4. Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Đề bài

Câu 1 :

Chọn phát biểu đúng. Phương trình ax2+bx+c=0(a0) có hai nghiệm x1;x2. Khi đó

  • A.

    {x1+x2=bax1.x2=ca

  • B.

    {x1+x2=bax1.x2=ca

  • C.

    {x1+x2=bax1.x2=ca

  • D.

    {x1+x2=bax1.x2=ca

Câu 2 :

Chọn phát biểu đúng. Phương trình ax2+bx+c=0(a0)ab+c=0. Khi đó

  • A.

    Phương trình có một nghiệm x1=1, nghiệm kia là x2=ca

  • B.

    Phương trình có một nghiệm x1=1, nghiệm kia là x2=ca

  • C.

    Phương trình có một nghiệm x1=1, nghiệm kia là x2=ca.

  • D.

    Phương trình có một nghiệm x1=1, nghiệm kia là x2=ca.

Câu 3 :

Cho hai số có tổng là S và tích là P với S24P. Khi đó hai số đó là hai nghiệm của phương trình nào dưới đây?

  • A.

    X2PX+S=0

  • B.

    X2SX+P=0

  • C.

    SX2X+P=0

  • D.

    X22SX+P=0

Câu 4 :

Không giải phương trình, tính tổng hai nghiệm (nếu có) của phương trình x26x+7=0

  • A.

    16

  • B.

    3

  • C.

    6

  • D.

    7

Câu 5 :

Gọi x1;x2 là nghiệm của phương trình x25x+2=0. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức A=x21+x22

  • A.

    20

  • B.

    21

  • C.

    22

  • D.

    23

Câu 6 :

Gọi x1;x2 là nghiệm của phương trình x220x17=0. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức C=x31+x32

  • A.

    9000

  • B.

    2090

  • C.

    2009

  • D.

    9020

Câu 7 :

Gọi x1;x2 là nghiệm của phương trình 2x26x1=0. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức N=1x1+3+1x2+3

  • A.

    6

  • B.

    2

  • C.

    5

  • D.

    4

Câu 8 :

Biết rằng phương trình  (m2)x2(2m+5)x+m+7=0(m2) luôn có nghiệm x1;x2 với mọi m. Tìm x1;x2 theo m.

  • A.

    x1=1;x2=m+7m2

  • B.

    x1=1;x2=m+7m2

  • C.

    x1=1;x2=m+7m2

  • D.

    x1=1;x2=m+7m2

Câu 9 :

Tìm hai nghiệm của phương trình 18x2+23x+5=0 sau đó phân tích đa thức A=18x2+23x+5 sau thành nhân tử.

  • A.

    x1=1;x2=518;

    A=18(x+1)(x+518)

  • B.

    x1=1;x2=518;

    A=(x+1)(x+518)

  • C.

     x1=1;x2=518;

    A=18(x+1)(x518)

  • D.

    x1=1;x2=518;

    A=18(x1)(x+518)

Câu 10 :

Tìm uv biết rằng u+v=15,uv=36u>v

  • A.

    8

  • B.

    12

  • C.

    9

  • D.

    10

Câu 11 :

Lập phương trình nhận hai số 353+5 làm nghiệm.

  • A.

    x26x4=0

  • B.

    x26x+4=0

  • C.

    x2+6x+4=0

  • D.

    x26x+4=0

Câu 12 :

Biết rằng phương trình x2(2a1)x4a3=0 luôn có hai nghiệm x1;x2 với mọi a. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào a.

  • A.

    2(x1+x2)x1x2=5

  • B.

    2(x1+x2)x1x2=5

  • C.

    2(x1+x2)+x1x2=5

  • D.

    2(x1+x2)+x1x2=5

Câu 13 :

Tìm các giá trị của m để phương trình x22(m1)xm+2=0 có hai nghiệm trái dấu.

  • A.

    m<2

  • B.

    m>2

  • C.

    m=2

  • D.

    m>0

Câu 14 :

Tìm các giá trị của m để phương trình x22(m3)x+84m=0 có hai nghiệm âm phân biệt.

  • A.

    m<2m1

  • B.

    m<3

  • C.

    m<2

  • D.

    m>0

Câu 15 :

Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình x26x+2m+1=0 có hai nghiệm dương phân biệt

  • A.

    m{1;1;2;3}

  • B.

    m{1;2;3}

  • C.

    m{0;1;2;3;4}

  • D.

    m{0;1;2;3}

Câu 16 :

Tìm các giá trị của m để phương trình mx22(m2)x+3(m2)=0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.

  • A.

    m<0

  • B.

    m>1

  • C.

    1<m<0

  • D.

    m>0

Câu 17 :

Tìm các giá trị của m để phương trình x2mxm1=0 có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn: x31+x32=1.

  • A.

    m=1

  • B.

    m=1

  • C.

    m=0

  • D.

    m>1

Câu 18 :

Tìm các giá trị của m để phương trình x25x+m+4=0 có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn: x21+x22=23.

  • A.

    m=2

  • B.

    m=1

  • C.

    m=3

  • D.

    m=4

Câu 19 :

Giá trị nào dưới đây gần nhất với giá trị của mđể phương trình x2+3xm=0 có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn: 2x1+3x2=13.

  • A.

     416

  • B.

    415

  • C.

    414

  • D.

    418

Câu 20 :

Tìm giá trị của m để phương trình x2+(4m+1)x+2(m4)=0 có hai nghiệm x1,x2 và biểu thức A=(x1x2)2 đạt giá trị nhỏ nhất.

  • A.

    m=1

  • B.

    m=0

  • C.

    m=2

  • D.

     m=3

Câu 21 :

Tìm giá trị của m để phương trình x22(m2)x+2m5=0 có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn x1(1x2)+x2(1x1)<4

  • A.

    m>1

  • B.

    m<0

  • C.

    m>2

  • D.

    m<3

Câu 22 :

Cho phương trình x2+mx+n3=0. Tìm m và n để hai nghiệm x1;x2 của phương trình thỏa mãn hệ {x1x2=1x21x22=7

  • A.

    m=7;n=15

  • B.

    m=7;n=15

  • C.

    m=7;n=15

  • D.

    m=7;n=15

Câu 23 :

Cho phương trình x22(m+1)x+m2+3m1=0, (m là tham số).

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn x21+x22=10.

  • A.

    m=1;m=2

  • B.

    m=1;m=2

  • C.

    m=1;m=2

  • D.

    m=1;m=2

Câu 24 :

Tìm a,b để đường thẳng y=ax+b song song với đường thẳng y=4x+5 và cắt đồ thị hàm số y=x2 tại hai điểm A(x1;y1), B(x2;y2) phân biệt thỏa mãn x21+x22=10.

  • A.
    a=4;b=1
  • B.
    a=4;b=2
  • C.
    a=4;b=3
  • D.
    a=4;b=2

Câu 25 :

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x22(m1)x+m26=0 có hai nghiệm x1,x2 sao cho x21+4x1+2x22mx1=3.

  • A.
    m=1
  • B.
    m=1
  • C.
    m=2
  • D.
    m=12

Câu 26 :

Cho phương trình x2+4x+3m2=0, với m là tham số.

Câu 26.1

Giải phương trình với m=1.

  • A
    S={1;5}
  • B
    S={1;5}
  • C
    S={1;5}
  • D
    S={1;5}

Câu 26.2

Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có một nghiệm x=2.

  • A
    m=103
  • B
    m=103
  • C
    m=83
  • D
    m=83

Câu 26.3

Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1,x2 sao cho x1+2x2=1.

  • A
    m=413
  • B
    m=433
  • C
    m=433
  • D
    m=413

Câu 27 :

Cho phương trình x22mx4m5=0 (1) (m là tham số).

Câu 27.1

Giải phương trình (1) khi m=2.

  • A
    S={1;3}
  • B
    S={1;3}
  • C
    S={1;3}
  • D
    S={1;3}

Câu 27.2

Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn:

12x21(m1)x1+x22m+332=4059

  • A
    m=2020
  • B
    m=2019
  • C
    m=2021
  • D
    m=2022

Câu 28 :

Cho phương trình bậc hai x22x+m1=0 (*), với m là tham số

Câu 28.1

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (*) có nghiệm

  • A
    m<2
  • B
    m>2
  • C
    m2
  • D
    m2

Câu 28.2

Tính theo m giá trị của biểu thức A=x31+x32 với x1,x2 là hai nghiệm của phương trình (*). Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

  • A
    1
  • B
    2
  • C
    3
  • D
    4

Câu 29 :

Cho phương trình ẩn x: x25x+(m2)=0(1).

Câu 29.1

Giải phương trình (1) với m=6.

  • A
    S={1;4}
  • B
    S={1;4}
  • C
    S={1;4}
  • D
    S={1;4}

Câu 29.2

Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt x1,x2 thỏa mãn hệ thức 1x1+1x2=32.

  • A
    m=2
  • B
    m=4
  • C
    m=1
  • D
    m=6

Câu 30 :

Cho phương trình: x22020x+2021=0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2. Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau:

Câu 30.1

1x1+1x2 

  • A
    20202021
  • B
    20212020
  • C
    20202021
  • D
    20212020

Câu 30.2

x21+x22

  • A
    4080401
  • B
    4088481
  • C
    4076358
  • D
    4084442

Câu 31 :

Cho phương trình x2+5x+m2=0 (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn hệ thức

1(x11)2+1(x21)2=1

  • A.
    m=5±52
  • B.
    m=2±22
  • C.
    m=±2
  • D.
    m=±1

Câu 32 :

Cho phương trình x22(m1)x+2m5=0 (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình trên có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn (x212mx1+2m1)(x22)0.

  • A.
    m32
  • B.
    m32
  • C.
    m32
  • D.
    m32

Câu 33 :

Cho parabol (P):y=x2 và đường thẳng (d):y=x+m2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1,x2 thỏa mãn x21+x22<3.

  • A.

    2<m<94

  • B.

    1<m<94

  • C.

    1<m<94

  • D.

    2<m<94

Câu 34 :

Cho phương trình x2+4xm=0(1) (mlà tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn: (1x1+1x2)(x21+x22)=4(m+2).

  • A.
    m=1,m=1
  • B.
    m=2,m=2
  • C.
    m=3,m=3
  • D.
    m=4,m=4

Câu 35 :

Tìm b,c để phương trình x2+bx+c=0 có hai nghiệm là x1=2;x2=3.

  • A.
    b=1;c=6
  • B.
    b=1;c=6
  • C.
    b=1;c=6
  • D.
    b=1;c=6

Câu 36 :

Cho phương trình x2(2m3)x+m23m=0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1;x2 thỏa mãn 1<x1<x2<6.

  • A.

    m<6

  • B.

    m>4

  • C.

    4m6

  • D.

    4<m<6

Câu 37 :

Tìm m để phương trình x22(m+1)x+4m=0 (x là ẩn, m là tham số) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn x31x21=x32x22.

  • A.
    m=0
  • B.
    m=1
  • C.
    m=1
  • D.
    m=2

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Chọn phát biểu đúng. Phương trình ax2+bx+c=0(a0) có hai nghiệm x1;x2. Khi đó

  • A.

    {x1+x2=bax1.x2=ca

  • B.

    {x1+x2=bax1.x2=ca

  • C.

    {x1+x2=bax1.x2=ca

  • D.

    {x1+x2=bax1.x2=ca

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Cho phương trình bậc hai ax2+bx+c=0(a0). Nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình thì

{x1+x2=bax1x2=ca.

Câu 2 :

Chọn phát biểu đúng. Phương trình ax2+bx+c=0(a0)ab+c=0. Khi đó

  • A.

    Phương trình có một nghiệm x1=1, nghiệm kia là x2=ca

  • B.

    Phương trình có một nghiệm x1=1, nghiệm kia là x2=ca

  • C.

    Phương trình có một nghiệm x1=1, nghiệm kia là x2=ca.

  • D.

    Phương trình có một nghiệm x1=1, nghiệm kia là x2=ca.

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

+) Nếu phương trình ax2+bx+c=0(a0)a+b+c=0 thì phương trình có một nghiệm x1=1, nghiệm kia là x2=ca.

+ ) Nếu phương trình ax2+bx+c=0(a0)ab+c=0 thì phương trình có một nghiệm x1=1, nghiệm kia là x2=ca.

Câu 3 :

Cho hai số có tổng là S và tích là P với S24P. Khi đó hai số đó là hai nghiệm của phương trình nào dưới đây?

  • A.

    X2PX+S=0

  • B.

    X2SX+P=0

  • C.

    SX2X+P=0

  • D.

    X22SX+P=0

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình X2SX+P=0 (ĐK: S24P)

Câu 4 :

Không giải phương trình, tính tổng hai nghiệm (nếu có) của phương trình x26x+7=0

  • A.

    16

  • B.

    3

  • C.

    6

  • D.

    7

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng  hệ thức Vi-et

Nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0(a0) thì  {x1+x2=bax1x2=ca.

Lời giải chi tiết :

Phương trình x26x+7=0Δ=(6)24.1.7=8>0 nên phương trình có hai nghiệm x1;x2

Theo hệ thức Vi-et ta có x1+x2=61x1+x2=6

Câu 5 :

Gọi x1;x2 là nghiệm của phương trình x25x+2=0. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức A=x21+x22

  • A.

    20

  • B.

    21

  • C.

    22

  • D.

    23

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Sử dụng  hệ thức Vi-et

Nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0(a0) thì  {x1+x2=bax1x2=ca.

Bước 2: Biến đổi A=x21+x22=(x1+x2)22x1x2

Lời giải chi tiết :

Phương trình x25x+2=0Δ=(5)24.1.2=17>0 nên phương trình có hai nghiệm x1;x2

Theo hệ thức Vi-et ta có {x1+x2=bax1x2=ca.{x1+x2=5x1.x2=2.

Ta có A=x21+x22=(x1+x2)22x1x2=522.2=21

Câu 6 :

Gọi x1;x2 là nghiệm của phương trình x220x17=0. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức C=x31+x32

  • A.

    9000

  • B.

    2090

  • C.

    2009

  • D.

    9020

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1: Sử dụng  hệ thức Vi-et

Nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0(a0) thì  {x1+x2=bax1x2=ca.

Bước 2: Biến đổi biểu thức C để sử dụng được hệ thức Vi-et.

Lời giải chi tiết :

Phương trình x220x17=0Δ=468>0 nên phương trình có hai nghiệm x1;x2

Theo hệ thức Vi-et ta có {x1+x2=bax1x2=ca.{x1+x2=20x1.x2=17.

Ta có C=x31+x32=x31+3x21x2+3x1x22+x323x21x23x1x22

=(x1+x2)33x1x2(x1+x2)=2033.(17).20=9020

Câu 7 :

Gọi x1;x2 là nghiệm của phương trình 2x26x1=0. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức N=1x1+3+1x2+3

  • A.

    6

  • B.

    2

  • C.

    5

  • D.

    4

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Sử dụng  hệ thức Vi-et

Nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0(a0) thì  {x1+x2=bax1x2=ca.

Bước 2: Biến đổi biểu thức N để sử dụng được hệ thức Vi-et.

Lời giải chi tiết :

Phương trình 2x26x1=0Δ=(6)24.(2).(1)=28>0 nên phương trình có hai nghiệm x1;x2

Theo hệ thức Vi-et ta có {x1+x2=bax1x2=ca.{x1+x2=3x1.x2=12.

Ta có N=1x1+3+1x2+3=x1+x2+6x1x2+3(x1+x2)+9=3+612+3.(3)+9=6

Câu 8 :

Biết rằng phương trình  (m2)x2(2m+5)x+m+7=0(m2) luôn có nghiệm x1;x2 với mọi m. Tìm x1;x2 theo m.

  • A.

    x1=1;x2=m+7m2

  • B.

    x1=1;x2=m+7m2

  • C.

    x1=1;x2=m+7m2

  • D.

    x1=1;x2=m+7m2

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng cách nhẩm nghiệm :

Xét phương trình bậc hai : ax2+bx+c=0(a0).

+) Nếu phương trình có a+b+c=0 thì phương trình có một nghiệm x1=1, nghiệm kia là x2=ca.

+ ) Nếu phương trình có ab+c=0 thì phương trình có một nghiệm x1=1, nghiệm kia là x2=ca.

Lời giải chi tiết :

Phương trình  (m2)x2(2m+5)x+m+7=0a=m2;b=2m5;c=m+7

a+b+c=m22m5+m+7=0 nên phương trình có hai nghiệm x1=1;x2=m+7m2.

Câu 9 :

Tìm hai nghiệm của phương trình 18x2+23x+5=0 sau đó phân tích đa thức A=18x2+23x+5 sau thành nhân tử.

  • A.

    x1=1;x2=518;

    A=18(x+1)(x+518)

  • B.

    x1=1;x2=518;

    A=(x+1)(x+518)

  • C.

     x1=1;x2=518;

    A=18(x+1)(x518)

  • D.

    x1=1;x2=518;

    A=18(x1)(x+518)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1 : Tìm hai nghiệm của phương trình đã cho

Bước 2 : Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng

Nếu tam thức bậc hai ax2+bx+c(a0) có hai nghiệm x1x2 thì nó được phân tích thành nhân tử: ax2+bx+c=a(xx1)(xx2)

Lời giải chi tiết :

Phương trình 18x2+23x+5=0ab+c=1823+5=0 nê phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1=1;x2=518. Khi đó A=18.(x+1)(x+518).

Câu 10 :

Tìm uv biết rằng u+v=15,uv=36u>v

  • A.

    8

  • B.

    12

  • C.

    9

  • D.

    10

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Để tìm hai số x,y khi biết tổng S=x+y và tích P=xy, ta làm như sau:

+ Xét điều kiện S24P. Giải phương trình X2SX+P=0 để tìm các nghiệm X1,X2.

+ Khi đó các số cần tìm x,yx=X1,y=X2 hoặc x=X2,y=X1.

Lời giải chi tiết :

Ta có S=u+v=15,P=uv=36 . Nhận thấy S2=225>144=4P nên u,v là hai nghiệm của phương trình

x215x+36=0(x12)(x3)=0[x=12x=3

Vậy u=12;v=3 (vì u>v) nên uv=123=9.

Câu 11 :

Lập phương trình nhận hai số 353+5 làm nghiệm.

  • A.

    x26x4=0

  • B.

    x26x+4=0

  • C.

    x2+6x+4=0

  • D.

    x26x+4=0

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1 : Tìm tổng S và tích P của hai nghiệm.

Bước 2 :  : Hai số đó là hai nghiệm của phương trình X2SX+P=0 (ĐK: S24P)

Lời giải chi tiết :

Ta có S=35+3+5=6P=(35)(3+5)=4

Nhận thấy S2=36>16=4P nên hai số 353+5 là nghiệm của phương trình x26x+4=0.

Câu 12 :

Biết rằng phương trình x2(2a1)x4a3=0 luôn có hai nghiệm x1;x2 với mọi a. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào a.

  • A.

    2(x1+x2)x1x2=5

  • B.

    2(x1+x2)x1x2=5

  • C.

    2(x1+x2)+x1x2=5

  • D.

    2(x1+x2)+x1x2=5

Đáp án : D

Phương pháp giải :

– Sử dụng hệ thức Vi-et: Nếu x1,x2 là hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0(a0)thì {x1+x2=bax1x2=ca.

-Biến đổi hệ thức thu được (dùng phương pháp cộng đại số, phương pháp thế…) để triệt tiêu tham số.

Lời giải chi tiết :

Theo Vi-ét ta có {x1+x2=2a1x1x2=4a3{2(x1+x2)=4a2x1.x2=4a32(x1+x2)+x1x2=5

Vậy hệ thức cần tìm là 2(x1+x2)+x1x2=5.

Câu 13 :

Tìm các giá trị của m để phương trình x22(m1)xm+2=0 có hai nghiệm trái dấu.

  • A.

    m<2

  • B.

    m>2

  • C.

    m=2

  • D.

    m>0

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Xét phương trình ax2+bx+c=0(a0). Khi đó phương trình có hai nghiệm trái dấu ac<0.

Lời giải chi tiết :

Phương trình x22(m1)xm+2=0(a=1;b=2(m1);c=m+2)

Nên phương trình có hai nghiệm trái dấu khi ac<01.(m+2)<0m>2

Vậy m>2 là giá trị cần tìm.

Câu 14 :

Tìm các giá trị của m để phương trình x22(m3)x+84m=0 có hai nghiệm âm phân biệt.

  • A.

    m<2m1

  • B.

    m<3

  • C.

    m<2

  • D.

    m>0

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Xét phương trình ax2+bx+c=0(a0). Khi đó phương trình có hai nghiệm âm phân biệt {Δ>0P>0S<0.

Lời giải chi tiết :

Phương trình x22(m3)x+84m=0(a=1;b=(m3);c=84m)

Ta có Δ=(m3)2(84m)=m22m+1=(m1)2;

S=x1+x2=2(m3);P=x1.x2=84m

a=10 nên phương trình có hai nghiệm âm phân biệt {Δ>0P>0S<0{(m1)2>02(m3)<084m>0{m1m<3m<2{m1m<2

Vậy m<2m1 là giá trị cần tìm.

Câu 15 :

Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình x26x+2m+1=0 có hai nghiệm dương phân biệt

  • A.

    m{1;1;2;3}

  • B.

    m{1;2;3}

  • C.

    m{0;1;2;3;4}

  • D.

    m{0;1;2;3}

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Xét phương trình ax2+bx+c=0(a0). Khi đó phương trình có hai nghiệm dương  phân biệt {Δ>0P>0S>0.

Lời giải chi tiết :

Phương trình x26x+2m+1=0(a=1;b=3;c=2m+1)

Ta có Δ=92m1=82m; S=x1+x2=6;P=x1.x2=2m+1

a=10nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt {Δ>0P>0S>0{82m>06>02m+1>0{m<4m>1212<m<4mZm{0;1;2;3}

Vậy m{0;1;2;3}.

Câu 16 :

Tìm các giá trị của m để phương trình mx22(m2)x+3(m2)=0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.

  • A.

    m<0

  • B.

    m>1

  • C.

    1<m<0

  • D.

    m>0

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Xét phương trình ax2+bx+c=0(a0). Khi đó phương trình có hai nghiệm cùng dấu {Δ>0P>0.

Lời giải chi tiết :

Phương trình mx22(m2)x+3(m2)=0(a=m;b=2(m2);c=3(m2))

Ta có Δ=(m2)23m(m2)=2m2+2m+4=(42m)(m+1); P=x1.x2=3(m2)m

Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi {a0Δ>0P>0{m0(42m)(m+1)>03(m2)m>0{m01<m<2[m>2m<01<m<0

Vậy 1<m<0 là giá trị cần tìm.

Câu 17 :

Tìm các giá trị của m để phương trình x2mxm1=0 có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn: x31+x32=1.

  • A.

    m=1

  • B.

    m=1

  • C.

    m=0

  • D.

    m>1

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm {a0Δ0.

Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số.

Bước 3. Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận.

Lời giải chi tiết :

Phương trình x2mxm1=0a=10Δ=m24(m1)=(m2)20;m nên phương trình luôn có hai nghiệm x1,x2

Theo hệ thức Vi-ét ta có {x1+x2=mx1.x2=m1

 Xét x31+x32=1(x1+x2)33x1x2(x1+x2)=1m33m(m1)=1m3+3m2+3m+1=0

(m+1)3=0m=1

Vậy m=1 là giá trị cần tìm.

Câu 18 :

Tìm các giá trị của m để phương trình x25x+m+4=0 có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn: x21+x22=23.

  • A.

    m=2

  • B.

    m=1

  • C.

    m=3

  • D.

    m=4

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm {a0Δ0.

Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số.

Bước 3. Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận.

Lời giải chi tiết :

Phương trình x25x+m+4=0a=10Δ=254(m+4)=94m

Phương trình  có hai nghiệm x1,x2 khi Δ094m0m94.

Theo hệ thức Vi-ét ta có {x1+x2=5x1.x2=m+4

 Xét x21+x22=23(x1+x2)22x1x2=23252m8=23m=3(TM)

Vậy m=3 là giá trị cần tìm.

Câu 19 :

Giá trị nào dưới đây gần nhất với giá trị của mđể phương trình x2+3xm=0 có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn: 2x1+3x2=13.

  • A.

     416

  • B.

    415

  • C.

    414

  • D.

    418

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm {a0Δ0.

Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số.

Bước 3. Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận.

Lời giải chi tiết :

Phương trình x2+3xm=0a=10Δ=9+4m

Phương trình  có hai nghiệm x1,x2 khi Δ09+4m0m94.

Theo hệ thức Vi-ét ta có {x1+x2=3(1)x1.x2=m(2)

 Xét 2x1+3x2=13x1=133x22 thế vào phương trình (1) ta được  133x22+x2=3x2=19x1=22

Từ đó phương trình (2) trở thành 19.22=mm=418 (nhận)

Vậy m=418 là giá trị cần tìm.

Câu 20 :

Tìm giá trị của m để phương trình x2+(4m+1)x+2(m4)=0 có hai nghiệm x1,x2 và biểu thức A=(x1x2)2 đạt giá trị nhỏ nhất.

  • A.

    m=1

  • B.

    m=0

  • C.

    m=2

  • D.

     m=3

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm {a0Δ0.

Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số.

Bước 3. Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận.

Lời giải chi tiết :

Phương trình x2+(4m+1)x+2(m4)=0a=10Δ=(4m+1)28(m4)=16m2+33>0;m

Nên phương trình  luôn có hai nghiệm  phân biệt x1,x2.

Theo hệ thức Vi-ét ta có {x1+x2=4m1x1.x2=2m8

 Xét A=(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2=16m2+3333

Dấu “=” xảy ra khi m=0

Vậy m=0 là giá trị cần tìm.

Câu 21 :

Tìm giá trị của m để phương trình x22(m2)x+2m5=0 có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn x1(1x2)+x2(1x1)<4

  • A.

    m>1

  • B.

    m<0

  • C.

    m>2

  • D.

    m<3

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm {a0Δ0.

Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số.

Bước 3. Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận.

Lời giải chi tiết :

Phương trình x22(m2)x+2m5=0a=10Δ=(m2)22m+5=m26m+9=(m3)20;m

Nên phương trình  luôn có hai nghiệm x1,x2.

Theo hệ thức Vi-ét ta có {x1+x2=2m4x1.x2=2m5

 Xét x1(1x2)+x2(1x1)<4(x1+x2)2x1x24<02m42(2m5)4<0 \Leftrightarrow  – 2m + 2 < 0 \Leftrightarrow m > 1

Vậy m > 1 là giá trị cần tìm.

Câu 22 :

Cho phương trình {x^2} + mx + n – 3 = 0. Tìm m và n để hai nghiệm {x_1}\,\,;\,\,{x_2} của phương trình thỏa mãn hệ \left\{ \begin{array}{l}{x_1} – {x_2} = 1\\x_1^2 – x_2^2 = 7\end{array} \right.

  • A.

    m = 7\,\,;\,\,\,n =  – 15

  • B.

    m = 7\,\,;\,\,\,n = 15

  • C.

    m =  – 7\,\,;\,\,\,n = 15

  • D.

    m =  – 7\,\,;\,\,\,n =  – 15

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng biểu thức \Delta để tìm điều kiện phương trình có 2 nghiệm, sử dụng định lý Vi – ét biến đổi biểu thức theo {x_1} + {x_2}\,\,;\,\,{x_1}{x_2}. Từ đó tìm điều kiện của m và n.

Lời giải chi tiết :

\Delta  = {m^2} – 4(n – 3) = {m^2} – 4n + 12.

Phương trình có hai nghiệm {x_1}\,\,;\,\,{x_2} \Leftrightarrow \Delta  \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} – 4n + 12 \ge 0

Áp dụng định lý Vi – ét ta có: {x_1} + {x_2} =  – m\,\,\,;\,\,{x_1}{x_2} = n – 3\,\,\,.

Ta có:

\left\{ \begin{array}{l} {x_1} – {x_2} = 1\\ x_1^2 – x_2^2 = 7 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2} = 1\\({x_1} – {x_2})({x_1} + {x_2}) = 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 4{x_1}{x_2} = 1\\{x_1} + {x_2} = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}49 – 4{x_1}{x_2} = 1\\{x_1} + {x_2} = 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} = 12\\{x_1} + {x_2} = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n – 3 = 12\\ – m = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  – 7\\n = 15\end{array} \right.

Thử lại ta có: \Delta  = {\left( { – 7} \right)^2} – 4.15 + 12 = 1 > 0\,\,\,\left( {tm} \right)

Vậy m =  – 7;\,\,n = 15.

Câu 23 :

Cho phương trình {x^2} – 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 3m – 1 = 0, (m là tham số).

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt {x_1},\,\,{x_2} thỏa mãn x_1^2 + x_2^2 = 10.

  • A.

    m = 1\,;\,\,m = 2

  • B.

    m = – 1\,;\,\,m = – 2

  • C.

    m = 1\,;\,\,m = – 2

  • D.

    m = – 1\,;\,\,m = 2

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng hệ thức Vi-ét.

Lời giải chi tiết :

Để phương trình  {x^2} – 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 3m – 1 = 0  (*) có 2 nghiệm phân biệt {x_1},\,\,{x_2} thì:

\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\Delta ‘ > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} – {m^2} – 3m + 1 > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 – {m^2} – 3m + 1 > 0\\ \Leftrightarrow  – m + 2 > 0\\ \Leftrightarrow m < 2\end{array}

Khi đó, áp dụng định lí Vi-ét ta có: \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right) = 2m + 2\\{x_1}{x_2} = {m^2} + 3m – 1\end{array} \right..

Theo bài ra ta có:

\begin{array}{l}\,\,\,\,\,x_1^2 + x_2^2 = 10\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2} = 10\\ \Leftrightarrow {\left( {2m + 2} \right)^2} – 2\left( {{m^2} + 3m – 1} \right) = 10\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 8m + 4 – 2{m^2} – 6m + 2 = 10\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 2m – 4 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + m – 2 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} – m + 2m – 2 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m – 1} \right) + 2\left( {m – 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m – 1} \right)\left( {m + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m – 1 = 0\\m + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  – 2\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}

Vậy m = 1 hoặc m =  – 2.

Câu 24 :

Tìm a, b để đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = 4x + 5 và cắt đồ thị hàm số y = {x^2} tại hai điểm A\left( {{x_1};{y_1}} \right), B\left( {{x_2};{y_2}} \right) phân biệt thỏa mãn x_1^2 + x_2^2 = 10.

  • A.
    a = 4\,;\,\,b = – 1
  • B.
    a = 4\,;\,\,b = – 2
  • C.
    a = 4\,;\,\,b = – 3
  • D.
    a = 4\,;\,\,b = 2

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng hệ thức Vi-ét

Lời giải chi tiết :

Vì đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = 4x + 5 nên \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b \ne 5\end{array} \right..

Khi đó phương trình đường thẳng cần tìm có dạng y = 4x + b\,\,\left( {b \ne 5} \right).

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = 4x + b\,\,\left( {b \ne 5} \right) và parabol y = {x^2}:

{x^2} = 4x + b \Leftrightarrow {x^2} – 4x – b = 0\,\,\left( * \right)

Để đường thẳng y = 4x + b\,\,\left( {b \ne 5} \right) cắt parabol y = {x^2} tại 2 điểm phân biệt A\left( {{x_1};{y_1}} \right), B\left( {{x_2};{y_2}} \right) thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt {x_1},\,\,{x_2}.

\Rightarrow \Delta ‘ = {\left( { – 2} \right)^2} + b = 4 + b > 0 \Leftrightarrow b >  – 4.

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4\\{x_1}{x_2} =  – b\end{array} \right..

Theo bài ra ta có:

\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,x_1^2 + x_2^2 = 10\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2} = 10\\ \Leftrightarrow {4^2} + 2b = 10\\ \Leftrightarrow 16 + 2b = 10\\ \Leftrightarrow 2b =  – 6\\ \Leftrightarrow b =  – 3\,\,\left( {tm} \right)\end{array}

Vậy a = 4,\,\,b =  – 3.

Câu 25 :

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình {x^2} – 2\left( {m – 1} \right)x + {m^2} – 6 = 0 có hai nghiệm {x_1},\,\,{x_2} sao cho x_1^2 + 4{x_1} + 2{x_2} – 2m{x_1} =  – 3.

  • A.
    m = 1
  • B.
    m = – 1
  • C.
    m = 2
  • D.
    m = \dfrac{1}{2}

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng hệ thức Vi-ét

Lời giải chi tiết :

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm {x_1},\,\,{x_2} thì: 

\begin{array}{l}\Delta ‘ = {\left( {m – 1} \right)^2} – \left( {{m^2} – 6} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^2} – 2m + 1 – {m^2} + 6 \ge 0\\ \Leftrightarrow  – 2m + 7 \ge 0\\ \Leftrightarrow 2m \le 7\\ \Leftrightarrow m \le \dfrac{7}{2}\end{array}

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m – 1} \right) = 2m – 2\\{x_1}{x_2} = {m^2} – 6\end{array} \right..

Theo bài ra ta có:

\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,x_1^2 + 4{x_1} + 2{x_2} – 2m{x_1} =  – 3\\ \Leftrightarrow x_1^2 – 2\left( {m – 1} \right){x_1} + {m^2} – 6 + 2{x_1} + 2{x_2} = {m^2} – 6 – 3\\ \Leftrightarrow x_1^2 – 2\left( {m – 1} \right){x_1} + {m^2} – 6 + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {m^2} – 9\,\,\left( * \right)\end{array}

{x_1} là nghiệm của phương trình đã cho nên x_1^2 – 2\left( {m – 1} \right){x_1} + {m^2} – 6 = 0, do đó 

\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {m^2} – 9\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2.\left( {2m – 2} \right) = {m^2} – 9\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 4m – 4 = {m^2} – 9\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {m^2} – 4m – 5 = 0\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {m^2} + m – 5m – 5 = 0\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m\left( {m + 1} \right) – 5\left( {m + 1} \right) = 0\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {m – 5} \right) = 0\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 0\\m – 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  – 1\,\,\left( {tm} \right)\\m = 5\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}

Vậy m =  – 1.

Câu 26 :

Cho phương trình {x^2} + 4x + 3m – 2 = 0, với m là tham số.

Câu 26.1

Giải phương trình với m =  – 1.

  • A
    S = \left \{ – 1; – 5 \right \}
  • B
    S = \left \{ 1; 5 \right \}
  • C
    S = \left \{ – 1; 5 \right \}
  • D
    S = \left \{ 1; – 5 \right \}

Đáp án: D

Phương pháp giải :

Thay m=-1 vào rồi giải phương trình thu được.

Lời giải chi tiết :

Thay m =  – 1 vào phương trình đã cho ta có: 

\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^2} + 4x – 5 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} – x + 5x – 5 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x – 1} \right) + 5\left( {x – 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {x + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – 1 = 0\\x + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  – 5\end{array} \right.\end{array}

Vậy khi m =  – 1 thì tập nghiệm của phương trình là S = \left\{ {1; – 5} \right\}.

Câu 26.2

Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có một nghiệm x = 2.

  • A
    m = \dfrac{10}{3}
  • B
    m = – \dfrac{10}{3}
  • C
    m = – \dfrac{8}{3}
  • D
    m = \dfrac{8}{3}

Đáp án: B

Phương pháp giải :

Thay x=2 vào phương trình để tìm m.

Lời giải chi tiết :

x = 2 là một nghiệm của phương trình nên thay x = 2 vào phương trình ta có:

\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{2^2} + 4.2 + 3m – 2 = 0\\ \Leftrightarrow 3m + 10 = 0\\ \Leftrightarrow m =  – \dfrac{{10}}{3}\end{array}

Vậy khi m =  – \dfrac{{10}}{3} thì phương trình đã cho có một nghiệm x = 2.

Câu 26.3

Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt {x_1},\,\,{x_2} sao cho {x_1} + 2{x_2} = 1.

  • A
    m = – \dfrac{41}{3}
  • B
    m = – \dfrac{43}{3}
  • C
    m = \dfrac{43}{3}
  • D
    m = \dfrac{41}{3}

Đáp án: B

Phương pháp giải :

Sử dụng định lý Vi-ét.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \Delta ‘ = {\left( { – 2} \right)^2} – \left( {3m – 2} \right) = 4 – 3m + 2 = 6 – 3m.

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt {x_1},\,\,{x_2} thì \Delta ‘ > 0 \Leftrightarrow 6 – 3m > 0 \Leftrightarrow m < 2.

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  – 4\\{x_1}{x_2} = 3m – 2\end{array} \right.\,\,\left( * \right).

Theo bài ra ta có: {x_1} + 2{x_2} = 1 \Leftrightarrow {x_1} = 1 – 2{x_2}.

Thế vào hệ (*) ta có: 

\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}1 – 2{x_2} + {x_2} =  – 4\\\left( {1 – 2{x_2}} \right).{x_2} = 3m – 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 5\\\left( {1 – 2.5} \right).5 = 3m – 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 5\\3m – 2 =  – 45\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 5\\m =  – \dfrac{{43}}{3}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}

Vậy m =  – \dfrac{{43}}{3}.

Câu 27 :

Cho phương trình {x^2} – 2mx – 4m – 5 = 0 (1) (m là tham số).

Câu 27.1

Giải phương trình (1) khi m =  – 2.

  • A
    S = \left \{ 1; – 3 \right \}
  • B
    S = \left \{ – 1; – 3 \right \}
  • C
    S = \left \{ – 1; 3 \right \}
  • D
    S = \left \{ 1; 3 \right \}

Đáp án: B

Phương pháp giải :

Thay m=-2 vào phương trình đã cho rồi giải phương trình thu được.

Lời giải chi tiết :

Thay m =  – 2 vào phương trình (1) ta có: {x^2} + 4x + 3 = 0.

Nhận xét thấy a – b + 3 = 1 – 4 + 3 = 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \left[ \begin{array}{l}{x_1} =  – 1\\{x_2} =  – \dfrac{c}{a} =  – 3\end{array} \right..

Vậy khi m =  – 2 thì tập nghiệm của phương trình là S = \left\{ { – 1; – 3} \right\}.

Câu 27.2

Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm {x_1},\,\,{x_2} thỏa mãn:

\dfrac{1}{2}x_1^2 – \left( {m – 1} \right){x_1}{\kern 1pt}  + {x_2} – 2m + \dfrac{{33}}{2} = 4059

  • A
    m = 2020
  • B
    m = 2019
  • C
    m = 2021
  • D
    m = 2022

Đáp án: A

Phương pháp giải :

Sử dụng hệ thức Vi-ét

Lời giải chi tiết :

\dfrac{1}{2}x_1^2 – \left( {m – 1} \right){x_1}{\kern 1pt}  + {x_2} – 2m + \dfrac{{33}}{2} = 4059.

Phương trình (1) có \Delta ‘ = {m^2} – \left( {4m – 5} \right) = {m^2} + 4m + 5 = {\left( {m + 2} \right)^2} + 1 > 0\,\,\forall m.

Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt {x_1},\,\,{x_2} với mọi m.

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} =  – 4m – 5\end{array} \right..

Theo bài ra ta có:

\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\dfrac{1}{2}x_1^2 – \left( {m – 1} \right){x_1}{\kern 1pt}  + {x_2} – 2m + \dfrac{{33}}{2} = 4059\\ \Leftrightarrow x_1^2 – 2\left( {m – 1} \right){x_1}{\kern 1pt}  + 2{x_2} – 4m + 33 = 8118\\ \Leftrightarrow x_1^2 – 2m{x_1} + 2{x_1}{\kern 1pt}  + 2{x_2} – 4m = 8085\\ \Leftrightarrow x_1^2 – 2m{x_1} – 4m – 5 + 2{x_1}{\kern 1pt}  + 2{x_2} = 8085 – 5\\ \Leftrightarrow \left( {x_1^2 – 2m{x_1} – 4m – 5} \right) + 2\left( {{x_1}{\kern 1pt}  + {x_2}} \right) = 8080\,\,\,\left( * \right)\end{array}

{x_1} là nghiệm của phương trình (1) nên ta có: x_1^2 – 2m{x_1} – 4m – 5 = 0.

Do đó:

\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 8080\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 4040\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2m = 4040\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m = 2020\end{array}

Vậy m = 2020.

Câu 28 :

Cho phương trình bậc hai {x^2} – 2x + m – 1 = 0 (*), với m là tham số

Câu 28.1

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (*) có nghiệm

  • A
    m < 2
  • B
    m > 2
  • C
    m \le 2
  • D
    m \ge 2

Đáp án: C

Phương pháp giải :

Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình {x^2} – 2x + m – 1 = 0 (*) có:

\Delta ‘ = {\left( { – 1} \right)^2} – 1.\left( {m – 1} \right) = 2 – m

Để phương trình (*) có nghiệm thì \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ‘ \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \ne 0\left( {ld} \right)\\2 – m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 2

Vậy với m \le 2 thì phương trình (*) có nghiệm.

Câu 28.2

Tính theo m giá trị của biểu thức A = x_1^3 + x_2^3 với {x_1},{x_2} là hai nghiệm của phương trình (*). Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

  • A
    1
  • B
    2
  • C
    3
  • D
    4

Đáp án: B

Phương pháp giải :

Sử dụng hệ thức Vi-ét

Lời giải chi tiết :

Theo câu trước với m \le 2 thì phương trình (*) có nghiệm {x_1},{x_2}

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = m – 1\end{array} \right.

Xét A = x_1^3 + x_2^3

\begin{array}{l} = x_1^3 + 3x_1^2{x_2} + 3{x_1}x_2^2 + x_2^3 – \left( {3x_1^2{x_2} + 3{x_1}x_2^2} \right)\\ = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} – 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\\ = {2^3} – 3\left( {m – 1} \right).2\\ = 8 – 6\left( {m – 1} \right)\\ = 8 – 6m + 6\\ = 14 – 6m\end{array}

Vậy A = 14 – 6m

m \le 2 nên ta có: 6m \le 12 \Leftrightarrow 14 – 6m \ge 14 – 12 \Leftrightarrow 14 – 6m \ge 2

Dấu “=” xảy ra khi m = 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 \Leftrightarrow m = 2.

Câu 29 :

Cho phương trình ẩn x: {x^2} – 5x + \left( {m – 2} \right) = 0\,\,\,\left( 1 \right).

Câu 29.1

Giải phương trình (1) với m = 6.

  • A
    S = \left\{ { – 1;4} \right\}
  • B
    S = \left\{ {1;4} \right\}
  • C
    S = \left\{ {1; – 4} \right\}
  • D
    S = \left\{ { – 1; – 4} \right\}

Đáp án: B

Phương pháp giải :

Thay m=6 vào phương trình rồi giải.

Lời giải chi tiết :

Với m = 6 thì phương trình (1) trở thành:

\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^2} – 5x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} – x – 4x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} – x} \right) – \left( {4x – 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x – 1} \right) – 4\left( {x – 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {x – 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – 1 = 0\\x – 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\end{array}

Vậy với m = 6 thì tập nghiệm của phương trình là S = \left\{ {1;4} \right\}.

Câu 29.2

Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt {x_1},\,\,{x_2} thỏa mãn hệ thức \dfrac{1}{{\sqrt {{x_1}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2}} }} = \dfrac{3}{2}.

  • A
    m = 2
  • B
    m = 4
  • C
    m = 1
  • D
    m = 6

Đáp án: D

Phương pháp giải :

Sử dụng hệ thức Vi-ét

Lời giải chi tiết :

Để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt {x_1},\,\,{x_2} thì \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( { – 5} \right)^2} – 4\left( {m – 2} \right) > 0\\5 > 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\m – 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}25 – 4m + 8 > 0\\m > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}33 – 4m > 0\\m > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{{33}}{4}\\m > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 < m < \dfrac{{33}}{4}.

Khi đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}{x_2} = m – 2\end{array} \right..

Theo bài ra ta có:

\begin{array}{l}\dfrac{1}{{\sqrt {{x_1}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2}} }} = \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {{x_1}}  + \sqrt {{x_2}} }}{{\sqrt {{x_1}{x_2}} }} = \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow 2\left( {\sqrt {{x_1}}  + \sqrt {{x_2}} } \right) = 3\sqrt {{x_1}{x_2}} \\ \Leftrightarrow 4\left( {{x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} } \right) = 9{x_1}{x_2}\\ \Leftrightarrow 4\left( {5 + 2\sqrt {m – 2} } \right) = 9\left( {m – 2} \right)\\ \Leftrightarrow 9\left( {m – 2} \right) – 8\sqrt {m – 2}  – 20 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}

Đặt t = \sqrt {m – 2} \,\,\left( {t \ge 0} \right), phương trình (*) trở thành:

\begin{array}{l}\,\,\,\,\,9{t^2} – 8t – 20 = 0\\ \Leftrightarrow 9{t^2} – 18t + 10t – 20 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {9{t^2} – 18t} \right) + \left( {10t – 20} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 9t\left( {t – 2} \right) + 10\left( {t – 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t – 2} \right)\left( {9t + 10} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t – 2 = 0\\9t + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t =  – \dfrac{{10}}{9}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}

Với t = 2 \Rightarrow \sqrt {m – 2}  = 2 \Leftrightarrow m – 2 = 4 \Leftrightarrow m = 6\,\,\left( {tm} \right).

Vậy m = 6.

Câu 30 :

Cho phương trình: {x^2} – 2020x + 2021 = 0 có hai nghiệm phân biệt {x_1},\,{x_2}. Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau:

Câu 30.1

\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} 

  • A
    \dfrac{{2020}}{{2021}}
  • B
    \dfrac{{2021}}{{2020}}
  • C
    – \dfrac{{2020}}{{2021}}
  • D
    – \dfrac{{2021}}{{2020}}

Đáp án: A

Phương pháp giải :

Tính \Delta ‘ = {b^{‘2}} – ac > 0 chứng minh phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt {x_1},\,\,{x_2}.

Áp dụng định lý Vi-et ta có: \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2020\\{x_1}{x_2} = 2021\end{array} \right.

Từ đó biến đổi và tính giá trị của các biểu thức bài cho.

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình: {x^2} – 2020x + 2021 = 0\,\,\,\left( * \right)

Ta có: \Delta ‘ = {1010^2} – 2021 = 1018079 > 0

\Rightarrow Phương trình \left( * \right) có hai nghiệm phân biệt {x_1},\,\,{x_2}

Áp dụng định lý Vi-et ta có: \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2020\\{x_1}{x_2} = 2021\end{array} \right.

Ta có:  \dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \dfrac{{2020}}{{2021}}.

Câu 30.2

x_1^2 + x_2^2

  • A
    4080401
  • B
    4088481
  • C
    4076358
  • D
    4084442

Đáp án: C

Phương pháp giải :

Tính \Delta ‘ = {b^{‘2}} – ac > 0 chứng minh phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt {x_1},\,\,{x_2}.

Áp dụng định lý Vi-et ta có: \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2020\\{x_1}{x_2} = 2021\end{array} \right.

Từ đó biến đổi và tính giá trị của các biểu thức bài cho.

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình: {x^2} – 2020x + 2021 = 0\,\,\,\left( * \right)

Ta có: \Delta ‘ = {1010^2} – 2021 = 1018079 > 0 

\Rightarrow Phương trình \left( * \right) có hai nghiệm phân biệt {x_1},\,\,{x_2}

Áp dụng định lý Vi-et ta có: \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2020\\{x_1}{x_2} = 2021\end{array} \right.

Ta có: x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2} = {2020^2} – 2.2021 = 4076358

Câu 31 :

Cho phương trình {x^2} + 5x + m – 2 = 0 (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt {x_1},\,{x_2} thỏa mãn hệ thức

\dfrac{1}{{{{\left( {{x_1} – 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {{x_2} – 1} \right)}^2}}} = 1

  • A.
    m =  – 5 \pm 5\sqrt 2
  • B.
    m =  – 2 \pm 2\sqrt 2
  • C.
    m =  \pm 2
  • D.
    m =  \pm 1

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng hệ thức Vi-ét

Lời giải chi tiết :

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt {x_1} \ne 1,\,\,{x_2} \ne 1 thì

\left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\1 + 5 + m – 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{5^2} – 4\left( {m – 2} \right) > 0\\m + 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}25 – 4m + 8 > 0\\m \ne  – 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m < 33\\m \ne  – 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{{33}}{4}\\m \ne  – 4\end{array} \right..

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  – 5\\{x_1}{x_2} = m – 2\end{array} \right..

Theo bài ra ta có:

\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\dfrac{1}{{{{\left( {{x_1} – 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {{x_2} – 1} \right)}^2}}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {{x_1} – 1} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} – 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x_1} – 1} \right)}^2}.{{\left( {{x_2} – 1} \right)}^2}}} = 1\\ \Leftrightarrow x_1^2 – 2{x_1} + 1 + x_2^2 – 2{x_2} + 1 = {\left[ {{x_1}{x_2} – \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1} \right]^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2} – 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2 = {\left[ {{x_1}{x_2} – \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1} \right]^2}\\ \Rightarrow 25 – 2\left( {m – 2} \right) – 2.\left( { – 5} \right) + 2 = {\left( {m – 2 + 5 + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 25 – 2m + 4 + 10 + 2 = {\left( {m + 4} \right)^2}\\ \Leftrightarrow  – 2m + 41 = {m^2} + 8m + 16\\ \Leftrightarrow {m^2} + 10m – 25 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}

Ta có: {\Delta _m} = {\left( { – 5} \right)^2} – \left( { – 25} \right) = 50 > 0, do đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

\left[ \begin{array}{l}{m_1} = \dfrac{{ – 10 + \sqrt {50} }}{2} =  – 5 + 5\sqrt 2 \\{m_1} = \dfrac{{ – 10 – \sqrt {50} }}{2} =  – 5 – 5\sqrt 2 \end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right).

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là m =  – 5 \pm 5\sqrt 2 .

Câu 32 :

Cho phương trình {x^2} – 2\left( {m – 1} \right)x + 2m – 5 = 0 (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình trên có 2 nghiệm {x_1},\,\,{x_2} thỏa mãn \left( {x_1^2 – 2m{x_1} + 2m – 1} \right)\left( {{x_2} – 2} \right) \le 0.

  • A.
    m \le \dfrac{3}{2}
  • B.
    m \ge \dfrac{3}{2}
  • C.
    m \le – \dfrac{3}{2}
  • D.
    m \ge – \dfrac{3}{2}

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm.

Áp dụng hệ thức Vi-et và hệ thức bài cho để tìm m.

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình {x^2} – 2\left( {m – 1} \right)x + 2m – 5 = 0 ta có:

\begin{array}{l}\Delta ‘ = {\left( {m – 1} \right)^2} – 2m + 5\\\,\,\,\,\,\,\, = {m^2} – 2m + 1 – 2m + 5\\\,\,\,\,\,\,\, = {m^2} – 4m + 4 + 2\\\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {m – 2} \right)^2} + 2 > 0\,\,\,\forall m\end{array}

\Rightarrow Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt {x_1},\,\,{x_2} với mọi m.

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m – 1} \right) = 2m – 2\\{x_1}{x_2} = 2m – 5\end{array} \right..

{x_1} là nghiệm của phương trình đã cho nên ta có:

\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,x_1^2 – 2\left( {m – 1} \right){x_1} + 2m – 5 = 0\\ \Leftrightarrow x_1^2 – 2m{x_1} + 2{x_1} + 2m – 5 = 0\\ \Leftrightarrow x_1^2 – 2m{x_1} + 2m – 1 + 2{x_1} – 4 = 0\\ \Leftrightarrow x_1^2 – 2m{x_1} + 2m – 1 =  – 2\left( {{x_1} – 2} \right)\end{array}

Theo đề bài ta có:

\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {x_1^2 – 2m{x_1} + 2m – 1} \right)\left( {{x_2} – 2} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow  – 2\left( {{x_1} – 2} \right)\left( {{x_2} – 2} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1} – 2} \right)\left( {{x_2} – 2} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} – 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow 2m – 5 – 2\left( {2m – 2} \right) + 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow 2m – 1 – 4m + 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow  – 2m \ge  – 3\\ \Leftrightarrow m \le \dfrac{3}{2}\end{array}

Vậy m \le \dfrac{3}{2} thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu 33 :

Cho parabol \left( P \right):y =  – {x^2} và đường thẳng \left( d \right):y = x + m – 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để \left( d \right) cắt \left( P \right) tại hai điểm phân biệt có hoành độ {x_1},{x_2} thỏa mãn x_1^2 + x_2^2 < 3.

  • A.

    2 < m < \dfrac{9}{4}

  • B.

    1 < m < \dfrac{9}{4}

  • C.

    – 1 < m < \dfrac{9}{4}

  • D.

    – 2 < m < \dfrac{9}{4}

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đường thẳng d cắt \left( P \right) tại hai điểm phân biệt \Leftrightarrow phương trình hoành độ giao điểm \left( * \right) của hai đồ thị hàm số có hai nghiệm phân biệt \Leftrightarrow \Delta  > 0.

Áp dụng hệ thức Vi-et và hệ thức bài cho để tìm m.

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \left( P \right)\left( d \right): – {x^2} = x + m – 2 \Leftrightarrow {x^2} + x + m – 2 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)

Ta có: \Delta  = 1 – 4\left( {m – 2} \right) = 9 – 4m

Đường thẳng \left( d \right) cắt \left( P \right) tại hai điểm phân biệt \Leftrightarrow Phương trình \left( 1 \right) có hai nghiệm phân biệt

\Leftrightarrow \Delta  > 0 \Leftrightarrow 9 – 4m > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{9}{4}

Với m < \dfrac{9}{4} thì phương trình \left( 1 \right) có hai nghiệm phân biệt {x_1},\,\,{x_2}.

Áp dụng hệ thức Vi-et, ta có: \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  – 1\\{x_1}{x_2} = m – 2\end{array} \right..

Theo đề bài ta có: x_1^2 + x_2^2 < 3

\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2} < 3\\ \Leftrightarrow {\left( { – 1} \right)^2} – 2\left( {m – 2} \right) < 3\\ \Leftrightarrow 1 – 2m + 4 < 3\\ \Leftrightarrow 2m > 2\\ \Leftrightarrow m > 1\end{array}

Kết hợp với điều kện m < \dfrac{9}{4} ta được: \(1

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE