2. Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây

Vì hai dây $MC{\rm{//}}AN$ nên hai cung $AM$ và cung $CN$ bằng nhau, hay $AM = CN$

Suy ra $MCNA$ là hình thang cân $\Rightarrow MN = AC$.

Gọi $H$ là giao của $CD$ và $AB$. Khi đó vì $AB \bot CD$ tại $H$ nên $H$ là trung điểm của $AB \Rightarrow AH = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}$

Xét tam giác vuông $AHO$, theo định lý Pytago ta có $OH = \sqrt {A{O^2} – A{H^2}}  = \dfrac{R}{2}$$\Rightarrow CH = \dfrac{{3R}}{2}$

Theo định lý Pytago cho tam giác $ACH$ vuông ta có $AC = \sqrt {C{H^2} + A{H^2}}  = R\sqrt 3$

Vậy $MN = R\sqrt 3$.

Xét $\left( O \right)$ có $BE$ là đường kính và $A \in \left( O \right)$$\Rightarrow AE \bot AB$ mà $CD \bot AB$$\Rightarrow AE{\rm{//}}CD$

Nên cung $AC$ bằng cung $ED$ hay $AC = ED.$

Xét các tam giác vuông $\Delta IAC$ và $\Delta IBD$ ta có

$I{A^2} + I{C^2} = A{C^2};$

$I{B^2} + I{D^2} = B{D^2}$

$\Rightarrow I{A^2} + I{C^2} + I{B^2} + I{D^2}$

$= A{C^2} + B{D^2}$

$= E{D^2} + B{D^2}$

Mà $\Delta BED$ vuông tại $D$ nên $E{D^2} + B{D^2} = E{B^2} = {\left( {2R} \right)^2} = 4{R^2}$

Vậy $I{A^2} + I{C^2} + I{B^2} + I{D^2} = 4{R^2}$.