4. Bài tập ôn tập chương 8

Gọi $h$  là chiều cao hình nón $\left( {h > 0} \right)$ . Đường sinh của hình nón bằng $l = \sqrt {{h^2} + 4}$

Diện tích toàn phần của hình nón ${S_{tp}} = \pi .2.\sqrt {{h^2} + 4}  + \pi {.2^2} = \pi \left( {2\sqrt {{h^2} + 4}  + 4} \right)\,\,\left( {c{m^2}} \right)$

Vì chiều cao hình nón bằng đường kính hình cầu nên bán kính hình cầu là $\dfrac{h}{2}\,\left( {cm} \right)$

Diện tích mặt cầu là $S = 4\pi .{\left( {\dfrac{h}{2}} \right)^2} = \pi {h^2}$

Theo bài ra ta có

$\pi \left( {2\sqrt {{h^2} + 4}  + 4} \right) = \pi {h^2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\sqrt {{h^2} + 4}  + 4 = {h^2}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {{h^2} + 4}  = {h^2} – 4\,\,\left( {h > 2} \right)\end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4\left( {{h^2} + 4} \right) = {h^4} – 8{h^2} + 16\\ \Leftrightarrow {h^4} – 12{h^2} = 0\end{array}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{h^2} = 0\\{h^2} = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}h = 0\left( L \right)\\h =  – 2\sqrt 3 \left( L \right)\\h = 2\sqrt 3 \,\left( N \right)\end{array} \right.$

Vậy chiều cao hình nón là $2\sqrt 3 \,cm.$