12. Bài tập ôn tập chương 4

Đề bài

Câu 1 :

Cho phương trình: ${x^2} + 2\left( {m – 3} \right)x + {m^2} + m + 1 = 0$ (1)

Khẳng định nào trong các khẳng định sau đúng:

A.

Với $m = 3$ phương trình (1) có $2$ nghiệm phân biệt.
B.

Với $m = – 1$ phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
C.

Với $m = 2$ phương trình (1) vô nghiệm.
D.

Với $m = 2$ phương trình (1) có $2$ nghiệm phân biệt.

Câu 2 :

Cho phương trình bậc hai: ${x^2} + ax + b = 0$ (1) có $2$ nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ .

Điều kiện để ${x_1}; {x_2} > 0$ là:

A.

$\left\{ \begin{array}{l}{a^2} > 4b\\a < 0\\b > 0\end{array} \right.$
B.

$\left\{ \begin{array}{l}{a^2} \ge 4b\\a > 0\\b > 0\end{array} \right.$
C.

$\left\{ \begin{array}{l}{a^2} > 4b\\a < 0\\b < 0\end{array} \right.$
D.

$\left\{ \begin{array}{l}{a^2} \ge 4b\\a < 0\\b < 0\end{array} \right.$

Câu 3 :

Giả sử: ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${x^2} – 4x – 9 = 0$ . Khi đó $x_1^2 + x_2^2$ bằng:

A.

$30$
B.

$32$
C.

$34$
D.

$36$

Câu 4 :

Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là $\sqrt 5 – 2$ và $\sqrt 5 + 2$ .

A.

${x^2} – 2\sqrt 5 \,x + 1 = 0$
B.

${x^2} – 3\sqrt 5 \,x + 2 = 0$
C.

${x^2} + 2\sqrt 5 \,x + 1 = 0$
D.

${x^2} – 3\sqrt 5 \,x – 2 = 0$

Câu 5 :

Tập nghiệm của phương trình ${x^4} – 5{x^2} + 6 = 0$ là:

A.

S = { $2;3$ }
B.

S = { $\pm \sqrt 2 \,;\,\, \pm \sqrt 3$ }
C.

S = { $1\,;\,\,6$ }
D.

S = { $1\,;\,\, \pm \sqrt 6$ }

Câu 6 :

Tập nghiệm của phương trình $x + 4\sqrt x – 12 = 0$ là:

A.

$S = \left\{ {36} \right\}$
B.

$S = \left\{ {4;\,\,36} \right\}$
C.

$S = \left\{ 4 \right\}$
D.

$S = \left\{ {2; – 6} \right\}$

Câu 7 :

Cho phương trình: ${x^4} + m{x^2} + 2m + 3 = 0$ (1). Với giá trị nào dưới đây của $m$ thì phương trình (1) có $4$ nghiệm phân biệt ?

A.

$m = – \dfrac{7}{5}$
B.

$m = – 1$
C.

$m = – \dfrac{3}{2}$
D.

$m = 4 – 2\sqrt 7$

Câu 8 :

Cho phương trình bậc hai: ${x^2} – 2px + 5 = 0$ có $1$ nghiệm ${x_1} = 2$

Tìm giá trị của $p$ và nghiệm ${x_2}$ còn lại:

A.

$p = 2;{x_2} = 1$
B.

$p = \dfrac{5}{2};{x_2} = \dfrac{9}{4}$
C.

$p = \dfrac{9}{4};{x_2} = \dfrac{5}{2}$
D.

$p = \dfrac{9}{4};{x_2} = \dfrac{1}{2}$

Câu 9 :

Cho phương trình bậc hai: ${x^2} – qx + 50 = 0$ .

Tìm $q > 0$ và $2$ nghiệm ${x_1};{x_2}$ của phương trình biết rằng ${x_1} = 2{x_2}$ .

A.

$q = 5;{x_1} = 10;{x_2} = 5$
B.

$q = 15;{x_1} = 10;{x_2} = 5$
C.

$q = 5;{x_1} = 5;{x_2} = 10$
D.

$q = – 15;{x_1} = – 10;{x_2} = – 5$

Câu 10 :

Cho phương trình: ${x^2} – \left( {m + 2} \right)x + \left( {2m – 1} \right) = 0$ có $2$ nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ . Hệ thức liên hệ giữa $2$ nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của $m$ là:

A.

$2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) – {x_1}{x_2} = -5$
B.

${x_1} + {x_2} -x_1.x_2= – 1$
C.

${x_1} + {x_2} + 2{x_1}{x_2} = 5$
D.

$2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) – {x_1}{x_2} = 5$

Câu 11 :

Cho phương trình: ${x^2} – 3(m – 5)x + {m^2} – 9 = 0$ . Tìm $m$ để pt có $2$ nghiệm phân biệt trái dấu.

A.

$m = 3$
B.

$m > – 3$
C.

$m < 3$
D.

$– 3 < m < 3$

Câu 12 :

Cho phương trình: ${x^2} + 2(2m + 1)x + 4{m^2} = 0$ .

Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm.

A.

$\left\{ \begin{array}{l} m < \dfrac{1}{4}\\ m \ne 0 \end{array} \right.$
B.

$\left\{ \begin{array}{l} m > – \dfrac{1}{4}\\ m \ne 0 \end{array} \right.$
C.

$m > – \dfrac{1}{4}$
D.

$\left\{ \begin{array}{l} m > – \dfrac{1}{2}\\ m \ne 0 \end{array} \right.$

Câu 13 :

Cho phương trình: ${x^2} – 2(m – 1)x + {m^2} – 3m = 0$ .

Tìm $m$ để phương trình có $2$ nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 8$ .

A.

$m = 2$
B.

$m = – 1$
C.

$m = – 2$
D.

$m = 1$

Câu 14 :

Tìm các giá trị của m để đường thẳng $d:\,\,y = 2\left( {m – 1} \right)x – m – 1$ cắt parabol (P): $y = {x^2}$ tại hai điểm có hoành độ trái dấu.

A.

$m > – 1$
B.

$m < – 1$
C.

$m = 1$
D.

$m \ne – 1$

Câu 15 :

Tìm các giá trị của m để đường thẳng d: $y = 2\left( {m – 3} \right)x + 4m – 8$ cắt đồ thị hàm số (P): $y = {x^2}$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm.

A.

$m < 3$
B.

$m < 2$
C.

$m < 2;m \ne 1$
D.

$2 < m < 3$

Câu 16 :

Cho phương trình: $x – 2\sqrt x + m – 3 = 0$ (1)

Điều kiện của $m$ để phương trình có $2$ nghiệm phân biệt là:

A.

$3 \le m \le 4$
B.

$3 \le m < 4$
C.

$3 < m \le 4$
D.

$3 < m < 4$

Câu 17 :

Cho phương trình: ${x^2} + x – \dfrac{{18}}{{{x^2} + x}} = 3$ (1)

Phương trình trên có số nghiệm là:

A.

$1$
B.

$2$
C.

$3$
D.

$4$

Câu 18 :

Cho phương trình: $\dfrac{{2x}}{{3{x^2} – x + 2}} – \dfrac{{7x}}{{3{x^2} + 5x + 2}} = 1$ (1)

Gọi $S$ là tổng tất cả các nghiệm của phương trình (1).

Giá trị của $S$ là:

A.

$S = – 11$
B.

$S = 11$
C.

$S = – \dfrac{{11}}{3}$
D.

$S = \dfrac{{11}}{3}$

Câu 19 :

Phương trình ${x^4} – 3{x^3} – 2{x^2} + 6x + 4 = 0$ có bao nhiêu nghiệm?

A.

1 nghiệm
B.

3 nghiệm
C.

4 nghiệm
D.

2 nghiệm

Câu 20 :

Tập nghiệm của phương trình $(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) = 35$ là:

A.

S = $\left\{ {\dfrac{{ – 7 + \sqrt {29} }}{2};\dfrac{{ – 7 – \sqrt {29} }}{2}} \right\}$
B.

S = $\left\{ {1;\dfrac{{ – 5 + \sqrt {39} }}{2};\dfrac{{ – 5 – \sqrt {39} }}{2}} \right\}$
C.

S = $\left\{ {\dfrac{{7 + \sqrt {29} }}{2};\dfrac{{7 – \sqrt {29} }}{2}} \right\}$
D.

S = $\left\{ { – 1;\dfrac{{5 + \sqrt {29} }}{2};\dfrac{{5 – \sqrt {29} }}{2}} \right\}$

Câu 21 :

Tập nghiệm của phương trình: $\dfrac{{12}}{{x – 1}} – \dfrac{8}{{x + 1}} = 1$ là:

A.

$S = \left\{ { – 5;2} \right\}\,$
B.

$S = \left\{ { – 3;7\,} \right\}$
C.

$S = \left\{ {1;4\,} \right\}$
D.

$S = \left\{ { – 2;7\,} \right\}$

Câu 22 :

Cho phương trình: $x – 3\sqrt x + m – 4 = 0$ . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt?

A.

$m > 4$
B.

$4 \le m < \dfrac{{25}}{4}$
C.

$m < \dfrac{{25}}{4}$
D.

$m \le 4$ hoặc $m \ge \dfrac{{25}}{4}$

Câu 23 :

Định m để đường thẳng (d): $y = \left( {m + 1} \right)x – 2m$ cắt parabol (P): $y = {x^2}$ tại 2 điểm phân biệt có hoành độ ${x_1},{x_2}$ sao cho: ${x_1},{x_2}$ là độ dài hai góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5.

A.

$m = – 4$
B.

$m = 6$
C.

$m = 0$
D.

$m = 2$

Câu 24 :

Cho phương trình: ${x^2} – 2mx + 2m – 1 = 0$ .

Tìm $m$ để phương trình có $2$ nghiệm phân biệt thỏa mãn: $2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) – 5{x_1}{x_2} = – 1$ .

A.

$m = 1$
B.

$m = \dfrac{5}{4}$
C.

$m = – 4$
D.

$m = \dfrac{{ – 7}}{4}$

Câu 25 :

Cho phương trình: ${x^2} + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0$ . Tìm $m$ để pt có $2$ nghiệm nhỏ hơn $2$ .

A.

$m < 2$
B.

$m > – 3$
C.

$\dfrac{1}{3} < m < 2$
D.

$m > \dfrac{1}{3}$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Cho phương trình: ${x^2} + 2\left( {m – 3} \right)x + {m^2} + m + 1 = 0$ (1)

Khẳng định nào trong các khẳng định sau đúng:

A.

Với $m = 3$ phương trình (1) có $2$ nghiệm phân biệt.
B.

Với $m = – 1$ phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
C.

Với $m = 2$ phương trình (1) vô nghiệm.
D.

Với $m = 2$ phương trình (1) có $2$ nghiệm phân biệt.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Phương trình đã cho là phương trình bậc $2$ ẩn $x$ và tham số m.

Để xem phương trình có nghiệm hay không, ta xét đại lượng $\Delta$ của phương trình.

Thay các giá trị của $m$ vào để tìm đáp án đúng.

Lời giải chi tiết :

Phương trình (1) là phương trình bậc hai với ẩn $x$ và tham số $m$ .

Xét: $\Delta ‘ = {\left( {m – 3} \right)^2} – \left( {{m^2} + m + 1} \right) = {m^2} – 6m + 9 – {m^2} – m – 1 = – 7m + 8$ .

$\bullet$ Phương trình đã cho vô nghiệm $\Leftrightarrow \Delta ‘ < 0 \Leftrightarrow – 7m + 8 < 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{8}{7}$ .

$\bullet$ Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \Delta ‘ = 0 \Leftrightarrow – 7m + 8 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{8}{7}$ .

$\bullet$ Phương trình đã cho có $2$ nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta ‘ > 0 \Leftrightarrow – 7m + 8 > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{8}{7}$ .

Như vậy

+ Với $m=3>\dfrac{8}{7}$ thì phương trình vô nghiệm nên A sai.

+ Với $m=-1<\dfrac{8}{7}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt nên B sai.

+ Với $m=2>\dfrac{8}{7}$ thì phương trình vô nghiệm nên C đúng, D sai.

Vậy đáp án đúng là đáp án C.

Câu 2 :

Cho phương trình bậc hai: ${x^2} + ax + b = 0$ (1) có $2$ nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ .

Điều kiện để ${x_1}; {x_2} > 0$ là:

A.

$\left\{ \begin{array}{l}{a^2} > 4b\\a < 0\\b > 0\end{array} \right.$
B.

$\left\{ \begin{array}{l}{a^2} \ge 4b\\a > 0\\b > 0\end{array} \right.$
C.

$\left\{ \begin{array}{l}{a^2} > 4b\\a < 0\\b < 0\end{array} \right.$
D.

$\left\{ \begin{array}{l}{a^2} \ge 4b\\a < 0\\b < 0\end{array} \right.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Điều kiện để phương trình bậc hai có $2$ nghiệm phân biệt là $\Delta > 0$ .

Phương trình bậc hai có $2$ nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Phương trình (1) có $2$ nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ nên $\Delta > 0 \Leftrightarrow {a^2} > 4b$ .

Để phương trình (1) có $2$ nghiệm dương phân biệt thì $\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} > 4b\\ – a > 0\\b > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} > 4b\\a < 0\\b > 0\end{array} \right.$

Câu 3 :

Giả sử: ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${x^2} – 4x – 9 = 0$ . Khi đó $x_1^2 + x_2^2$ bằng:

A.

$30$
B.

$32$
C.

$34$
D.

$36$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

– Biến đổi: ${x_1}^2 + {x_2}^2 = {x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 – 2{x_1}{x_2} = {({x_1} + {x_2})^2} – 2{x_1}{x_2}$ .

– Áp dụng hệ thức Vi-et tính được: ${x_1} + {x_2},\,\,{x_1}.{x_2}$ , thay vào biểu thức bên trên ta tìm được $x_1^2 + x_2^2$ .

Lời giải chi tiết :

Phương trình đã cho có: $\Delta ‘ = {\left( { – 2} \right)^2} – 1.\left( { – 9} \right) = 13 > 0$ nên có hai nghiệm phân biệt.

Ta có: ${x_1}^2 + {x_2}^2 = {x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 – 2{x_1}{x_2} = {({x_1} + {x_2})^2} – 2{x_1}{x_2}$ (1)

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ – b}}{a} = \dfrac{{ – ( – 4)}}{1} = 4\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{ – 9}}{1} = – 9\end{array} \right.\\\end{array}$

Thay vào (1) ta được: ${x_1}^2 + {x_2}^2 = {4^2} – 2.( – 9) = 16 + 18 = 34$ .

Câu 4 :

Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là $\sqrt 5 – 2$ và $\sqrt 5 + 2$ .

A.

${x^2} – 2\sqrt 5 \,x + 1 = 0$
B.

${x^2} – 3\sqrt 5 \,x + 2 = 0$
C.

${x^2} + 2\sqrt 5 \,x + 1 = 0$
D.

${x^2} – 3\sqrt 5 \,x – 2 = 0$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

$\left\{ \begin{array}{l}u + v = S\\u.v = P\end{array} \right. \Rightarrow$ $u,v$ là nghiệm của phương trình: ${x^2} – Sx + P = 0$ . (ĐK: ${S^2} \ge 4P$ )

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}S = \sqrt 5 – 2 + \sqrt 5 + 2 = 2\sqrt 5. \\P = (\sqrt 5 – 2)(\sqrt 5 + 2) = 5 – 4 = 1\end{array}$ .

Nhận thấy ${S^2} > 4P\,\left( {{\rm{do}}\,{{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2} = 20 > 4} \right)$

Nên phương trình bậc hai có 2 nghiệm $\sqrt 5 – 2$ và $\sqrt 5 + 2$ là: ${x^2} – 2\sqrt 5 \,x + 1 = 0$ .

Câu 5 :

Tập nghiệm của phương trình ${x^4} – 5{x^2} + 6 = 0$ là:

A.

S = { $2;3$ }
B.

S = { $\pm \sqrt 2 \,;\,\, \pm \sqrt 3$ }
C.

S = { $1\,;\,\,6$ }
D.

S = { $1\,;\,\, \pm \sqrt 6$ }

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phương trình đã cho là phương trình trùng phương, ta đặt: ${x^2} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)$ khi đó đưa về được phương trình bậc hai: ${t^2} – 5t + 6 = 0$ . Giải phương trình bậc hai ẩn $t$ sau đó quay lại tìm được $x$ .

Lời giải chi tiết :

${x^4} – 5{x^2} + 6 = 0$ (1)

Đặt: ${x^2} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)$

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} – 5t + 6 = 0$

Có: $\Delta = {5^2} – 4.6 = 1 > 0 \Rightarrow$ phương trình có 2 nghiệm phân biệt: $\left[ \begin{array}{l}{t_1} = \dfrac{{5 + 1}}{2} = 3\,\,\,\left( {tm} \right)\\{t_2} = \dfrac{{5 – 1}}{2} = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.$ .

+) Với $t = 3 \Rightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3 .$

+) Với $t = 2 \Rightarrow {x^2} = 2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 .$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = \left\{ { \pm \sqrt 2 \,;\,\, \pm \sqrt 3 } \right\}$ .

Câu 6 :

Tập nghiệm của phương trình $x + 4\sqrt x – 12 = 0$ là:

A.

$S = \left\{ {36} \right\}$
B.

$S = \left\{ {4;\,\,36} \right\}$
C.

$S = \left\{ 4 \right\}$
D.

$S = \left\{ {2; – 6} \right\}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Đặt: $\sqrt x = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)$ , khi đó đưa về được phương trình bậc hai: ${t^2} + 4t – 12 = 0$ . Giải phương trình bậc hai ẩn $t$ sau đó quay lại tìm được $x$ .

Lời giải chi tiết :

$x + 4\sqrt x – 12 = 0$ (1)

ĐKXĐ: $x \ge 0.$

Đặt: $\sqrt x = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)$

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} + 4t – 12 = 0.$

Có: $\Delta ‘ = {2^2} + 12 = 16 > 0 \Rightarrow$ phương trình có hai nghiệm phân biệt: $\left[ \begin{array}{l}{t_1} = – 2 + \sqrt {16} = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\\{t_2} = – 2 – \sqrt {16} = – 6\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right..$

Với $t = 2 \Rightarrow \sqrt x = 2 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {tm} \right).$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 4.$

Câu 7 :

Cho phương trình: ${x^4} + m{x^2} + 2m + 3 = 0$ (1). Với giá trị nào dưới đây của $m$ thì phương trình (1) có $4$ nghiệm phân biệt ?

A.

$m = – \dfrac{7}{5}$
B.

$m = – 1$
C.

$m = – \dfrac{3}{2}$
D.

$m = 4 – 2\sqrt 7$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Đặt ${x^2} = t$ $( t \ge 0)$ đưa phương trình (1) thành phương trình bậc $2$ với ẩn $t$ và tham số $m$ .

Phương trình mới thu được: ${t^2} + mt + 2m + 3 = 0$ (2)

Để phương trình (1) có $4$ nghiệm phân biệt, thì phương trình (2) có $2$ nghiệm dương phân biệt.

Biện luận phương trình (2) theo tham số $m$ để có $2$ nghiệm dương phân biệt.

Lời giải chi tiết :

Đặt: ${x^2} = t\left( {t \ge 0} \right)$ ta được: ${t^2} + mt + 2m + 3 = 0$ (2).

Để phương trình (1) có $4$ nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có $2$ nghiệm dương phân biệt

Phương trình (2) có $2$ nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}{m^2} – 4\left( {2m + 3} \right) > 0\\ – m > 0\\2m + 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} – 8m – 12 > 0\\m < 0\\m > – \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 4 + 2\sqrt 7 \\m < 4 – 2\sqrt 7 \end{array} \right.\\ – \dfrac{3}{2} < m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow – \dfrac{3}{2} < m < 4 – 2\sqrt 7$

Với các giá trị thuộc $– \dfrac{3}{2} < m < 4 – 2\sqrt 7$ thì phương trình đã cho có $4$ nghiệm phân biệt.

Nhận thấy trong các đáp án thì thì chỉ có $m = – \dfrac{7}{5}$ thỏa mãn $– \dfrac{3}{2} < m < 4 – 2\sqrt 7$ để phương trình đã cho có $4$ nghiệm phân biệt.

Câu 8 :

Cho phương trình bậc hai: ${x^2} – 2px + 5 = 0$ có $1$ nghiệm ${x_1} = 2$

Tìm giá trị của $p$ và nghiệm ${x_2}$ còn lại:

A.

$p = 2;{x_2} = 1$
B.

$p = \dfrac{5}{2};{x_2} = \dfrac{9}{4}$
C.

$p = \dfrac{9}{4};{x_2} = \dfrac{5}{2}$
D.

$p = \dfrac{9}{4};{x_2} = \dfrac{1}{2}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Thay nghiệm ${x_1} = 2$ vào phương trình đã cho để tìm $p$ .

Thay giá trị $p$ tìm được vào phương trình, phân tích thành phương trình tích với nhân tử là $(x – 2)$ để tìm nghiệm còn lại.

Lời giải chi tiết :

Thay $x = 2$ vào phương trình đã cho ta được: $4 – 4p + 5 = 0 \Leftrightarrow 4p = 9 \Leftrightarrow p = \dfrac{9}{4}$ .

Thay $p = \dfrac{9}{4}$ vào phương trình đã cho ta được: ${x^2} – \dfrac{9}{2}x + 5 = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} – 9x + 10 = 0 \Leftrightarrow (x – 2)(2x – 5) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \dfrac{5}{2}\end{array} \right.$

Vậy nghiệm còn lại là ${x_2} = \dfrac{5}{2}$ .

Câu 9 :

Cho phương trình bậc hai: ${x^2} – qx + 50 = 0$ .

Tìm $q > 0$ và $2$ nghiệm ${x_1};{x_2}$ của phương trình biết rằng ${x_1} = 2{x_2}$ .

A.

$q = 5;{x_1} = 10;{x_2} = 5$
B.

$q = 15;{x_1} = 10;{x_2} = 5$
C.

$q = 5;{x_1} = 5;{x_2} = 10$
D.

$q = – 15;{x_1} = – 10;{x_2} = – 5$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tìm điều kiện để phương trình đã cho có $2$ nghiệm phân biệt.

Dùng dữ kiện ${x_1} = 2{x_2}$ kết hợp với hệ thức Vi-et, ta sẽ tìm được các giá trị: $q,{x_1},{x_2}$ .

Lời giải chi tiết :

Để phương trình đã cho có $2$ nghiệm thì: $\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {q^2} – 200 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q \ge 10\sqrt 2 \\q \le – 10\sqrt 2 \end{array} \right.$

Khi đó phương trình có hai nghiệm: ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn hệ thức Vi-et $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = q\\{x_1}.{x_2} = 50\end{array} \right.$

Với ${x_1} = 2{x_2}$ thì $\left\{ \begin{array}{l}2{x_2} + {x_2} = q\\2{x_2}.{x_2} = 50\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x_2} = q\\x_2^2 = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 5\\q = 15\end{array} \right.$ (do $q > 0$ nên ${x_2} = 5 > 0$ )

Khi đó: ${x_1} = 2{x_2} = 2.5 = 10$ .

Vậy $q = 15;{x_1} = 10,{x_2} = 5$

Câu 10 :

A.

$2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) – {x_1}{x_2} = -5$
B.

${x_1} + {x_2} -x_1.x_2= – 1$
C.

${x_1} + {x_2} + 2{x_1}{x_2} = 5$
D.

$2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) – {x_1}{x_2} = 5$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Tìm điều kiện của $m$ để hệ phương trình có $2$ nghiệm phân biệt.

Áp dụng hệ thức Viet để tính tổng $2$ nghiệm và tích $2$ nghiệm.

Dùng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế để triệt tiêu $m$ từ $2$ phương trình, rút về $1$ phương trình là hệ thức liên hệ giữa $2$ nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của $m$ .

Lời giải chi tiết :

Phương trình đã cho có $2$ nghiệm phân biệt: $\Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} – 4\left( {2m – 1} \right) > 0$

$\Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 – 8m + 4 > 0 \Leftrightarrow {m^2} – 4m + 8 > 0 \Leftrightarrow {\left( {m – 2} \right)^2} + 4 > 0\left( {\forall m} \right)$

Vậy với mọi $m$ phương trình đã cho luôn có $2$ nghiệm phân biệt.

Áp dụng hệ thức Viet, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 2\\{x_1}{x_2} = 2m – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 2m + 4\\{x_1}{x_2} = 2m – 1\end{array} \right. \Rightarrow 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) – {x_1}{x_2} = 5$

Vậy $2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) – {x_1}{x_2} = 5$ là hệ thức liên hệ giữa $2$ nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của $m$ .

Câu 11 :

Cho phương trình: ${x^2} – 3(m – 5)x + {m^2} – 9 = 0$ . Tìm $m$ để pt có $2$ nghiệm phân biệt trái dấu.

A.

$m = 3$
B.

$m > – 3$
C.

$m < 3$
D.

$– 3 < m < 3$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu thì ta giải: $a.c < 0$ tìm giá trị của $m$ .

Lời giải chi tiết :

Phương trình: ${x^2} – 3(m – 5)x + {m^2} – 9 = 0$ có $a=1;b=-3(m-5);c=m^2-9$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu:

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow a.c < 0\\ \Leftrightarrow 1.({m^2} – 9) < 0\\ \Leftrightarrow (m-3)(m+3)<0\end{array}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m – 3 < 0\\ m + 3 > 0 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} m – 3 > 0\\ m + 3 < 0 \end{array} \right. \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m < 3\\ m > – 3 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} m > 3\\ m < – 3 \end{array} \right.\left( l \right) \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow – 3 < m < 3$

Câu 12 :

Cho phương trình: ${x^2} + 2(2m + 1)x + 4{m^2} = 0$ .

Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm.

A.

$\left\{ \begin{array}{l} m < \dfrac{1}{4}\\ m \ne 0 \end{array} \right.$
B.

$\left\{ \begin{array}{l} m > – \dfrac{1}{4}\\ m \ne 0 \end{array} \right.$
C.

$m > – \dfrac{1}{4}$
D.

$\left\{ \begin{array}{l} m > – \dfrac{1}{2}\\ m \ne 0 \end{array} \right.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm thì ta giải: $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ‘ > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.$ tìm giá trị của $m$ .

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình: ${x^2} + 2(2m + 1)x + 4{m^2} = 0$ .

Phương trình có hai nghiệm phân biệt âm:

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ‘ > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(2m + 1)^2} – 4{m^2} > 0\\ – 2(2m + 1) < 0\\{m^2} > 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4m + 1 > 0\\2m + 1 > 0\\{m^2} > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m >-1 \\2m > – 1\\m \ne 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{{ – 1}}{4} \\m > \dfrac{{ – 1}}{2}\\m \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{{ – 1}}{4}\\m \ne 0\end{array} \right.\end{array}$ .

Câu 13 :

Cho phương trình: ${x^2} – 2(m – 1)x + {m^2} – 3m = 0$ .

Tìm $m$ để phương trình có $2$ nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 8$ .

A.

$m = 2$
B.

$m = – 1$
C.

$m = – 2$
D.

$m = 1$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

– Trước tiên ta tìm điều kiện của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}\,(\Delta ‘ > 0)$ .

– Ta biến đổi biểu thức: ${x_1}^2 + {x_2}^2$ về biểu thức có chứa: ${x_1} + {x_2}$ và ${x_1}{x_2}$ rồi từ đó ta tìm được giá trị của $m$ .

– Đối chiếu với điều kiện xác định của $m$ để tìm được giá trị thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình: ${x^2} – 2(m – 1)x + {m^2} – 3m = 0$ ta có:

$\Delta ‘ = {(m – 1)^2} – 1.\left( {{m^2} – 3m} \right) = {m^2} – 2m + 1 – {m^2} + 3m = m + 1$ .

Để phương trình có hai nhiệm phân biệt thì $\Delta ‘ > 0 \Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > – 1$ .

Ta có: ${x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2} = 8$ (*)

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(m – 1)\\{x_1}{x_2} = {m^2} – 3m\end{array} \right.$ thay vào (*) ta được:

$\begin{array}{l}{{\rm{[}}2(m – 1){\rm{]}}^2} – 2.\left( {{m^2} – 3m} \right) = 8\\ \Leftrightarrow 4.({m^2} – 2m + 1) – 2{m^2} + 6m – 8 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} – 8m + 4 – 2{m^2} + 6m – 8 = 0\\ \Leftrightarrow 2{m^2} – 2m – 4 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} – m – 2 = 0\\ \Leftrightarrow (m + 1)(m – 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – 1\,(ktm)\\m = 2\,(tm)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy với $m = 2$ thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn.

Câu 14 :

Tìm các giá trị của m để đường thẳng $d:\,\,y = 2\left( {m – 1} \right)x – m – 1$ cắt parabol (P): $y = {x^2}$ tại hai điểm có hoành độ trái dấu.

A.

$m > – 1$
B.

$m < – 1$
C.

$m = 1$
D.

$m \ne – 1$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Xét phương trình hoành độ giao điểm.

+ Phương trình bậc hai: $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ có hai nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow a.c < 0$ .

Lời giải chi tiết :

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là: ${x^2} – 2\left( {m – 1} \right)x + m + 1 = 0\,\,\left( * \right)$

Ta có: $a = 1;\,b = – 2\left( {m – 1} \right);\,c = m + 1$

Đường thẳng d cắt (P) tại 2 điểm có hoành độ trái dấu $\Leftrightarrow \left( * \right)$ có 2 nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow ac < 0$

$\Leftrightarrow 1.\left( {m + 1} \right) < 0 \Leftrightarrow m < – 1$

Câu 15 :

Tìm các giá trị của m để đường thẳng d: $y = 2\left( {m – 3} \right)x + 4m – 8$ cắt đồ thị hàm số (P): $y = {x^2}$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm.

A.

$m < 3$
B.

$m < 2$
C.

$m < 2;m \ne 1$
D.

$2 < m < 3$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Xét phương trình hoành độ giao điểm.

+ Phương trình bậc hai: $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ có hai nghiệm âm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S = {x_1} + {x_2} < 0\\P = {x_1}.{x_2} > 0\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là: ${x^2} – 2\left( {m – 3} \right)x + 8 – 4m = 0\,\,\left( * \right)$

Ta có: $a = 1;b = – 2\left( {m – 3} \right);c = 8 – 4m$

Đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm $\Leftrightarrow$ Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt cùng âm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ‘ > 0\\P > 0\\S < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ‘ = b{‘^2} – ac > 0\\P = {x_1}.{x_2} > 0\\S = {x_1} + {x_2} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left[ { – \left( {m – 3} \right)} \right]^2} – \left( {8 – 4m} \right) > 0\\8 – 4m > 0\\2\left( {m – 3} \right) < 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} – 6m + 9 – 8 + 4m > 0\\ – 4m > – 8\\m < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m – 1} \right)^2} > 0\\m < 2\\m < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m < 2\\m < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m < 2\end{array} \right.$

Câu 16 :

Cho phương trình: $x – 2\sqrt x + m – 3 = 0$ (1)

Điều kiện của $m$ để phương trình có $2$ nghiệm phân biệt là:

A.

$3 \le m \le 4$
B.

$3 \le m < 4$
C.

$3 < m \le 4$
D.

$3 < m < 4$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đặt: $\sqrt x = t\left( {t \ge 0} \right)$ .

Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai với ẩn $t$ .

Biện luận để phương trình (1) có $2$ nghiệm phân biệt thì phương trình với ẩn $t$ phải có 2 nghiệm phân biệt không âm.

Áp dụng định lí Vi-et để giải ra điều kiện của $m$ .

Lời giải chi tiết :

Đặt: $\sqrt x = t\left( {t \ge 0} \right)$ ta được: ${t^2} – 2t + m – 3 = 0$ (2)

Để phương trình (1) có $2$ nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có $2$ nghiệm phân biệt thỏa mãn: $t \ge 0$ .

Phương trình (2 ) có $2$ nghiệm phân biệt thỏa mãn: $t \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ‘ > 0\\S > 0\\P \ge 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( { – 1} \right)^2} – \left( {m – 3} \right) > 0\\2 > 0\\m – 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 4\\m \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 \le m < 4$

Câu 17 :

Cho phương trình: ${x^2} + x – \dfrac{{18}}{{{x^2} + x}} = 3$ (1)

Phương trình trên có số nghiệm là:

A.

$1$
B.

$2$
C.

$3$
D.

$4$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đặt: $t = {x^2} + x\left( {t \ne 0} \right)$ .

Đưa phương trình (1) thành phương trình bậc hai với ẩn $t$ để giải.

Thay các giá trị t tìm được vào để giải tìm $x$ .

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: ${x^2} + x \ne 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne – 1\end{array} \right.$

Đặt: $t = {x^2} + x\left( {t \ne 0} \right)$ ta được: $t – \dfrac{{18}}{t} = 3 \Leftrightarrow {t^2} – 3t – 18 = 0$

$\Leftrightarrow (t – 6)(t + 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = – 3\\t = 6\end{array} \right.$ (thỏa mãn $t \ne 0$ ).

+ Nếu $t = – 3 \Rightarrow {x^2} + x = – 3 \Leftrightarrow {x^2} + x + 3 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} = 0$ (Vô nghiệm).

+ Nếu $t = 6 \Rightarrow {x^2} + x = 6 \Leftrightarrow {x^2} + x – 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {x – 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = – 3\end{array} \right.$ (thỏa mãn).

Câu 18 :

Cho phương trình: $\dfrac{{2x}}{{3{x^2} – x + 2}} – \dfrac{{7x}}{{3{x^2} + 5x + 2}} = 1$ (1)

Gọi $S$ là tổng tất cả các nghiệm của phương trình (1).

Giá trị của $S$ là:

A.

$S = – 11$
B.

$S = 11$
C.

$S = – \dfrac{{11}}{3}$
D.

$S = \dfrac{{11}}{3}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Xét $x = 0$ không phải nghiệm của phương trình, ta chia cả tử và mẫu của $2$ phân số vế trái cho $x$ để xuất hiện ẩn phụ.

Đặt: $t = 3x + \dfrac{2}{x}$ , đưa phương trình về phương trình bậc hai với ẩn $t$ .

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}3{x^2} – x + 2 \ne 0\\3{x^2} + 5x + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne – 1\\x \ne – \dfrac{2}{3}\end{array} \right.$

Xét $x = 0$ không phải nghiệm của phương trình.

Xét $x \ne 0$ ta có: $\dfrac{{2x}}{{3{x^2} – x + 2}} – \dfrac{{7x}}{{3{x^2} + 5x + 2}} = 1$ $\Rightarrow \dfrac{2}{{3x – 1 + \dfrac{2}{x}}} – \dfrac{7}{{3x + 5 + \dfrac{2}{x}}} = 1$ .

Đặt $t = 3x + \dfrac{2}{x}$ ta được: $\dfrac{2}{{t – 1}} – \dfrac{7}{{t + 5}} = 1 \Rightarrow 2\left( {t + 5} \right) – 7\left( {t – 1} \right) = \left( {t – 1} \right)\left( {t + 5} \right)$ .

$\Leftrightarrow 2t + 10 – 7t + 7 = {t^2} + 5t – t – 5 \Leftrightarrow {t^2} + 9t – 22 = 0 \Leftrightarrow (t – 2)(t + 11) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = – 11\end{array} \right.$

$\circ$ Nếu $t = 2 \Rightarrow 3x + \dfrac{2}{x} = 2 \Rightarrow 3{x^2} – 2x + 2 = 0$ $\Leftrightarrow 2{x^2} + {\left( {x – 1} \right)^2} + 1 = 0$ (Vô nghiệm).

$\circ$ Nếu $t = – 11 \Rightarrow 3x + \dfrac{2}{x} = – 11 \Rightarrow 3{x^2} + 11x + 2 = 0$ $\Leftrightarrow x = \dfrac{{ – 11 \pm \sqrt {97} }}{6}$ (Thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có $2$ nghiệm $x = \dfrac{{ – 11 \pm \sqrt {97} }}{6}$ .

Suy ra tổng $2$ nghiệm $S = – \dfrac{{11}}{3}$ .

Câu 19 :

Phương trình ${x^4} – 3{x^3} – 2{x^2} + 6x + 4 = 0$ có bao nhiêu nghiệm?

A.

1 nghiệm
B.

3 nghiệm
C.

4 nghiệm
D.

2 nghiệm

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+) Xét: $x = 0$ không là nghiệm của phương trình.

+) Với: $x \ne 0$ ta chia 2 vế của phương trình cho ${x^2}$ để đưa về phương trình bậc thấp hơn sau đó giải phương trình đó để tìm $x$ .

Lời giải chi tiết :

Phương trình: ${x^4} – 3{x^3} – 2{x^2} + 6x + 4 = 0\,\,\,\left( 1 \right).$

Ta thấy: $x = 0$ không là nghiệm của phương trình đã cho.

Với: $x \ne 0$ , ta chia cả 2 vế của phương trình cho ${x^2}$ ta được:

$\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} – 3x – 2 + \dfrac{6}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + \dfrac{4}{{{x^2}}}} \right) – 3\left( {x – \dfrac{2}{x}} \right) – 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} – 2.x.\dfrac{2}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}} + 4} \right) – 3\left( {x – \dfrac{2}{x}} \right) – 2 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x – \dfrac{2}{x}} \right)^2} – 3\left( {x – \dfrac{2}{x}} \right) + 2 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}$

Đặt: $x – \dfrac{2}{x} = t$ $\Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} – 3t + 2 = 0$ .

Có: $a + b + c = 1 – 3 + 2 = 0 \Rightarrow$ phương trình có hai nghiệm phân biết: $\left[ \begin{array}{l}{t_1} = 1\\{t_2} = 2\end{array} \right..$

+) Với $t = 1 \Rightarrow x – \dfrac{2}{x} = 1 \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 2\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..$

+) Với $t = 2 \Rightarrow x – \dfrac{2}{x} = 2 \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 2 = 0$ .

Có: $\Delta ‘ = 1 + 2 = 3 > 0 \Rightarrow$ phương trình có 2 nghiệm phân biệt: $\left[ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 3 \,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 1 – \sqrt 3 \,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..$

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.

Câu 20 :

Tập nghiệm của phương trình $(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) = 35$ là:

A.

S = $\left\{ {\dfrac{{ – 7 + \sqrt {29} }}{2};\dfrac{{ – 7 – \sqrt {29} }}{2}} \right\}$
B.

S = $\left\{ {1;\dfrac{{ – 5 + \sqrt {39} }}{2};\dfrac{{ – 5 – \sqrt {39} }}{2}} \right\}$
C.

S = $\left\{ {\dfrac{{7 + \sqrt {29} }}{2};\dfrac{{7 – \sqrt {29} }}{2}} \right\}$
D.

S = $\left\{ { – 1;\dfrac{{5 + \sqrt {29} }}{2};\dfrac{{5 – \sqrt {29} }}{2}} \right\}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

– Ghép $(x + 2)(x + 5)$ lại thành một cặp, $(x + 3)(x + 4)$ lại thành một cặp, sau đó đặt ẩn phụ $t$ đưa về được phương trình bậc hai ẩn $t$ . Giải phương trình bậc hai ẩn $t$ thì quay lại tìm được $x$ .

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right)\left( {x + 5} \right) = 35\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x + 5} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right) = 35\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 7x + 10} \right)\left( {{x^2} + 7x + 12} \right) = 35\,\,\,\left( * \right)\end{array}$

Đặt: ${x^2} + 7x + 10 = t \Rightarrow {x^2} + 7x + 12 = t + 2.$

$\left( * \right) \Leftrightarrow t\left( {t + 2} \right) = 35 \Leftrightarrow {t^2} + 2t – 35 = 0.$

Có: $\Delta ‘ = 1 + 35 = 36 > 0 \Rightarrow$ phương trình có 2 nghiệm phân biệt: $\left[ \begin{array}{l}{t_1} = – 1 + \sqrt {36} = 5\\{t_2} = – 1 – \sqrt {36} = – 7\end{array} \right..$

+) Với: $t = 5 \Rightarrow {x^2} + 7x + 10 = 5 \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 5 = 0$

Có: $\Delta = {7^2} – 4.5 = 29 > 0 \Rightarrow$ phương trình có 2 nghiệm phân biệt: $\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{ – 7 + \sqrt {29} }}{2}\\{x_2} = \dfrac{{ – 7 – \sqrt {29} }}{2}\end{array} \right.$

+) Với: $t = – 7 \Rightarrow {x^2} + 7x + 10 = – 7 \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 17 = 0$ .

Có: $\Delta = {7^2} – 4.17 = – 19 < 0 \Rightarrow$ phương trình vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{ {\dfrac{{ – 7 + \sqrt {29} }}{2};\dfrac{{ – 7 – \sqrt {29} }}{2}} \right\}.$

Câu 21 :

Tập nghiệm của phương trình: $\dfrac{{12}}{{x – 1}} – \dfrac{8}{{x + 1}} = 1$ là:

A.

$S = \left\{ { – 5;2} \right\}\,$
B.

$S = \left\{ { – 3;7\,} \right\}$
C.

$S = \left\{ {1;4\,} \right\}$
D.

$S = \left\{ { – 2;7\,} \right\}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tìm điều kiện xác cho phân thức, sau đó quy đồng đưa về dạng hai phân thức bằng nhau.

Lời giải chi tiết :

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}x – 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne – 1\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{12}}{{x – 1}} – \dfrac{8}{{x + 1}} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{12(x + 1)}}{{(x – 1)(x + 1)}} – \dfrac{{8(x – 1)}}{{(x – 1)(x + 1)}} = \dfrac{{(x – 1)(x + 1)}}{{(x – 1)(x + 1)}}\\ \Leftrightarrow 12(x + 1) – 8(x – 1) = (x – 1)(x + 1)\\ \Leftrightarrow 12x + 12 – 8x + 8 = {x^2} – 1\\ \Leftrightarrow {x^2} – 4x – 21 = 0\end{array}$ .

Có: $\Delta ‘ = {\left( { – 2} \right)^2} + 21 = 25 > 0 \Rightarrow$ phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_1} = 2 + \sqrt {25} = 7\,\,\,\left( {tm} \right);\,\,\,\,{x_2} = 2 – \sqrt {25} = – 3\,\,\left( {tm} \right).$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { $– 3;7\,$ }.

Câu 22 :

Cho phương trình: $x – 3\sqrt x + m – 4 = 0$ . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt?

A.

$m > 4$
B.

$4 \le m < \dfrac{{25}}{4}$
C.

$m < \dfrac{{25}}{4}$
D.

$m \le 4$ hoặc $m \ge \dfrac{{25}}{4}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đặt: $\sqrt x = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)$ , khi đó đưa về được phương trình bậc hai: ${t^2} – 3t + m – 4 = 0$ . Giải và biện luận nghiệm theo phương trình bậc hai ẩn $t$ .

Lời giải chi tiết :

$x – 3\sqrt x + m – 4 = 0$ (1). Đk: $x \ge 0.$

Đặt: $\sqrt x = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)$ $\Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} – 3t + m – 4 = 0\,\,\,\left( 2 \right)$

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm phân biệt không âm.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\ – \dfrac{b}{a} > 0\\\dfrac{c}{a} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( { – 3} \right)^2} – 4\left( {m – 4} \right) > 0\\3 > 0\,\,\,\forall m\\m – 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 – 4m + 16 > 0\\m \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{{25}}{4}\\m \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow 4 \le m < \dfrac{{25}}{4}.$

Câu 23 :

A.

$m = – 4$
B.

$m = 6$
C.

$m = 0$
D.

$m = 2$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Xét phương trình hoành độ giao điểm.

+ Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.

+ Sử dụng định lý Pytago và hệ thức Vi-et để tính toán.

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình hoành độ giao điểm: ${x^2} – \left( {m + 1} \right)x + 2m = 0$ .

Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình trên có 2 nghiệm dương phân biệt ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn: $x_1^2 + x_2^2 = 25$ .

Do đó, m phải thỏa mãn các điều kiện sau:

$\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1}{x_2} > 0\\x_1^2 + x_2^2 = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 1} \right)^2} – 8m > 0\\m + 1 > 0\\2m > 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} – 4m = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m < 3 – \sqrt 8 \\m > 3 + \sqrt 8 \end{array} \right.\\m > – 1\\m > 0\\\left[ \begin{array}{l}m = 6\\m = – 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 6$

Câu 24 :

Cho phương trình: ${x^2} – 2mx + 2m – 1 = 0$ .

Tìm $m$ để phương trình có $2$ nghiệm phân biệt thỏa mãn: $2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) – 5{x_1}{x_2} = – 1$ .

A.

$m = 1$
B.

$m = \dfrac{5}{4}$
C.

$m = – 4$
D.

$m = \dfrac{{ – 7}}{4}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

– Trước tiên ta tìm điều kiện của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt: ${x_1},{x_2}\,(\Delta ‘ > 0)$ .

– Ta biến đổi biểu thức $2({x_1}^2 + {x_2}^2) – 5{x_1}{x_2}$ về biểu thức có chứa ${x_1} + {x_2}$ và ${x_1}{x_2}$ rồi từ đó ta tìm được giá trị của $m$ .

– Đối chiếu với điều kiện xác định của $m$ để tìm được giá trị thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình: ${x^2} – 2mx + 2m – 1 = 0$ ta có:

$\Delta ‘ = {m^2} – 1.\left( {2m – 1} \right) = {m^2} – 2m + 1 = {(m – 1)^2}$

Để phương trình có hai nhiệm phân biệt thì $\Delta ‘ > 0 \Leftrightarrow {(m – 1)^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 1$ .

Ta có:

$\begin{array}{l}2({x_1}^2 + {x_2}^2) – 5{x_1}{x_2} = – 1\\ \Leftrightarrow 2{\rm{[}}{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2}{\rm{]}} – 5{x_1}{x_2} = – 1\\ \Leftrightarrow 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 4{x_1}{x_2} – 5{x_1}{x_2} = – 1\\ \Leftrightarrow 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 9{x_1}{x_2} = – 1\,\,\,(*)\end{array}$

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = 2m – 1\end{array} \right.$ thay vào (*) ta được:

$\begin{array}{l}2{(2m)^2} – 9\left( {2m – 1} \right) = – 1\\ \Leftrightarrow 2.4{m^2} – 18m + 9 + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 8{m^2} – 18m + 10 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} – 9m + 5 = 0\\ \Leftrightarrow (m – 1)(4m – 5) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\,(ktm)\\m = \dfrac{5}{4}\,(tm)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy với $m = \dfrac{5}{4}$ thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn.

Câu 25 :

Cho phương trình: ${x^2} + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0$ . Tìm $m$ để pt có $2$ nghiệm nhỏ hơn $2$ .

A.

$m < 2$
B.

$m > – 3$
C.

$\dfrac{1}{3} < m < 2$
D.

$m > \dfrac{1}{3}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

– Để trả lời yêu cầu bài toán, trước tiên ta tìm điều kiện của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm: ${x_1},{x_2}\,(\Delta ‘ > 0)$ .

– Phương trình có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ đều nhỏ hơn $2 \Leftrightarrow {x_1} – 2 < 0;\,{x_2} – 2 < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}({x_1} – 2)({x_2} – 2) > 0\\\dfrac{S}{2} < 2\end{array} \right.$ .

– Ta biến đổi biểu thức trên về biểu thức có chứa ${x_1} + {x_2}$ và ${x_1}{x_2}$ rồi từ đó ta tìm được giá trị của $m$ .

– Đối chiếu với điều kiện xác định của $m$ để tìm được giá trị thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình: ${x^2} + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0$ ta có:

$\begin{array}{l}\Delta ‘ = {(m – 1)^2} + m + 1 \\= {m^2} – 2m + 1 + m + 1 = {m^2} – m + 2\\\Delta ‘\, = {m^2} – 2m.\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} \\= {\left( {m – \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4}\,\\ \Rightarrow \Delta ‘ > 0\,\,\forall m\end{array}$ .

Vậy phương trình luôn có hai nhiệm phân biệt: $x{}_1,\,{x_2}$ với mọi giá trị của $m$ .

Từ giả thiết ta có:

$\begin{array}{l}{x_1} – 2 < 0;\,{x_2} – 2 < 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}({x_1} – 2)({x_2} – 2) > 0\\\dfrac{S}{2} < 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} – 2{x_1} – 2{x_2} + 4 > 0\\ – m + 1 < 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} – 2({x_1} + {x_2}) + 4 > 0\,\,\,(*)\\m > – 1\end{array} \right.\end{array}$

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = – 2(m – 1)\\{x_1}{x_2} = – (m + 1)\end{array} \right.$ thay vào (*) ta được:

$\begin{array}{l} – (m + 1) – 2.( – 2)(m – 1) + 4 > 0\\ \Leftrightarrow – m – 1 + 4m – 4 + 4 > 0\\ \Leftrightarrow 3m – 1 > 0\,\,\\ \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{3}\end{array}$

Vậy $\left\{ \begin{array}{l} m > – 1\\ m > \dfrac{1}{3} \end{array} \right. \Rightarrow m > \dfrac{1}{3}$

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE