4. Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Đề bài

Câu 1 :

Chọn phát biểu đúng. Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ . Khi đó

A.

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = – \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$
B.

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$
C.

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = – \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = – \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$
D.

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = – \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$

Câu 2 :

Chọn phát biểu đúng. Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có $a – b + c = 0$ . Khi đó

A.

Phương trình có một nghiệm ${x_1} = 1$ , nghiệm kia là ${x_2} = \dfrac{c}{a}$
B.

Phương trình có một nghiệm ${x_1} = – 1$ , nghiệm kia là ${x_2} = \dfrac{c}{a}$
C.

Phương trình có một nghiệm ${x_1} = – 1$ , nghiệm kia là ${x_2} = – \dfrac{c}{a}.$
D.

Phương trình có một nghiệm ${x_1} = 1$ , nghiệm kia là ${x_2} = – \dfrac{c}{a}.$

Câu 3 :

Cho hai số có tổng là $S$ và tích là $P$ với ${S^2} \ge 4P$ . Khi đó hai số đó là hai nghiệm của phương trình nào dưới đây?

A.

${X^2} – PX + S = 0$
B.

${X^2} – SX + P = 0$
C.

$S{X^2} – X + P = 0$
D.

${X^2} – 2SX + P = 0$

Câu 4 :

Không giải phương trình, tính tổng hai nghiệm (nếu có) của phương trình ${x^2} – 6x + 7 = 0$

A.

$\dfrac{1}{6}$
B.

$3$
C.

$6$
D.

$7$

Câu 5 :

Gọi ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} – 5x + 2 = 0$ . Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $A = x_1^2 + x_2^2$

A.

$20$
B.

$21$
C.

$22$
D.

$23$

Câu 6 :

Gọi ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} – 20x – 17 = 0$ . Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $C = x_1^3 + x_2^3$

A.

$9000$
B.

$2090$
C.

$2009$
D.

$9020$

Câu 7 :

Gọi ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình $– 2{x^2} – 6x – 1 = 0$ . Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $N = \dfrac{1}{{{x_1} + 3}} + \dfrac{1}{{{x_2} + 3}}$

A.

$6$
B.

$2$
C.

$5$
D.

$4$

Câu 8 :

Biết rằng phương trình $\left( {m – 2} \right){x^2} – \left( {2m + 5} \right)x + m + 7 = 0\,\left( {m \ne 2} \right)$ luôn có nghiệm ${x_1};{x_2}$ với mọi $m$ . Tìm ${x_1};{x_2}$ theo $m$ .

A.

${x_1} = – 1;{x_2} = – \dfrac{{m + 7}}{{m – 2}}$
B.

${x_1} = 1;{x_2} = – \dfrac{{m + 7}}{{m – 2}}$
C.

${x_1} = 1;{x_2} = \dfrac{{m + 7}}{{m – 2}}$
D.

${x_1} = – 1;{x_2} = \dfrac{{m + 7}}{{m – 2}}$

Câu 9 :

Tìm hai nghiệm của phương trình $18{x^2} + 23x + 5 = 0$ sau đó phân tích đa thức $A = 18{x^2} + 23x + 5$ sau thành nhân tử.

A.

${x_1} = – 1;{x_2} = – \dfrac{5}{{18}};$

$A = 18\left( {x + 1} \right)\left( {x + \dfrac{5}{{18}}} \right)$
B.

${x_1} = – 1;{x_2} = – \dfrac{5}{{18}};$

$A = \left( {x + 1} \right)\left( {x + \dfrac{5}{{18}}} \right)$
C.

${x_1} = – 1;{x_2} = \dfrac{5}{{18}};$

$A = 18\left( {x + 1} \right)\left( {x – \dfrac{5}{{18}}} \right)$
D.

${x_1} = 1;{x_2} = – \dfrac{5}{{18}};$

$A = 18\left( {x – 1} \right)\left( {x + \dfrac{5}{{18}}} \right)$

Câu 10 :

Tìm $u – v$ biết rằng $u + v = 15,uv = 36$ và $u > v$

A.

$8$
B.

$12$
C.

$9$
D.

$10$

Câu 11 :

Lập phương trình nhận hai số $3 – \sqrt 5$ và $3 + \sqrt 5$ làm nghiệm.

A.

${x^2} – 6x – 4 = 0$
B.

${x^2} – 6x + 4 = 0$
C.

${x^2} + 6x + 4 = 0$
D.

$– {x^2} – 6x + 4 = 0$

Câu 12 :

Biết rằng phương trình ${x^2} – \left( {2a – 1} \right)x – 4a – 3 = 0$ luôn có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ với mọi $a$ . Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào $a$ .

A.

$2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) – {x_1}{x_2} = 5$
B.

$2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) – {x_1}{x_2} = – 5$
C.

$2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2} = 5$
D.

$2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2} = – 5$

Câu 13 :

Tìm các giá trị của $m$ để phương trình ${x^2} – 2\left( {m – 1} \right)x – m + 2 = 0$ có hai nghiệm trái dấu.

A.

$m < 2$
B.

$m > 2$
C.

$m = 2$
D.

$m > 0$

Câu 14 :

Tìm các giá trị của $m$ để phương trình ${x^2} – 2\left( {m – 3} \right)x + 8 – 4m = 0$ có hai nghiệm âm phân biệt.

A.

$m < 2$ và $m \ne 1$
B.

$m < 3$
C.

$m <2$
D.

$m > 0$

Câu 15 :

Tìm các giá trị nguyên của $m$ để phương trình ${x^2} – 6x + 2m + 1 = 0$ có hai nghiệm dương phân biệt

A.

$m \in \left\{ { – 1;1;2;3} \right\}$
B.

$m \in \left\{ {1;2;3} \right\}$
C.

$m \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}$
D.

$m \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}$

Câu 16 :

Tìm các giá trị của $m$ để phương trình $m{x^2} – 2\left( {m – 2} \right)x + 3\left( {m – 2} \right) = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.

A.

$m < 0$
B.

$m > 1$
C.

$– 1 < m < 0$
D.

$m > 0$

Câu 17 :

Tìm các giá trị của $m$ để phương trình ${x^2} – mx – m – 1 = 0$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn: $x_1^3 + x_2^3 = – 1$ .

A.

$m = 1$
B.

$m = – 1$
C.

$m = 0$
D.

$m > – 1$

Câu 18 :

Tìm các giá trị của $m$ để phương trình ${x^2} – 5x + m + 4 = 0$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn: $x_1^2 + x_2^2 = 23$ .

A.

$m = – 2$
B.

$m = – 1$
C.

$m = – 3$
D.

$m = – 4$

Câu 19 :

Giá trị nào dưới đây gần nhất với giá trị của $m$ để phương trình ${x^2} + 3x – m = 0$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn: $2{x_1} + 3{x_2} = 13$ .

A.

$416$
B.

$415$
C.

$414$
D.

$418$

Câu 20 :

Tìm giá trị của $m$ để phương trình ${x^2} + (4m + 1)x + 2(m – 4) = 0$ cvà biểu thức $A = {\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A.

$m = 1$
B.

$m = 0$
C.

$m = 2$
D.

$m = 3$

Câu 21 :

Tìm giá trị của $m$ để phương trình ${x^2} – 2(m – 2)x + 2m – 5 = 0$ cthỏa mãn ${x_1}(1 – {x_2}) + {x_2}(1 – {x_1}) < 4$

A.

$m > 1$
B.

$m < 0$
C.

$m > 2$
D.

$m < 3$

Câu 22 :

Cho phương trình ${x^2} + mx + n – 3 = 0$ . Tìm m và n để hai nghiệm ${x_1}\,\,;\,\,{x_2}$ của phương trình thỏa mãn hệ $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} – {x_2} = 1\\x_1^2 – x_2^2 = 7\end{array} \right.$

A.

$m = 7\,\,;\,\,\,n = – 15$
B.

$m = 7\,\,;\,\,\,n = 15$
C.

$m = – 7\,\,;\,\,\,n = 15$
D.

$m = – 7\,\,;\,\,\,n = – 15$

Câu 23 :

Cho phương trình ${x^2} – 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 3m – 1 = 0$ , ( $m$ là tham số).

Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,\,{x_2}$ thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 10$ .

A.

$m = 1\,;\,\,m = 2$
B.

$m = – 1\,;\,\,m = – 2$
C.

$m = 1\,;\,\,m = – 2$
D.

$m = – 1\,;\,\,m = 2$

Câu 24 :

Tìm $a, b$ để đường thẳng $y = ax + b$ song song với đường thẳng $y = 4x + 5$ và cắt đồ thị hàm số $y = {x^2}$ tại hai điểm $A\left( {{x_1};{y_1}} \right)$ , $B\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ phân biệt thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 10$ .

A.
$a = 4\,;\,\,b = – 1$
B.
$a = 4\,;\,\,b = – 2$
C.
$a = 4\,;\,\,b = – 3$
D.
$a = 4\,;\,\,b = 2$

Câu 25 :

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình ${x^2} – 2\left( {m – 1} \right)x + {m^2} – 6 = 0$ có hai nghiệm ${x_1},\,\,{x_2}$ sao cho $x_1^2 + 4{x_1} + 2{x_2} – 2m{x_1} = – 3$ .

A.
$m = 1$
B.
$m = – 1$
C.
$m = 2$
D.
$m = \dfrac{1}{2}$

Câu 26 :

Cho phương trình ${x^2} + 4x + 3m – 2 = 0$ , với $m$ là tham số.

Câu 26.1

Giải phương trình với $m = – 1$ .

A
$S = \left \{ – 1; – 5 \right \}$
B
$S = \left \{ 1; 5 \right \}$
C
$S = \left \{ – 1; 5 \right \}$
D
$S = \left \{ 1; – 5 \right \}$

Câu 26.2

Tìm giá trị của $m$ để phương trình đã cho có một nghiệm $x = 2$ .

A
$m = \dfrac{10}{3}$
B
$m = – \dfrac{10}{3}$
C
$m = – \dfrac{8}{3}$
D
$m = \dfrac{8}{3}$

Câu 26.3

Tìm giá trị của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,\,{x_2}$ sao cho ${x_1} + 2{x_2} = 1$ .

A
$m = – \dfrac{41}{3}$
B
$m = – \dfrac{43}{3}$
C
$m = \dfrac{43}{3}$
D
$m = \dfrac{41}{3}$

Câu 27 :

Cho phương trình ${x^2} – 2mx – 4m – 5 = 0$ (1) ( $m$ là tham số).

Câu 27.1

Giải phương trình (1) khi $m = – 2$ .

A
$S = \left \{ 1; – 3 \right \}$
B
$S = \left \{ – 1; – 3 \right \}$
C
$S = \left \{ – 1; 3 \right \}$
D
$S = \left \{ 1; 3 \right \}$

Câu 27.2

Tìm $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm ${x_1},\,\,{x_2}$ thỏa mãn:

$\dfrac{1}{2}x_1^2 – \left( {m – 1} \right){x_1}{\kern 1pt} + {x_2} – 2m + \dfrac{{33}}{2} = 4059$

A
$m = 2020$
B
$m = 2019$
C
$m = 2021$
D
$m = 2022$

Câu 28 :

Cho phương trình bậc hai ${x^2} – 2x + m – 1 = 0$ (*), với $m$ là tham số

Câu 28.1

Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình (*) có nghiệm

A
$m < 2$
B
$m > 2$
C
$m \le 2$
D
$m \ge 2$

Câu 28.2

Tính theo $m$ giá trị của biểu thức $A = x_1^3 + x_2^3$ với ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình (*). Tìm giá trị nhỏ nhất của $A.$

A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$

Câu 29 :

Cho phương trình ẩn x: ${x^2} – 5x + \left( {m – 2} \right) = 0\,\,\,\left( 1 \right)$ .

Câu 29.1

Giải phương trình (1) với $m = 6$ .

A
$S = \left\{ { – 1;4} \right\}$
B
$S = \left\{ {1;4} \right\}$
C
$S = \left\{ {1; – 4} \right\}$
D
$S = \left\{ { – 1; – 4} \right\}$

Câu 29.2

Tìm $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt ${x_1},\,\,{x_2}$ thỏa mãn hệ thức $\dfrac{1}{{\sqrt {{x_1}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2}} }} = \dfrac{3}{2}$ .

A
$m = 2$
B
$m = 4$
C
$m = 1$
D
$m = 6$

Câu 30 :

Cho phương trình: ${x^2} – 2020x + 2021 = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,{x_2}$ . Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau:

Câu 30.1

$\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}}$

A
$\dfrac{{2020}}{{2021}}$
B
$\dfrac{{2021}}{{2020}}$
C
$– \dfrac{{2020}}{{2021}}$
D
$– \dfrac{{2021}}{{2020}}$

Câu 30.2

$x_1^2 + x_2^2$

A
$4080401$
B
$4088481$
C
$4076358$
D
$4084442$

Câu 31 :

Cho phương trình ${x^2} + 5x + m – 2 = 0$ ( $m$ là tham số). Tìm các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,{x_2}$ thỏa mãn hệ thức

$\dfrac{1}{{{{\left( {{x_1} – 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {{x_2} – 1} \right)}^2}}} = 1$

A.
$m = – 5 \pm 5\sqrt 2$
B.
$m = – 2 \pm 2\sqrt 2$
C.
$m = \pm 2$
D.
$m = \pm 1$

Câu 32 :

Cho phương trình ${x^2} – 2\left( {m – 1} \right)x + 2m – 5 = 0$ ( $m$ là tham số). Tìm các giá trị của $m$ để phương trình trên có 2 nghiệm ${x_1},\,\,{x_2}$ thỏa mãn $\left( {x_1^2 – 2m{x_1} + 2m – 1} \right)\left( {{x_2} – 2} \right) \le 0.$

A.
$m \le \dfrac{3}{2}$
B.
$m \ge \dfrac{3}{2}$
C.
$m \le – \dfrac{3}{2}$
D.
$m \ge – \dfrac{3}{2}$

Câu 33 :

Cho parabol $\left( P \right):y = – {x^2}$ và đường thẳng $\left( d \right):y = x + m – 2.$ Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 < 3$ .

A.

$2 < m < \dfrac{9}{4}$
B.

$1 < m < \dfrac{9}{4}$
C.

$– 1 < m < \dfrac{9}{4}$
D.

$– 2 < m < \dfrac{9}{4}$

Câu 34 :

Cho phương trình ${x^2} + 4x – m = 0\,\,\,\left( 1 \right)$ ( $m$ là tham số). Tìm các giá trị của $m$ để phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn: $\left( {\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}}} \right)\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) = 4\left( {m + 2} \right).$

A.
$m = 1,\,\,m = – 1$
B.
$m = 2,\,\,m = – 2$
C.
$m = 3,\,\,m = – 3$
D.
$m = 4,\,\,m = – 4$

Câu 35 :

Tìm $b,\,\,c$ để phương trình ${x^2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm là ${x_1} = – 2;\,\,{x_2} = 3.$

A.
$b = 1\,\,;\,\,c = – 6$
B.
$b = – 1\,\,;\,\,c = 6$
C.
$b = 1\,\,;\,\,c = 6$
D.
$b = – 1\,\,;\,\,c = – 6$

Câu 36 :

Cho phương trình ${x^2} – (2m – 3)x + {m^2} – 3m = 0$ . Xác định m để phương trình có hai nghiệm ${x_1}\,\,;\,\,{x_2}$ thỏa mãn $1 < {x_1} < {x_2} < 6$ .

A.

$m < 6$
B.

$m > 4$
C.

$4 \le m \le 6$
D.

$4 < m < 6$

Câu 37 :

Tìm $m$ để phương trình ${x^2} – 2\left( {m + 1} \right)x + 4m = 0$ ( $x$ là ẩn, $m$ là tham số) có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn $x_1^3 – x_1^2 = x_2^3 – x_2^2$ .

A.
$m = 0$
B.
$m = – 1$
C.
$m = 1$
D.
$m = 2$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Chọn phát biểu đúng. Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ . Khi đó

A.

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = – \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$
B.

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$
C.

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = – \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = – \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$
D.

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = – \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Cho phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0).$ Nếu ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình thì

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ – b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..$

Câu 2 :

Chọn phát biểu đúng. Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có $a – b + c = 0$ . Khi đó

A.

Phương trình có một nghiệm ${x_1} = 1$ , nghiệm kia là ${x_2} = \dfrac{c}{a}$
B.

Phương trình có một nghiệm ${x_1} = – 1$ , nghiệm kia là ${x_2} = \dfrac{c}{a}$
C.

Phương trình có một nghiệm ${x_1} = – 1$ , nghiệm kia là ${x_2} = – \dfrac{c}{a}.$
D.

Phương trình có một nghiệm ${x_1} = 1$ , nghiệm kia là ${x_2} = – \dfrac{c}{a}.$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

+) Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có $a + b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} = 1$ , nghiệm kia là ${x_2} = \dfrac{c}{a}.$

+ ) Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có $a – b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} = – 1$ , nghiệm kia là ${x_2} = – \dfrac{c}{a}.$

Câu 3 :

Cho hai số có tổng là $S$ và tích là $P$ với ${S^2} \ge 4P$ . Khi đó hai số đó là hai nghiệm của phương trình nào dưới đây?

A.

${X^2} – PX + S = 0$
B.

${X^2} – SX + P = 0$
C.

$S{X^2} – X + P = 0$
D.

${X^2} – 2SX + P = 0$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình ${X^2} – SX + P = 0$ (ĐK: ${S^2} \ge 4P$ )

Câu 4 :

Không giải phương trình, tính tổng hai nghiệm (nếu có) của phương trình ${x^2} – 6x + 7 = 0$

A.

$\dfrac{1}{6}$
B.

$3$
C.

$6$
D.

$7$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng hệ thức Vi-et

Nếu ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ thì $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ – b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..$

Lời giải chi tiết :

Phương trình ${x^2} – 6x + 7 = 0$ có $\Delta = {\left( { – 6} \right)^2} – 4.1.7 = 8 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$

Theo hệ thức Vi-et ta có ${x_1} + {x_2} = – \dfrac{{ – 6}}{1} \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 6$

Câu 5 :

Gọi ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} – 5x + 2 = 0$ . Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $A = x_1^2 + x_2^2$

A.

$20$
B.

$21$
C.

$22$
D.

$23$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Sử dụng hệ thức Vi-et

Bước 2: Biến đổi $A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2}$

Lời giải chi tiết :

Phương trình ${x^2} – 5x + 2 = 0$ có $\Delta = {\left( { – 5} \right)^2} – 4.1.2 = 17 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$

Theo hệ thức Vi-et ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ – b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}.{x_2} = 2\end{array} \right.$ .

Ta có $A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2} = {5^2} – 2.2 = 21$

Câu 6 :

Gọi ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} – 20x – 17 = 0$ . Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $C = x_1^3 + x_2^3$

A.

$9000$
B.

$2090$
C.

$2009$
D.

$9020$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1: Sử dụng hệ thức Vi-et

Bước 2: Biến đổi biểu thức $C$ để sử dụng được hệ thức Vi-et.

Lời giải chi tiết :

Phương trình ${x^2} – 20x – 17 = 0$ có $\Delta = 468 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$

Ta có $C=x_1^3+x_2^3$ $= x_1^3 + 3x_1^2{x_2} + 3{x_1}x_2^2 + x_2^3 – 3x_1^2{x_2} – 3{x_1}x_2^2$

$=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)$ $= {20^3} – 3.\left( { – 17} \right).20 = 9020$

Câu 7 :

A.

$6$
B.

$2$
C.

$5$
D.

$4$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Sử dụng hệ thức Vi-et

Bước 2: Biến đổi biểu thức $N$ để sử dụng được hệ thức Vi-et.

Lời giải chi tiết :

Phương trình $– 2{x^2} – 6x – 1 = 0$ có $\Delta = {\left( { – 6} \right)^2} – 4.\left( { – 2} \right).\left( { – 1} \right) = 28 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$

Ta có $N = \dfrac{1}{{{x_1} + 3}} + \dfrac{1}{{{x_2} + 3}} = \dfrac{{{x_1} + {x_2} + 6}}{{{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9}} = \dfrac{{ – 3 + 6}}{{\dfrac{1}{2} + 3.\left( { – 3} \right) + 9}}$ $= 6$

Câu 8 :

A.

${x_1} = – 1;{x_2} = – \dfrac{{m + 7}}{{m – 2}}$
B.

${x_1} = 1;{x_2} = – \dfrac{{m + 7}}{{m – 2}}$
C.

${x_1} = 1;{x_2} = \dfrac{{m + 7}}{{m – 2}}$
D.

${x_1} = – 1;{x_2} = \dfrac{{m + 7}}{{m – 2}}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng cách nhẩm nghiệm :

Xét phương trình bậc hai : $a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$ .

+) Nếu phương trình có $a + b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} = 1$ , nghiệm kia là ${x_2} = \dfrac{c}{a}.$

+ ) Nếu phương trình có $a – b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} = – 1$ , nghiệm kia là ${x_2} = – \dfrac{c}{a}.$

Lời giải chi tiết :

Phương trình $\left( {m – 2} \right){x^2} – \left( {2m + 5} \right)x + m + 7 = 0$ có $a = m – 2;b = – 2m – 5;c = m + 7$

Vì $a + b + c = m – 2 – 2m – 5 + m + 7 = 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1} = 1;{x_2} = \dfrac{{m + 7}}{{m – 2}}$ .

Câu 9 :

Tìm hai nghiệm của phương trình $18{x^2} + 23x + 5 = 0$ sau đó phân tích đa thức $A = 18{x^2} + 23x + 5$ sau thành nhân tử.

A.

${x_1} = – 1;{x_2} = – \dfrac{5}{{18}};$

$A = 18\left( {x + 1} \right)\left( {x + \dfrac{5}{{18}}} \right)$
B.

${x_1} = – 1;{x_2} = – \dfrac{5}{{18}};$

$A = \left( {x + 1} \right)\left( {x + \dfrac{5}{{18}}} \right)$
C.

${x_1} = – 1;{x_2} = \dfrac{5}{{18}};$

$A = 18\left( {x + 1} \right)\left( {x – \dfrac{5}{{18}}} \right)$
D.

${x_1} = 1;{x_2} = – \dfrac{5}{{18}};$

$A = 18\left( {x – 1} \right)\left( {x + \dfrac{5}{{18}}} \right)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1 : Tìm hai nghiệm của phương trình đã cho

Bước 2 : Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng

Nếu tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$ có hai nghiệm ${x_1}$ và ${x_2}$ thì nó được phân tích thành nhân tử: $a{x^2} + bx + c = a\left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)$

Lời giải chi tiết :

Phương trình $18{x^2} + 23x + 5 = 0$ có $a – b + c = 18 – 23 + 5 = 0$ nê phương trình có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = – 1;{x_2} = – \dfrac{5}{{18}}$ . Khi đó $A = 18.\left( {x + 1} \right)\left( {x + \dfrac{5}{{18}}} \right)$ .

Câu 10 :

Tìm $u – v$ biết rằng $u + v = 15,uv = 36$ và $u > v$

A.

$8$
B.

$12$
C.

$9$
D.

$10$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Để tìm hai số $x,y$ khi biết tổng $S = x + y$ và tích $P = xy$ , ta làm như sau:

+ Xét điều kiện ${S^2} \ge 4P$ . Giải phương trình ${X^2} – SX + P = 0$ để tìm các nghiệm ${X_1},{X_2}$ .

+ Khi đó các số cần tìm $x,y$ là $x = {X_1},y = {X_2}$ hoặc $x = {X_2},y = {X_1}$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có $S = u + v = 15,P = uv = 36$ . Nhận thấy ${S^2} = 225 > 144 = 4P$ nên $u,v$ là hai nghiệm của phương trình

${x^2} – 15x + 36 = 0 \Leftrightarrow \left( {x – 12} \right)\left( {x – 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 12\\x = 3\end{array} \right.$

Vậy $u = 12;v = 3$ (vì $u > v$ ) nên $u – v = 12 – 3 = 9$ .

Câu 11 :

Lập phương trình nhận hai số $3 – \sqrt 5$ và $3 + \sqrt 5$ làm nghiệm.

A.

${x^2} – 6x – 4 = 0$
B.

${x^2} – 6x + 4 = 0$
C.

${x^2} + 6x + 4 = 0$
D.

$– {x^2} – 6x + 4 = 0$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1 : Tìm tổng $S$ và tích $P$ của hai nghiệm.

: Hai số đó là hai nghiệm của phương trình ${X^2} – SX + P = 0$ (ĐK: ${S^2} \ge 4P$ )

Lời giải chi tiết :

Ta có $S = 3 – \sqrt 5 + 3 + \sqrt 5 = 6$ và $P = \left( {3 – \sqrt 5 } \right)\left( {3 + \sqrt 5 } \right) = 4$

Nhận thấy ${S^2} = 36 > 16 = 4P$ nên hai số $3 – \sqrt 5$ và $3 + \sqrt 5$ là nghiệm của phương trình ${x^2} – 6x + 4 = 0$ .

Câu 12 :

A.

$2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) – {x_1}{x_2} = 5$
B.

$2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) – {x_1}{x_2} = – 5$
C.

$2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2} = 5$
D.

$2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2} = – 5$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

– Sử dụng hệ thức Vi-et: Nếu ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0)$ thì $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ – b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..$

-Biến đổi hệ thức thu được (dùng phương pháp cộng đại số, phương pháp thế…) để triệt tiêu tham số.

Lời giải chi tiết :

Theo Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2a – 1\\{x_1} \cdot {x_2} = – 4a – 3\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 4a – 2\\{x_1}.{x_2} = – 4a – 3\end{array} \right. \Rightarrow 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2} = – 5$

Vậy hệ thức cần tìm là $2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2} = – 5$ .

Câu 13 :

Tìm các giá trị của $m$ để phương trình ${x^2} – 2\left( {m – 1} \right)x – m + 2 = 0$ có hai nghiệm trái dấu.

A.

$m < 2$
B.

$m > 2$
C.

$m = 2$
D.

$m > 0$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Xét phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ . Khi đó phương trình có hai nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow ac < 0$ .

Lời giải chi tiết :

Phương trình ${x^2} – 2\left( {m – 1} \right)x – m + 2 = 0$ $\left( {a = 1;b = – 2\left( {m – 1} \right);c = – m + 2} \right)$

Nên phương trình có hai nghiệm trái dấu khi $ac < 0 \Leftrightarrow 1.\left( { – m + 2} \right) < 0 \Leftrightarrow m > 2$

Vậy $m > 2$ là giá trị cần tìm.

Câu 14 :

Tìm các giá trị của $m$ để phương trình ${x^2} – 2\left( {m – 3} \right)x + 8 – 4m = 0$ có hai nghiệm âm phân biệt.

A.

$m < 2$ và $m \ne 1$
B.

$m < 3$
C.

$m <2$
D.

$m > 0$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Xét phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ . Khi đó phương trình có hai nghiệm âm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\\S < 0\end{array} \right.$ .

Lời giải chi tiết :

Phương trình ${x^2} – 2\left( {m – 3} \right)x + 8 – 4m = 0$ $\left( {a = 1;b’ = – \left( {m – 3} \right);c = 8 – 4m} \right)$

Ta có $\Delta ‘ = {\left( {m – 3} \right)^2} – \left( {8 – 4m} \right)$ $= {m^2} – 2m + 1 = {\left( {m – 1} \right)^2}$ ;

$S = {x_1} + {x_2} = 2\left( {m – 3} \right);$ $P = {x_1}.{x_2} = 8 – 4m$

Vì $a = 1 \ne 0$ nên phương trình có hai nghiệm âm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ‘ > 0\\P > 0\\S < 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m – 1} \right)^2} > 0\\2\left( {m – 3} \right) < 0\\8 – 4m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m < 3\\m <2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m < 2\end{array} \right.$

Vậy $m < 2$ và $m \ne 1$ là giá trị cần tìm.

Câu 15 :

Tìm các giá trị nguyên của $m$ để phương trình ${x^2} – 6x + 2m + 1 = 0$ có hai nghiệm dương phân biệt

A.

$m \in \left\{ { – 1;1;2;3} \right\}$
B.

$m \in \left\{ {1;2;3} \right\}$
C.

$m \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}$
D.

$m \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Xét phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ . Khi đó phương trình có hai nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right.$ .

Lời giải chi tiết :

Phương trình ${x^2} – 6x + 2m + 1 = 0$ $\left( {a = 1;b’ = – 3;c = 2m + 1} \right)$

Ta có $\Delta ‘ = 9 – 2m – 1 = 8 – 2m$ ; $S = {x_1} + {x_2} = 6;P = {x_1}.{x_2} = 2m + 1$

Vì $a = 1 \ne 0$ nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ‘ > 0\\P > 0\\S > 0\end{array} \right.$ $\left\{ \begin{array}{l}8 – 2m > 0\\6 > 0\\2m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 4\\m > – \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow – \dfrac{1}{2} < m < 4$ mà $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}$

Vậy $m \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}$ .

Câu 16 :

Tìm các giá trị của $m$ để phương trình $m{x^2} – 2\left( {m – 2} \right)x + 3\left( {m – 2} \right) = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.

A.

$m < 0$
B.

$m > 1$
C.

$– 1 < m < 0$
D.

$m > 0$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Xét phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ . Khi đó phương trình có hai nghiệm cùng dấu $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\end{array} \right.$ .

Lời giải chi tiết :

Phương trình $m{x^2} – 2\left( {m – 2} \right)x + 3\left( {m – 2} \right) = 0$ $\left( {a = m;b = – 2\left( {m – 2} \right);c = 3\left( {m – 2} \right)} \right)$

Ta có $\Delta ‘ = {\left( {m – 2} \right)^2} – 3m\left( {m – 2} \right) = – 2{m^2} + 2m + 4 = \left( {4 – 2m} \right)\left( {m + 1} \right)$ ; $P = {x_1}.{x_2} = \dfrac{{3\left( {m – 2} \right)}}{m}$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\\P > 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\left( {4 – 2m} \right)\left( {m + 1} \right) > 0\\\dfrac{{3\left( {m – 2} \right)}}{m} > 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ – 1 < m < 2\\\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow – 1 < m < 0$

Vậy $– 1 < m < 0$ là giá trị cần tìm.

Câu 17 :

Tìm các giá trị của $m$ để phương trình ${x^2} – mx – m – 1 = 0$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn: $x_1^3 + x_2^3 = – 1$ .

A.

$m = 1$
B.

$m = – 1$
C.

$m = 0$
D.

$m > – 1$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.$ .

Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số.

Bước 3. Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận.

Lời giải chi tiết :

Phương trình ${x^2} – mx – m – 1 = 0$ có $a = 1 \ne 0$ và $\Delta = {m^2} – 4\left( {m – 1} \right) = {\left( {m – 2} \right)^2}$ $\ge 0;\forall m$ nên phương trình luôn có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$

Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}.{x_2} = – m – 1\end{array} \right.$

Xét $x_1^3 + x_2^3 = – 1$ $\Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} – 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = – 1 \Leftrightarrow {m^3} – 3m\left( { – m – 1} \right) = – 1 \Leftrightarrow {m^3} + 3{m^2} + 3m + 1 = 0$

$\Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^3} = 0 \Leftrightarrow m = – 1$

Vậy $m = – 1$ là giá trị cần tìm.

Câu 18 :

Tìm các giá trị của $m$ để phương trình ${x^2} – 5x + m + 4 = 0$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn: $x_1^2 + x_2^2 = 23$ .

A.

$m = – 2$
B.

$m = – 1$
C.

$m = – 3$
D.

$m = – 4$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.$ .

Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số.

Bước 3. Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận.

Lời giải chi tiết :

Phương trình ${x^2} – 5x + m + 4 = 0$ có $a = 1 \ne 0$ và $\Delta = 25 – 4\left( {m + 4} \right) = 9 – 4m$

Phương trình có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ khi $\Delta \ge 0 \Leftrightarrow 9 – 4m \ge 0 \Leftrightarrow m \le \dfrac{9}{4}$ .

Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}.{x_2} = m + 4\end{array} \right.$

Xét $x_1^2 + x_2^2 = 23$ $\Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2} = 23 \Leftrightarrow 25 – 2m – 8 = 23 \Leftrightarrow m = – 3\,\,\left( {TM} \right)$

Vậy $m = – 3$ là giá trị cần tìm.

Câu 19 :

Giá trị nào dưới đây gần nhất với giá trị của $m$ để phương trình ${x^2} + 3x – m = 0$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn: $2{x_1} + 3{x_2} = 13$ .

A.

$416$
B.

$415$
C.

$414$
D.

$418$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.$ .

Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số.

Bước 3. Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận.

Lời giải chi tiết :

Phương trình ${x^2} + 3x – m = 0$ có $a = 1 \ne 0$ và $\Delta = 9 + 4m$

Phương trình có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ khi $\Delta \ge 0 \Leftrightarrow 9 + 4m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge – \dfrac{9}{4}$ .

Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = – 3\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}.{x_2} = – m\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Xét $2{x_1} + 3{x_2} = 13$ $\Leftrightarrow {x_1} = \dfrac{{13 – 3{x_2}}}{2}$ thế vào phương trình $\left( 1 \right)$ ta được $\dfrac{{13 – 3{x_2}}}{2} + {x_2} = – 3 \Leftrightarrow {x_2} = 19 \Rightarrow {x_1} = – 22$

Từ đó phương trình $\left( 2 \right)$ trở thành $– 19.22 = – m \Leftrightarrow m = 418$ (nhận)

Vậy $m = 418$ là giá trị cần tìm.

Câu 20 :

Tìm giá trị của $m$ để phương trình ${x^2} + (4m + 1)x + 2(m – 4) = 0$ cvà biểu thức $A = {\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A.

$m = 1$
B.

$m = 0$
C.

$m = 2$
D.

$m = 3$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.$ .

Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số.

Bước 3. Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận.

Lời giải chi tiết :

Phương trình ${x^2} + (4m + 1)x + 2(m – 4) = 0$ có $a = 1 \ne 0$ và $\Delta = {\left( {4m + 1} \right)^2} – 8\left( {m – 4} \right) = 16{m^2} + 33 > 0;\forall m$

Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ .

Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = – 4m – 1\\{x_1}.{x_2} = 2m – 8\end{array} \right.$

Xét $A = {\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 4{x_1}{x_2} = 16{m^2} + 33 \ge 33$

Dấu “=” xảy ra khi $m = 0$

Vậy $m = 0$ là giá trị cần tìm.

Câu 21 :

Tìm giá trị của $m$ để phương trình ${x^2} – 2(m – 2)x + 2m – 5 = 0$ cthỏa mãn ${x_1}(1 – {x_2}) + {x_2}(1 – {x_1}) < 4$

A.

$m > 1$
B.

$m < 0$
C.

$m > 2$
D.

$m < 3$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.$ .

Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số.

Bước 3. Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận.

Lời giải chi tiết :

Phương trình ${x^2} – 2(m – 2)x + 2m – 5 = 0$ có $a = 1 \ne 0$ và $\Delta ‘ = {\left( {m – 2} \right)^2} – 2m + 5 = {m^2} – 6m + 9 = {\left( {m – 3} \right)^2} \ge 0;\forall m$

Nên phương trình luôn có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ .

Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m – 4\\{x_1}.{x_2} = 2m – 5\end{array} \right.$

Xét ${x_1}(1 – {x_2}) + {x_2}(1 – {x_1}) < 4$ $\Leftrightarrow \left( {{x_1} + {x_2}} \right) – 2{x_1}{x_2} – 4 < 0 \Leftrightarrow 2m – 4 – 2\left( {2m – 5} \right) – 4 < 0$ $\Leftrightarrow – 2m + 2 < 0 \Leftrightarrow m > 1$

Vậy $m > 1$ là giá trị cần tìm.

Câu 22 :

A.

$m = 7\,\,;\,\,\,n = – 15$
B.

$m = 7\,\,;\,\,\,n = 15$
C.

$m = – 7\,\,;\,\,\,n = 15$
D.

$m = – 7\,\,;\,\,\,n = – 15$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng biểu thức $\Delta$ để tìm điều kiện phương trình có 2 nghiệm, sử dụng định lý Vi – ét biến đổi biểu thức theo ${x_1} + {x_2}\,\,;\,\,{x_1}{x_2}$ . Từ đó tìm điều kiện của m và n.

Lời giải chi tiết :

$\Delta = {m^2} – 4(n – 3) = {m^2} – 4n + 12$ .

Phương trình có hai nghiệm ${x_1}\,\,;\,\,{x_2}$ $\Leftrightarrow \Delta \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} – 4n + 12 \ge 0$

Áp dụng định lý Vi – ét ta có: ${x_1} + {x_2} = – m\,\,\,;\,\,{x_1}{x_2} = n – 3\,\,\,.$

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} – {x_2} = 1\\ x_1^2 – x_2^2 = 7 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2} = 1\\({x_1} – {x_2})({x_1} + {x_2}) = 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 4{x_1}{x_2} = 1\\{x_1} + {x_2} = 7\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}49 – 4{x_1}{x_2} = 1\\{x_1} + {x_2} = 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} = 12\\{x_1} + {x_2} = 7\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n – 3 = 12\\ – m = 7\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = – 7\\n = 15\end{array} \right.$

Thử lại ta có: $\Delta = {\left( { – 7} \right)^2} – 4.15 + 12 = 1 > 0\,\,\,\left( {tm} \right)$

Vậy $m = – 7;\,\,n = 15.$

Câu 23 :

Cho phương trình ${x^2} – 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 3m – 1 = 0$ , ( $m$ là tham số).

Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,\,{x_2}$ thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 10$ .

A.

$m = 1\,;\,\,m = 2$
B.

$m = – 1\,;\,\,m = – 2$
C.

$m = 1\,;\,\,m = – 2$
D.

$m = – 1\,;\,\,m = 2$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng hệ thức Vi-ét.

Lời giải chi tiết :

Để phương trình ${x^2} – 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 3m – 1 = 0$ (*) có 2 nghiệm phân biệt ${x_1},\,\,{x_2}$ thì:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\Delta ‘ > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} – {m^2} – 3m + 1 > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 – {m^2} – 3m + 1 > 0\\ \Leftrightarrow – m + 2 > 0\\ \Leftrightarrow m < 2\end{array}$

Khi đó, áp dụng định lí Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right) = 2m + 2\\{x_1}{x_2} = {m^2} + 3m – 1\end{array} \right.$ .

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,x_1^2 + x_2^2 = 10\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2} = 10\\ \Leftrightarrow {\left( {2m + 2} \right)^2} – 2\left( {{m^2} + 3m – 1} \right) = 10\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 8m + 4 – 2{m^2} – 6m + 2 = 10\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 2m – 4 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + m – 2 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} – m + 2m – 2 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m – 1} \right) + 2\left( {m – 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m – 1} \right)\left( {m + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m – 1 = 0\\m + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = – 2\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}$

Vậy $m = 1$ hoặc $m = – 2$ .

Câu 24 :

A.
$a = 4\,;\,\,b = – 1$
B.
$a = 4\,;\,\,b = – 2$
C.
$a = 4\,;\,\,b = – 3$
D.
$a = 4\,;\,\,b = 2$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng hệ thức Vi-ét

Lời giải chi tiết :

Vì đường thẳng $y = ax + b$ song song với đường thẳng $y = 4x + 5$ nên $\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b \ne 5\end{array} \right.$ .

Khi đó phương trình đường thẳng cần tìm có dạng $y = 4x + b\,\,\left( {b \ne 5} \right)$ .

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $y = 4x + b\,\,\left( {b \ne 5} \right)$ và parabol $y = {x^2}$ :

${x^2} = 4x + b \Leftrightarrow {x^2} – 4x – b = 0\,\,\left( * \right)$

Để đường thẳng $y = 4x + b\,\,\left( {b \ne 5} \right)$ cắt parabol $y = {x^2}$ tại 2 điểm phân biệt $A\left( {{x_1};{y_1}} \right)$ , $B\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt ${x_1},\,\,{x_2}$ .

$\Rightarrow \Delta ‘ = {\left( { – 2} \right)^2} + b = 4 + b > 0 \Leftrightarrow b > – 4$ .

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4\\{x_1}{x_2} = – b\end{array} \right.$ .

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,x_1^2 + x_2^2 = 10\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2} = 10\\ \Leftrightarrow {4^2} + 2b = 10\\ \Leftrightarrow 16 + 2b = 10\\ \Leftrightarrow 2b = – 6\\ \Leftrightarrow b = – 3\,\,\left( {tm} \right)\end{array}$

Vậy $a = 4,\,\,b = – 3$ .

Câu 25 :

A.
$m = 1$
B.
$m = – 1$
C.
$m = 2$
D.
$m = \dfrac{1}{2}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng hệ thức Vi-ét

Lời giải chi tiết :

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm ${x_1},\,\,{x_2}$ thì:

$\begin{array}{l}\Delta ‘ = {\left( {m – 1} \right)^2} – \left( {{m^2} – 6} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^2} – 2m + 1 – {m^2} + 6 \ge 0\\ \Leftrightarrow – 2m + 7 \ge 0\\ \Leftrightarrow 2m \le 7\\ \Leftrightarrow m \le \dfrac{7}{2}\end{array}$

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m – 1} \right) = 2m – 2\\{x_1}{x_2} = {m^2} – 6\end{array} \right.$ .

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,x_1^2 + 4{x_1} + 2{x_2} – 2m{x_1} = – 3\\ \Leftrightarrow x_1^2 – 2\left( {m – 1} \right){x_1} + {m^2} – 6 + 2{x_1} + 2{x_2} = {m^2} – 6 – 3\\ \Leftrightarrow x_1^2 – 2\left( {m – 1} \right){x_1} + {m^2} – 6 + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {m^2} – 9\,\,\left( * \right)\end{array}$

Vì ${x_1}$ là nghiệm của phương trình đã cho nên $x_1^2 – 2\left( {m – 1} \right){x_1} + {m^2} – 6 = 0$ , do đó

$\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {m^2} – 9\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2.\left( {2m – 2} \right) = {m^2} – 9\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 4m – 4 = {m^2} – 9\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {m^2} – 4m – 5 = 0\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {m^2} + m – 5m – 5 = 0\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m\left( {m + 1} \right) – 5\left( {m + 1} \right) = 0\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {m – 5} \right) = 0\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 0\\m – 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – 1\,\,\left( {tm} \right)\\m = 5\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $m = – 1$ .

Câu 26 :

Cho phương trình ${x^2} + 4x + 3m – 2 = 0$ , với $m$ là tham số.

Câu 26.1

Giải phương trình với $m = – 1$ .

A
$S = \left \{ – 1; – 5 \right \}$
B
$S = \left \{ 1; 5 \right \}$
C
$S = \left \{ – 1; 5 \right \}$
D
$S = \left \{ 1; – 5 \right \}$

Đáp án: D

Phương pháp giải :

Thay m=-1 vào rồi giải phương trình thu được.

Lời giải chi tiết :

Thay $m = – 1$ vào phương trình đã cho ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^2} + 4x – 5 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} – x + 5x – 5 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x – 1} \right) + 5\left( {x – 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {x + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – 1 = 0\\x + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = – 5\end{array} \right.\end{array}$

Vậy khi $m = – 1$ thì tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {1; – 5} \right\}$ .

Câu 26.2

Tìm giá trị của $m$ để phương trình đã cho có một nghiệm $x = 2$ .

A
$m = \dfrac{10}{3}$
B
$m = – \dfrac{10}{3}$
C
$m = – \dfrac{8}{3}$
D
$m = \dfrac{8}{3}$

Đáp án: B

Phương pháp giải :

Thay x=2 vào phương trình để tìm m.

Lời giải chi tiết :

Vì $x = 2$ là một nghiệm của phương trình nên thay $x = 2$ vào phương trình ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{2^2} + 4.2 + 3m – 2 = 0\\ \Leftrightarrow 3m + 10 = 0\\ \Leftrightarrow m = – \dfrac{{10}}{3}\end{array}$

Vậy khi $m = – \dfrac{{10}}{3}$ thì phương trình đã cho có một nghiệm $x = 2$ .

Câu 26.3

Tìm giá trị của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,\,{x_2}$ sao cho ${x_1} + 2{x_2} = 1$ .

A
$m = – \dfrac{41}{3}$
B
$m = – \dfrac{43}{3}$
C
$m = \dfrac{43}{3}$
D
$m = \dfrac{41}{3}$

Đáp án: B

Phương pháp giải :

Sử dụng định lý Vi-ét.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\Delta ‘ = {\left( { – 2} \right)^2} – \left( {3m – 2} \right) = 4 – 3m + 2 = 6 – 3m$ .

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt ${x_1},\,\,{x_2}$ thì $\Delta ‘ > 0 \Leftrightarrow 6 – 3m > 0 \Leftrightarrow m < 2$ .

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = – 4\\{x_1}{x_2} = 3m – 2\end{array} \right.\,\,\left( * \right)$ .

Theo bài ra ta có: ${x_1} + 2{x_2} = 1 \Leftrightarrow {x_1} = 1 – 2{x_2}$ .

Thế vào hệ (*) ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}1 – 2{x_2} + {x_2} = – 4\\\left( {1 – 2{x_2}} \right).{x_2} = 3m – 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 5\\\left( {1 – 2.5} \right).5 = 3m – 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 5\\3m – 2 = – 45\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 5\\m = – \dfrac{{43}}{3}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $m = – \dfrac{{43}}{3}$ .

Câu 27 :

Cho phương trình ${x^2} – 2mx – 4m – 5 = 0$ (1) ( $m$ là tham số).

Câu 27.1

Giải phương trình (1) khi $m = – 2$ .

A
$S = \left \{ 1; – 3 \right \}$
B
$S = \left \{ – 1; – 3 \right \}$
C
$S = \left \{ – 1; 3 \right \}$
D
$S = \left \{ 1; 3 \right \}$

Đáp án: B

Phương pháp giải :

Thay m=-2 vào phương trình đã cho rồi giải phương trình thu được.

Lời giải chi tiết :

Thay $m = – 2$ vào phương trình (1) ta có: ${x^2} + 4x + 3 = 0$ .

Nhận xét thấy $a – b + 3 = 1 – 4 + 3 = 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $\left[ \begin{array}{l}{x_1} = – 1\\{x_2} = – \dfrac{c}{a} = – 3\end{array} \right.$ .

Vậy khi $m = – 2$ thì tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ { – 1; – 3} \right\}$ .

Câu 27.2

Tìm $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm ${x_1},\,\,{x_2}$ thỏa mãn:

$\dfrac{1}{2}x_1^2 – \left( {m – 1} \right){x_1}{\kern 1pt} + {x_2} – 2m + \dfrac{{33}}{2} = 4059$

A
$m = 2020$
B
$m = 2019$
C
$m = 2021$
D
$m = 2022$

Đáp án: A

Phương pháp giải :

Sử dụng hệ thức Vi-ét

Lời giải chi tiết :

$\dfrac{1}{2}x_1^2 – \left( {m – 1} \right){x_1}{\kern 1pt} + {x_2} – 2m + \dfrac{{33}}{2} = 4059$ .

Phương trình (1) có $\Delta ‘ = {m^2} – \left( {4m – 5} \right) = {m^2} + 4m + 5 = {\left( {m + 2} \right)^2} + 1 > 0\,\,\forall m$ .

Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,\,{x_2}$ với mọi $m$ .

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = – 4m – 5\end{array} \right.$ .

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\dfrac{1}{2}x_1^2 – \left( {m – 1} \right){x_1}{\kern 1pt} + {x_2} – 2m + \dfrac{{33}}{2} = 4059\\ \Leftrightarrow x_1^2 – 2\left( {m – 1} \right){x_1}{\kern 1pt} + 2{x_2} – 4m + 33 = 8118\\ \Leftrightarrow x_1^2 – 2m{x_1} + 2{x_1}{\kern 1pt} + 2{x_2} – 4m = 8085\\ \Leftrightarrow x_1^2 – 2m{x_1} – 4m – 5 + 2{x_1}{\kern 1pt} + 2{x_2} = 8085 – 5\\ \Leftrightarrow \left( {x_1^2 – 2m{x_1} – 4m – 5} \right) + 2\left( {{x_1}{\kern 1pt} + {x_2}} \right) = 8080\,\,\,\left( * \right)\end{array}$

Vì ${x_1}$ là nghiệm của phương trình (1) nên ta có: $x_1^2 – 2m{x_1} – 4m – 5 = 0$ .

Do đó:

$\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 8080\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 4040\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2m = 4040\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow m = 2020\end{array}$

Vậy $m = 2020$ .

Câu 28 :

Cho phương trình bậc hai ${x^2} – 2x + m – 1 = 0$ (*), với $m$ là tham số

Câu 28.1

Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình (*) có nghiệm

A
$m < 2$
B
$m > 2$
C
$m \le 2$
D
$m \ge 2$

Đáp án: C

Phương pháp giải :

Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình ${x^2} – 2x + m – 1 = 0$ (*) có:

$\Delta ‘ = {\left( { – 1} \right)^2} – 1.\left( {m – 1} \right) = 2 – m$

Để phương trình (*) có nghiệm thì $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ‘ \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \ne 0\left( {ld} \right)\\2 – m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 2$

Vậy với $m \le 2$ thì phương trình (*) có nghiệm.

Câu 28.2

Tính theo $m$ giá trị của biểu thức $A = x_1^3 + x_2^3$ với ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình (*). Tìm giá trị nhỏ nhất của $A.$

A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$

Đáp án: B

Phương pháp giải :

Sử dụng hệ thức Vi-ét

Lời giải chi tiết :

Theo câu trước với $m \le 2$ thì phương trình (*) có nghiệm ${x_1},{x_2}$

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = m – 1\end{array} \right.$

Xét $A = x_1^3 + x_2^3$

$\begin{array}{l} = x_1^3 + 3x_1^2{x_2} + 3{x_1}x_2^2 + x_2^3 – \left( {3x_1^2{x_2} + 3{x_1}x_2^2} \right)\\ = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} – 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\\ = {2^3} – 3\left( {m – 1} \right).2\\ = 8 – 6\left( {m – 1} \right)\\ = 8 – 6m + 6\\ = 14 – 6m\end{array}$

Vậy $A = 14 – 6m$

Vì $m \le 2$ nên ta có: $6m \le 12 \Leftrightarrow 14 – 6m \ge 14 – 12 \Leftrightarrow 14 – 6m \ge 2$

Dấu “=” xảy ra khi $m = 2$

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là $2 \Leftrightarrow m = 2$ .

Câu 29 :

Cho phương trình ẩn x: ${x^2} – 5x + \left( {m – 2} \right) = 0\,\,\,\left( 1 \right)$ .

Câu 29.1

Giải phương trình (1) với $m = 6$ .

A
$S = \left\{ { – 1;4} \right\}$
B
$S = \left\{ {1;4} \right\}$
C
$S = \left\{ {1; – 4} \right\}$
D
$S = \left\{ { – 1; – 4} \right\}$

Đáp án: B

Phương pháp giải :

Thay m=6 vào phương trình rồi giải.

Lời giải chi tiết :

Với $m = 6$ thì phương trình (1) trở thành:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^2} – 5x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} – x – 4x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} – x} \right) – \left( {4x – 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x – 1} \right) – 4\left( {x – 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {x – 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – 1 = 0\\x – 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\end{array}$

Vậy với $m = 6$ thì tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {1;4} \right\}$ .

Câu 29.2

Tìm $m$ để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt ${x_1},\,\,{x_2}$ thỏa mãn hệ thức $\dfrac{1}{{\sqrt {{x_1}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2}} }} = \dfrac{3}{2}$ .

A
$m = 2$
B
$m = 4$
C
$m = 1$
D
$m = 6$

Đáp án: D

Phương pháp giải :

Sử dụng hệ thức Vi-ét

Lời giải chi tiết :

Để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt ${x_1},\,\,{x_2}$ thì $\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( { – 5} \right)^2} – 4\left( {m – 2} \right) > 0\\5 > 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\m – 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}25 – 4m + 8 > 0\\m > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}33 – 4m > 0\\m > 2\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{{33}}{4}\\m > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 < m < \dfrac{{33}}{4}$ .

Khi đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}{x_2} = m – 2\end{array} \right.$ .

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{1}{{\sqrt {{x_1}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2}} }} = \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} }}{{\sqrt {{x_1}{x_2}} }} = \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow 2\left( {\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} } \right) = 3\sqrt {{x_1}{x_2}} \\ \Leftrightarrow 4\left( {{x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} } \right) = 9{x_1}{x_2}\\ \Leftrightarrow 4\left( {5 + 2\sqrt {m – 2} } \right) = 9\left( {m – 2} \right)\\ \Leftrightarrow 9\left( {m – 2} \right) – 8\sqrt {m – 2} – 20 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}$

Đặt $t = \sqrt {m – 2} \,\,\left( {t \ge 0} \right)$ , phương trình (*) trở thành:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,9{t^2} – 8t – 20 = 0\\ \Leftrightarrow 9{t^2} – 18t + 10t – 20 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {9{t^2} – 18t} \right) + \left( {10t – 20} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 9t\left( {t – 2} \right) + 10\left( {t – 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t – 2} \right)\left( {9t + 10} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t – 2 = 0\\9t + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = – \dfrac{{10}}{9}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Với $t = 2$ $\Rightarrow \sqrt {m – 2} = 2 \Leftrightarrow m – 2 = 4 \Leftrightarrow m = 6\,\,\left( {tm} \right)$ .

Vậy $m = 6$ .

Câu 30 :

Cho phương trình: ${x^2} – 2020x + 2021 = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,{x_2}$ . Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau:

Câu 30.1

$\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}}$

A
$\dfrac{{2020}}{{2021}}$
B
$\dfrac{{2021}}{{2020}}$
C
$– \dfrac{{2020}}{{2021}}$
D
$– \dfrac{{2021}}{{2020}}$

Đáp án: A

Phương pháp giải :

Tính $\Delta ‘ = {b^{‘2}} – ac > 0$ chứng minh phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,\,{x_2}.$

Áp dụng định lý Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2020\\{x_1}{x_2} = 2021\end{array} \right.$

Từ đó biến đổi và tính giá trị của các biểu thức bài cho.

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình: ${x^2} – 2020x + 2021 = 0\,\,\,\left( * \right)$

Ta có: $\Delta ‘ = {1010^2} – 2021 = 1018079 > 0$

$\Rightarrow$ Phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,\,{x_2}$

Áp dụng định lý Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2020\\{x_1}{x_2} = 2021\end{array} \right.$

Ta có: $\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \dfrac{{2020}}{{2021}}.$

Câu 30.2

$x_1^2 + x_2^2$

A
$4080401$
B
$4088481$
C
$4076358$
D
$4084442$

Đáp án: C

Phương pháp giải :

Tính $\Delta ‘ = {b^{‘2}} – ac > 0$ chứng minh phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,\,{x_2}.$

Áp dụng định lý Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2020\\{x_1}{x_2} = 2021\end{array} \right.$

Từ đó biến đổi và tính giá trị của các biểu thức bài cho.

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình: ${x^2} – 2020x + 2021 = 0\,\,\,\left( * \right)$

Ta có: $\Delta ‘ = {1010^2} – 2021 = 1018079 > 0$

$\Rightarrow$ Phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,\,{x_2}$

Áp dụng định lý Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2020\\{x_1}{x_2} = 2021\end{array} \right.$

Ta có: $x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2}$ $= {2020^2} – 2.2021 = 4076358$

Câu 31 :

Cho phương trình ${x^2} + 5x + m – 2 = 0$ ( $m$ là tham số). Tìm các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,{x_2}$ thỏa mãn hệ thức

$\dfrac{1}{{{{\left( {{x_1} – 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {{x_2} – 1} \right)}^2}}} = 1$

A.
$m = – 5 \pm 5\sqrt 2$
B.
$m = – 2 \pm 2\sqrt 2$
C.
$m = \pm 2$
D.
$m = \pm 1$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng hệ thức Vi-ét

Lời giải chi tiết :

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt ${x_1} \ne 1,\,\,{x_2} \ne 1$ thì

$\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\1 + 5 + m – 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{5^2} – 4\left( {m – 2} \right) > 0\\m + 4 \ne 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}25 – 4m + 8 > 0\\m \ne – 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m < 33\\m \ne – 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{{33}}{4}\\m \ne – 4\end{array} \right.$ .

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = – 5\\{x_1}{x_2} = m – 2\end{array} \right.$ .

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\dfrac{1}{{{{\left( {{x_1} – 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {{x_2} – 1} \right)}^2}}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {{x_1} – 1} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} – 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x_1} – 1} \right)}^2}.{{\left( {{x_2} – 1} \right)}^2}}} = 1\\ \Leftrightarrow x_1^2 – 2{x_1} + 1 + x_2^2 – 2{x_2} + 1 = {\left[ {{x_1}{x_2} – \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1} \right]^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2} – 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2 = {\left[ {{x_1}{x_2} – \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1} \right]^2}\\ \Rightarrow 25 – 2\left( {m – 2} \right) – 2.\left( { – 5} \right) + 2 = {\left( {m – 2 + 5 + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 25 – 2m + 4 + 10 + 2 = {\left( {m + 4} \right)^2}\\ \Leftrightarrow – 2m + 41 = {m^2} + 8m + 16\\ \Leftrightarrow {m^2} + 10m – 25 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}$

Ta có: ${\Delta _m} = {\left( { – 5} \right)^2} – \left( { – 25} \right) = 50 > 0$ , do đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

$\left[ \begin{array}{l}{m_1} = \dfrac{{ – 10 + \sqrt {50} }}{2} = – 5 + 5\sqrt 2 \\{m_1} = \dfrac{{ – 10 – \sqrt {50} }}{2} = – 5 – 5\sqrt 2 \end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)$ .

Vậy có hai giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m = – 5 \pm 5\sqrt 2$ .

Câu 32 :

A.
$m \le \dfrac{3}{2}$
B.
$m \ge \dfrac{3}{2}$
C.
$m \le – \dfrac{3}{2}$
D.
$m \ge – \dfrac{3}{2}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tìm điều kiện của $m$ để phương trình đã cho có nghiệm.

Áp dụng hệ thức Vi-et và hệ thức bài cho để tìm $m.$

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình ${x^2} – 2\left( {m – 1} \right)x + 2m – 5 = 0$ ta có:

$\begin{array}{l}\Delta ‘ = {\left( {m – 1} \right)^2} – 2m + 5\\\,\,\,\,\,\,\, = {m^2} – 2m + 1 – 2m + 5\\\,\,\,\,\,\,\, = {m^2} – 4m + 4 + 2\\\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {m – 2} \right)^2} + 2 > 0\,\,\,\forall m\end{array}$

$\Rightarrow$ Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,\,{x_2}$ với mọi $m.$

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m – 1} \right) = 2m – 2\\{x_1}{x_2} = 2m – 5\end{array} \right..$

Vì ${x_1}$ là nghiệm của phương trình đã cho nên ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,x_1^2 – 2\left( {m – 1} \right){x_1} + 2m – 5 = 0\\ \Leftrightarrow x_1^2 – 2m{x_1} + 2{x_1} + 2m – 5 = 0\\ \Leftrightarrow x_1^2 – 2m{x_1} + 2m – 1 + 2{x_1} – 4 = 0\\ \Leftrightarrow x_1^2 – 2m{x_1} + 2m – 1 = – 2\left( {{x_1} – 2} \right)\end{array}$

Theo đề bài ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {x_1^2 – 2m{x_1} + 2m – 1} \right)\left( {{x_2} – 2} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow – 2\left( {{x_1} – 2} \right)\left( {{x_2} – 2} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1} – 2} \right)\left( {{x_2} – 2} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} – 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow 2m – 5 – 2\left( {2m – 2} \right) + 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow 2m – 1 – 4m + 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow – 2m \ge – 3\\ \Leftrightarrow m \le \dfrac{3}{2}\end{array}$

Vậy $m \le \dfrac{3}{2}$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu 33 :

A.

$2 < m < \dfrac{9}{4}$
B.

$1 < m < \dfrac{9}{4}$
C.

$– 1 < m < \dfrac{9}{4}$
D.

$– 2 < m < \dfrac{9}{4}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $\Leftrightarrow$ phương trình hoành độ giao điểm $\left( * \right)$ của hai đồ thị hàm số có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta > 0.$

Áp dụng hệ thức Vi-et và hệ thức bài cho để tìm $m.$

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( d \right):$ $– {x^2} = x + m – 2$ $\Leftrightarrow {x^2} + x + m – 2 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Ta có: $\Delta = 1 – 4\left( {m – 2} \right) = 9 – 4m$

Đường thẳng $\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $\Leftrightarrow$ Phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta > 0$ $\Leftrightarrow 9 – 4m > 0$ $\Leftrightarrow m < \dfrac{9}{4}$

Với $m < \dfrac{9}{4}$ thì phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,\,{x_2}.$

Áp dụng hệ thức Vi-et, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = – 1\\{x_1}{x_2} = m – 2\end{array} \right.$ .

Theo đề bài ta có: $x_1^2 + x_2^2 < 3$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2} < 3\\ \Leftrightarrow {\left( { – 1} \right)^2} – 2\left( {m – 2} \right) < 3\\ \Leftrightarrow 1 – 2m + 4 < 3\\ \Leftrightarrow 2m > 2\\ \Leftrightarrow m > 1\end{array}$

Kết hợp với điều kện $m < \dfrac{9}{4}$ ta được: \(1

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE