụ Vt=πR2.2R=2πR3

Tỉ số thể tích hình cầu và thể tích hình trụVcVt=43πR32πR3=23 .

Câu 7 :

Cho một hình cầu và một hình lập phương ngoại tiếp nó. Tính tỉ số giữa diện tích mặt cậu và diện tích toàn phần của hình lập phương.

 

  • A.

    6π

  • B.

    16

  • C.

    π6

  • D.

    13 

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức diện tích mặt cầu S=4πR2 và diện tích toàn phần của hình lập phương Stp=6a2 với a là độ dài cạnh của hình lập phương.

Lời giải chi tiết :

Vì hình cầu nội tiếp hình lập phương nên bán kính hình cầu R=a2  với a là cạnh hình lập phương.

Khi đó ta có diện tích mặt cầu S=4πR2=4π.(a2)2=πa2

Diện tích toàn phần của hình lập phương Stp=6a2

Tỉ số giữa diện tích mặt cậu và diện tích toàn phần của hình lập phươngSStp=πa26a2=π6

Câu 8 :

Cho tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh góc vuông bằng a. Tính diện tích mặt cầu được tạo thành khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC một vòng quanh cạnh BC.

  • A.

    2πa2

  • B.

    πa22

  • C.

    a22

  • D.

    πa2 

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Sử dụng công thức diện tích mặt cầu S=4πR2

Lời giải chi tiết :

Vì tam giác ABC vuông tại A nên  có đường tròn ngoại tiếp là đường tròn đường kính BC .

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R=BC2

Theo định lý Pytago ta có BC2=AB2+AC2=2a2BC=a2 R=a22

Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC một vòng quanh cạnh BC ta được hình cầu có bán kính R=a22  nên diện tích mặt cầu là S=4πR2=4π(a22)2=2πa2 .

Câu 9 :

Cho một tam giác đều ABC có cạnh AB=8cm, đường cao AH. Khi đó thể tích hình cầu được tạo thành khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác ABC một vòng quanh AH.

  • A.

    πa354

  • B.

    3πa372

  • C.

    3πa354

  • D.

    πa372 

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Công thức thể tích hình cầu V=43πR3

Lời giải chi tiết :

ΔABC là tam giác đều nên tâm đường tròn nội tiếp trùng với trọng tâm O của tam giác.

Khi đó bán kính đường tròn nội tiếp là R=OH=AH3

Xét tam giác vuông ABHAH2=AB2BH2=a2(a2)2=3a24AH=a32

Suy ra R=a36

Khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác ABC một vòng quanh AH ta được hình cầu bán kính R=a36V=43πR3=43π.(a36)3=3πa354 

Câu 10 :

Cho hình chữ nhật ABCDAB=4cm;AD=3cm . Tính diện tích mặt cầu thu được khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng MN với M là trung điểm AD , N là trung điểm BC .

  • A.

    25π

  • B.

    25π8

  • C.

    25

  • D.

     25π4 

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Công thức diện tích mặt cầu S=4πR2

Lời giải chi tiết :

Gọi O là tâm của hình chữ nhật nên OA=OB=OC=OD nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD . Khi đó bán kính đường tròn là R=OA=AC2

Theo định lý Pytago ta có AC2=AD2+DC2=32+42=25AC=5 (vì AB=DC=4cm )R=52

Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng MN với M là trung điểm AD , N là trung điểm BC ta được một hình cầu tâm O bán kính R=52

Diện tích mặt cầu là S=4πR2=4.π(52)2=25π (cm) .

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE