2. Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Đề bài

Câu 1 :

Cho tam giác MNP vuông tại M. Khi đó cos^MNP bằng

  • A.

    MNNP

  • B.

    MPNP

  • C.

    MNMP

  • D.

    MPMN

Câu 2 :

Cho α là góc nhọn bất kỳ. Chọn khẳng định đúng.

  • A.

    sinα+cosα=1

  • B.

    sin2α+cos2α=1

  • C.

    sin3α+cos3α=1

  • D.

    sinαcosα=1

Câu 3 :

Cho α là góc nhọn bất kỳ. Chọn khẳng định sai.

  • A.

    tanα=sinαcosα

  • B.

    cotα=cosαsinα

  • C.

    tanα.cotα=1

  • D.

    tan2α1=cos2α

Câu 4 :

Cho αβ là hai góc nhọn bất kỳ thỏa mãn α+β=90. Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A.

    tanα=sinβ

  • B.

    tanα=cotβ

  • C.

    tanα=cosα

  • D.

    tanα=tanβ

Câu 5 :

Cho tam giác ABC vuông tại  CBC=1,2cm,AC=0,9cm. Tính các tỉ số lượng giác sinB;cosB .

  • A.

    sinB=0,6;cosB=0,8

  • B.

    sinB=0,8;cosB=0,6

  • C.

    sinB=0,4;cosB=0,8

  • D.

    sinB=0,6;cosB=0,4

Câu 6 :

Cho tam giác ABC vuông tại  ABC=8cm,AC=6cm. Tính tỉ số lượng giác tanC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2 ).

  • A.

    tanC0,87

  • B.

    tanC0,86

  • C.

    tanC0,88

  • D.

    tanC0,89

Câu 7 :

Cho tam giác ABC vuông tại  A, đường cao AHAB=13cm,BH=0,5dm Tính tỉ số lượng giác sinC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2 )

  • A.

    sinC0,35

  • B.

    sinC0,37

  • C.

    sinC0,39

  • D.

    sinC0,38

Câu 8 :

Cho tam giác ABC vuông tại  A, đường cao AHCH=4cm,BH=3cm. Tính tỉ số lượng giác cosC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2 )

  • A.

    cosC0,76

  • B.

    cosC0,77

  • C.

    cosC0,75

  • D.

    cosC0,78

Câu 9 :

Cho tam giác ABC vuông tại  A. Hãy tính tanC biết rằng cotB=2.

  • A.

    tanC=14

  • B.

    tanC=4

  • C.

    tanC=2

  • D.

    tanC=12

Câu 10 :

Cho tam giác ABC vuông tại  AAB=5cm,cotC=78 . Tính độ dài các đoạn thẳng ACBC . (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2 )

  • A.

    AC4,39(cm);BC6,66(cm)

  • B.

    AC4,38(cm);BC6,64(cm)

  • C.

    AC4,38(cm);BC6,67(cm)

  • D.

    AC4,37(cm);BC6,67(cm)

Câu 11 :

Cho α là góc nhọn. Tính sinα,cotα biết cosα=25.

  • A.

    sinα=2125;cotα=32121

  • B.

    sinα=215;cotα=521

  • C.

    sinα=213;cotα=321

  • D.

    sinα=215;cotα=221

Câu 12 :

Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh sin20sin70

  • A.

    sin20<sin70

  • B.

    sin20>sin70

  • C.

    sin20=sin70

  • D.

    sin20sin70

Câu 13 :

Sắp xếp các tỉ số lượng giác tan43,cot71,tan38,cot6915,tan28 theo thứ tự tăng dần.

  • A.

    cot71<cot6915<tan28<tan38<tan43

  • B.

    cot6915<cot71<tan28<tan38<tan43

  • C.

    tan28<tan38<tan43<cot6915<cot71

  • D.

    cot6915<tan28<tan38<tan43<cot71

Câu 14 :

Tính giá trị biểu thức A=sin21+sin22++sin288+sin289+sin290

  • A.

    A=46

  • B.

    A=932

  • C.

    A=912

  • D.

    A=45

Câu 15 :

Cho α là góc nhọn bất kỳ. Khi đó C=sin4α+cos4α bằng

  • A.

    C=12sin2α.cos2α

  • B.

    C=1

  • C.

    C=sin2α.cos2α

  • D.

    C=1+2sin2α.cos2α

Câu 16 :

Cho α là góc nhọn bất kỳ. Rút gọn P=(1sin2α).cot2α+1cot2α ta được

  • A.

    P=sin2α

  • B.

    P=cos2α

  • C.

    P=tan2α

  • D.

    P=2sin2α

Câu 17 :

Cho α là góc nhọn bất kỳ. Biểu thức Q=1+sin2α1sin2α bằng

  • A.

    Q=1+tan2α

  • B.

    Q=1+2tan2α

  • C.

    Q=12tan2α

  • D.

    Q=2tan2α

Câu 18 :

Cho tanα=2. Tính giá trị của biểu thức G=2sinα+cosαcosα3sinα

  • A.

    G=1

  • B.

    G=45

  • C.

    G=65

  • D.

    G=1

Câu 19 :

Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao ADBE cắt nhau tại H. Biết HD:HA=1:2. Khi đó tan^ABC.tan^ACB bằng

  • A.

    2

  • B.

    3

  • C.

    1

  • D.

    4

Câu 20 :

Cho α là góc nhọn. Tính cotα biết sinα=513.

  • A.

    cotα=125

  • B.

    cotα=115

  • C.

    cotα=512

  • D.

    cotα=135

Câu 21 :

Tính giá trị biểu thức B=tan1.tan2.tan3..tan88.tan89

  • A.

    B=44

  • B.

    B=1

  • C.

    B=45

  • D.

    B=2

Câu 22 :

Chọn kết luận đúng về giá trị biểu thức B=cos2α3sin2α3sin2α  biết tanα=3.

  • A.

    B>0

  • B.

    B<0          

  • C.

    0<B<1

  • D.

    B=1

Câu 23 :

Cho tam giác ABC cân tại A có  AB=AC=13cm; BC=10cm. Tính sinA.

  • A.

    sinA=120169

  • B.

    sinA=60169

  • C.

    sinA=56

  • D.

    sinA=1013

Câu 24 :

Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD=12cm;DC=15cm;ADC=700.

  • A.

    169,1cm2

  • B.
    129,6cm2
  • C.
    116,5cm2
  • D.
    115,8cm2

Câu 25 :

Tính số đo góc nhọn α biết 10sin2α+6cos2α=8.

  • A.
    α=300.
  • B.
    α=450.

     

  • C.
    α=600.
  • D.
    α=1200.

Câu 26 :

Tính giá trị của các biểu thức sau:

Câu 26.1

A=sin2150+sin2250+sin2350+sin2450+sin2550+sin2650+sin2750 

  • A
    A=0
  • B

    A=72

  • C

    A=72

  • D

    A=52

Câu 26.2

B=tan100.tan800tan200.tan700.

  • A
    B=0
  • B
    B=1
  • C

    B=72

  • D

    B=72

Câu 27 :

Biết 00<α<900. Giá trị bủa biểu thức [sinα+3cos(900α)]:[sinα2cos(900α)] bằng:

  • A.
    4              
  • B.
    4      
  • C.

    32     

  • D.

    32.

Câu 28 :

Cho hai tam giác vuông OABOCD như hình vẽ. Biết OB=CD=a, AB=OD=b. Tính cosAOC theo ab.

  • A.

    2aba2+b2.

  • B.

    b2a2a2+b2.

  • C.
    1.
  • D.

    a2b2a2+b2.

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Cho tam giác MNP vuông tại M. Khi đó cos^MNP bằng

  • A.

    MNNP

  • B.

    MPNP

  • C.

    MNMP

  • D.

    MPMN

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có cos^MNP=MNNP

Câu 2 :

Cho α là góc nhọn bất kỳ. Chọn khẳng định đúng.

  • A.

    sinα+cosα=1

  • B.

    sin2α+cos2α=1

  • C.

    sin3α+cos3α=1

  • D.

    sinαcosα=1

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Cho α là góc nhọn bất kỳ, khi đó sin2α+cos2α=1

Câu 3 :

Cho α là góc nhọn bất kỳ. Chọn khẳng định sai.

  • A.

    tanα=sinαcosα

  • B.

    cotα=cosαsinα

  • C.

    tanα.cotα=1

  • D.

    tan2α1=cos2α

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Cho α là góc nhọn bất kỳ, khi đó

sin2α+cos2α=1;tanα.cotα=1

tanα=sinαcosα;cotα=cosαsinα;

1+tan2α=1cos2α;

1+cot2α=1sin2α.

Câu 4 :

Cho αβ là hai góc nhọn bất kỳ thỏa mãn α+β=90. Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A.

    tanα=sinβ

  • B.

    tanα=cotβ

  • C.

    tanα=cosα

  • D.

    tanα=tanβ

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Với hai góc α,βα+β=900.

Ta có: sinα=cosβ;cosα=sinβ;

tanα=cotβ;cotα=tanβ.

Câu 5 :

Cho tam giác ABC vuông tại  CBC=1,2cm,AC=0,9cm. Tính các tỉ số lượng giác sinB;cosB .

  • A.

    sinB=0,6;cosB=0,8

  • B.

    sinB=0,8;cosB=0,6

  • C.

    sinB=0,4;cosB=0,8

  • D.

    sinB=0,6;cosB=0,4

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Tính cạnh còn lại theo định lý Pytago

Bước 2: Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn

Lời giải chi tiết :

Theo định lý Py-ta-go ta có: AB2=AC2+BC2AB=0,92+1,22=1,5

Xét tam giác ABC vuông tại CsinB=ACAB=0,91,5=35=0,6cosB=BCAB=1,21,5=45=0,8

Câu 6 :

Cho tam giác ABC vuông tại  ABC=8cm,AC=6cm. Tính tỉ số lượng giác tanC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2 ).

  • A.

    tanC0,87

  • B.

    tanC0,86

  • C.

    tanC0,88

  • D.

    tanC0,89

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Tính cạnh còn lại theo định lý Pytago

Bước 2: Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn

Lời giải chi tiết :

Theo định lý Py-ta-go ta có: BC2=AC2+AB2AB=82625,29

Xét tam giác ABC vuông tại CtanC=ABAC5,2960,88.

Câu 7 :

Cho tam giác ABC vuông tại  A, đường cao AHAB=13cm,BH=0,5dm Tính tỉ số lượng giác sinC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2 )

  • A.

    sinC0,35

  • B.

    sinC0,37

  • C.

    sinC0,39

  • D.

    sinC0,38

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1: Tính cạnh cần thiết lại theo định lý Pytago hoặc hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Bước 2: Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn

Lời giải chi tiết :

Đổi 0,5dm=5cm

Xét tam giác ABC vuông tại A,

 theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

AB2=BH.BCBC=AB2BH=1325=33,8cm

sinC=ABBC

=1333,80,38

Câu 8 :

Cho tam giác ABC vuông tại  A, đường cao AHCH=4cm,BH=3cm. Tính tỉ số lượng giác cosC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2 )

  • A.

    cosC0,76

  • B.

    cosC0,77

  • C.

    cosC0,75

  • D.

    cosC0,78

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Tính cạnh cần thiết lại theo định lý Pytago hoặc hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Bước 2: Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác ABC vuông tại ABC=BH+CH=7cm

 theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có AC2=CH.BCAC2=4.7AC5,29cm

cosC=ACBC=5,2970,76.

Câu 9 :

Cho tam giác ABC vuông tại  A. Hãy tính tanC biết rằng cotB=2.

  • A.

    tanC=14

  • B.

    tanC=4

  • C.

    tanC=2

  • D.

    tanC=12

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng nhận xét: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Lời giải chi tiết :

Vì tam giác ABC vuông tại  A nên ˆB+ˆC=90tanC=cotB=2

Câu 10 :

Cho tam giác ABC vuông tại  AAB=5cm,cotC=78 . Tính độ dài các đoạn thẳng ACBC . (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2 )

  • A.

    AC4,39(cm);BC6,66(cm)

  • B.

    AC4,38(cm);BC6,64(cm)

  • C.

    AC4,38(cm);BC6,67(cm)

  • D.

    AC4,37(cm);BC6,67(cm)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng tỉ số lương giác của góc nhọn, định lý Pytago để tính cạnh.

Lời giải chi tiết :

Vì tam giác ABC vuông tại  A nên cotC=ACABAC=AB.cotC=5.78=3584,38cm

Theo định lý Pytago ta có BC2=AB2+AC2=52+(358)2BC6,64

Vậy AC4,38(cm);BC6,64(cm).

Câu 11 :

Cho α là góc nhọn. Tính sinα,cotα biết cosα=25.

  • A.

    sinα=2125;cotα=32121

  • B.

    sinα=215;cotα=521

  • C.

    sinα=213;cotα=321

  • D.

    sinα=215;cotα=221

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng các hệ thức lượng giác thích hợp

+ Nếu α là một góc nhọn bất kỳ  thì

0<sinα<1;0<cosα<1, tanα>0;cotα>0sin2α+cos2α=1; cotα=cosαsinα

Lời giải chi tiết :

Ta có sin2α+cos2α=1sin2α=1cos2α=1425=2125

sinα=215

Lại có cotα=cosαsinα=25215=221.

Vậy sinα=215;cotα=221.

Câu 12 :

Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh sin20sin70

  • A.

    sin20<sin70

  • B.

    sin20>sin70

  • C.

    sin20=sin70

  • D.

    sin20sin70

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng nhận xét : Với góc nhọn α,β, ta có: sinα<sinβα<β

Lời giải chi tiết :

20<70sin20<sin70.

Câu 13 :

Sắp xếp các tỉ số lượng giác tan43,cot71,tan38,cot6915,tan28 theo thứ tự tăng dần.

  • A.

    cot71<cot6915<tan28<tan38<tan43

  • B.

    cot6915<cot71<tan28<tan38<tan43

  • C.

    tan28<tan38<tan43<cot6915<cot71

  • D.

    cot6915<tan28<tan38<tan43<cot71

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1 : Đưa các tỉ số lượng giác về cùng loại (sử dụng tính chất “Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia”)

Bước 2 : Với góc nhọn α,β ta có: tanα<tanβα<β ; cotα<cotβα>β

Lời giải chi tiết :

Ta có cot71=tan1971+19=90cot6915=tan20456915+2045=90

19<2045<28<38<43 nên tan19<tan2045<tan28<tan38<tan43

cot71<cot6915<tan28<tan38<tan43

Câu 14 :

Tính giá trị biểu thức A=sin21+sin22++sin288+sin289+sin290

  • A.

    A=46

  • B.

    A=932

  • C.

    A=912

  • D.

    A=45

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1 : Đưa các tỉ số lượng giác về cùng một góc hoặc cùng loại  (sử dụng tính chất “Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia”)

Bước 2 : Sử dụng đẳng thức lượng giác sin2α+cos2α=1.

Lời giải chi tiết :

Ta có sin289=cos21;sin288=cos22;;sin246=cos244sin2α+cos2α=1

Nên A=(sin21+sin289)+(sin22+sin288)++(sin244+sin246)+sin245+sin290

=(sin21+cos21)+(sin22+cos22)++(sin244+cos244)+sin245+sin290

=1+1++144so1+12+1=44.1+32=912.

Vậy A=912.

Câu 15 :

Cho α là góc nhọn bất kỳ. Khi đó C=sin4α+cos4α bằng

  • A.

    C=12sin2α.cos2α

  • B.

    C=1

  • C.

    C=sin2α.cos2α

  • D.

    C=1+2sin2α.cos2α

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Biến đổi để sử dụng các đẳng thức lượng giác thích hợp.

Lời giải chi tiết :

Ta có C=sin4α+cos4α=sin4α+cos4α+2sin2α.cos2α2sin2α.cos2α

=(sin2α+cos2α)22sin2α.cos2α=12sin2α.cos2α (vì sin2α+cos2α=1)

Vậy C=12sin2α.cos2α.

Câu 16 :

Cho α là góc nhọn bất kỳ. Rút gọn P=(1sin2α).cot2α+1cot2α ta được

  • A.

    P=sin2α

  • B.

    P=cos2α

  • C.

    P=tan2α

  • D.

    P=2sin2α

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Biến đổi để sử dụng các đẳng thức lượng giác thích hợp.

Lời giải chi tiết :

Với cotα=cosαsinα;sin2α+cos2α=1.

A=(1sin2α).cot2α+1cot2α=cot2αsin2α.cot2α+1cot2α

=1sin2α.cos2αsin2α=1cos2α=sin2α

Vậy P=sin2α.

Câu 17 :

Cho α là góc nhọn bất kỳ. Biểu thức Q=1+sin2α1sin2α bằng

  • A.

    Q=1+tan2α

  • B.

    Q=1+2tan2α

  • C.

    Q=12tan2α

  • D.

    Q=2tan2α

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Biến đổi để sử dụng các đẳng thức lượng giác thích hợp.

Lời giải chi tiết :

Với tanα=sinαcosα;cos2α=1sin2α.

Q=1+sin2α1sin2α=1sin2α+2sin2α1sin2α=1sin2α1sin2α+2sin2αcos2α

=1+2.(sinαcosα)2=1+2tan2α

Vậy Q=1+2tan2α.

Câu 18 :

Cho tanα=2. Tính giá trị của biểu thức G=2sinα+cosαcosα3sinα

  • A.

    G=1

  • B.

    G=45

  • C.

    G=65

  • D.

    G=1

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Biến đổi biểu thức đã cho về tỉ số lượng giác cho trước. (sử dụng công thức tanα=sinαcosα)

Lời giải chi tiết :

tanα=2 nên cosα0

Ta có G=2sinα+cosαcosα3sinα=2sinαcosα+cosαcosαcosαcosα3.sinαcosα=2.tanα+113tanα

Thay tanα=2 ta được G=2.2+113.2=55=1.

Vậy G=1.

Câu 19 :

Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao ADBE cắt nhau tại H. Biết HD:HA=1:2. Khi đó tan^ABC.tan^ACB bằng

  • A.

    2

  • B.

    3

  • C.

    1

  • D.

    4

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn và tam giác đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác vuông ABDADC, ta có: tanB=ADBD;tanC=ADCD.

Suy ra tanB.tanC=AD2BD.CD   (1)

Lại có ^HBD=^CAD (cùng phụ với ^ACB) và ^HDB=^ADC=900.

Do đó ΔBDH (g.g), suy ra \dfrac{{DH}}{{DC}} = \dfrac{{BD}}{{AD}}, do đó BD.DC = DH.AD  (2).

Từ (1) và (2) suy ra \tan B.\tan C = \dfrac{{A{D^2}}}{{DH.AD}} = \dfrac{{AD}}{{DH}}  (3).

Theo giả thiết \dfrac{{HD}}{{AH}} = \dfrac{1}{2} suy ra \dfrac{{HD}}{{AH + HD}} = \dfrac{1}{{2 + 1}} hay \dfrac{{HD}}{{AD}} = \dfrac{1}{3}, suy ra AD = 3HD.

Thay vào (3) ta được: \tan B.\tan C = \dfrac{{3HD}}{{DH}} = 3.

Câu 20 :

Cho \alpha là góc nhọn. Tính \cot \alpha biết \sin \alpha  = \dfrac{5}{{13}}.

  • A.

    \cot \alpha  = \dfrac{{12}}{5}

  • B.

    \cot \alpha  = \dfrac{{11}}{5}

  • C.

    \cot \alpha  = \dfrac{5}{{12}}

  • D.

    \cot \alpha  = \dfrac{{13}}{5}

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng các hệ thức lượng giác thích hợp

+ Nếu \alpha là một góc nhọn bất kỳ  thì

0 < \sin \alpha  < 1;0 < \cos \alpha  < 1, \tan \alpha  > 0;\cot \alpha  > 0{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1; \cot \alpha  = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}

Lời giải chi tiết :

Ta có \sin \alpha  = \dfrac{5}{{13}} suy ra {\sin ^2}\alpha  = \dfrac{{25}}{{169}}, mà {\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1, do đó {\cos ^2}\alpha  = 1 – {\sin ^2}\alpha  = 1 – \dfrac{{25}}{{169}} = \dfrac{{144}}{{169}}

Suy ra \cos \alpha  = \dfrac{{12}}{{13}}.

Do đó \cot \alpha  = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \dfrac{{12}}{{13}}:\dfrac{5}{{13}} = \dfrac{{12}}{{13}}.\dfrac{{13}}{5} = \dfrac{{12}}{5}.

Câu 21 :

Tính giá trị biểu thức B = \tan 1^\circ .\tan 2^\circ .\tan 3^\circ …..\tan88^\circ .\tan89^\circ

  • A.

    B = 44

  • B.

    B = 1

  • C.

    B = 45

  • D.

    B = 2

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1 : Đưa các tỉ số lượng giác về cùng một góc hoặc cùng loại (sử dụng tính chất “Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia”)

Bước 2 : Sử dụng đẳng thức lượng giác \tan \alpha .\cot\alpha  = 1.

Lời giải chi tiết :

Ta có \tan 89^\circ  = \cot1^\circ ;\tan 88^\circ  = \cot2^\circ ;..;\tan 46^\circ  = \cot44^\circ \tan \alpha .\cot\alpha  = 1

Nên B = \left( {\tan 1^\circ .\tan 89^\circ } \right).\left( {\tan 2^\circ .\tan 88^\circ } \right)….\left( {\tan 46^\circ .\tan 44^\circ } \right).\tan 45^\circ

= \left( {\tan 1^\circ .\cot 1^\circ } \right).\left( {\tan 2^\circ .\cot 2^\circ } \right).\left( {\tan 3^\circ .\cot 3^\circ } \right)….\left( {\tan 44^\circ .\cot 44^\circ } \right).\tan 45^\circ

= 1.1.1….1.1 = 1

Vậy B = 1.

Câu 22 :

Chọn kết luận đúng về giá trị biểu thức B = \dfrac{{{{\cos }^2}\alpha  – 3{{\sin }^2}\alpha }}{{3 – {{\sin }^2}\alpha }}  biết \tan \alpha  = 3.

  • A.

    B > 0

  • B.

    B < 0          

  • C.

    0 < B < 1

  • D.

    B = 1

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Chia cả tử và mẫu cho {\cos ^2}\alpha rồi sử dung công thức \tan \alpha  = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\,1 + {\tan ^2}\alpha  = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} đề biến đổi và tính toán

Lời giải chi tiết :

\tan \alpha  = 3 \ne 0 \Rightarrow \cos \alpha  \ne 0. Chia cả tử và mẫu của B cho {\cos ^2}\alpha ta được

B = \dfrac{{\dfrac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} – 3\dfrac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}{{\dfrac{3}{{{{\cos }^2}\alpha }} – \dfrac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}}} = \dfrac{{1 – 3{{\tan }^2}\alpha }}{{3.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} – {{\tan }^2}\alpha }}

= \dfrac{{1 – 3{{\tan }^2}\alpha }}{{3\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right) – {{\tan }^2}\alpha }} = \dfrac{{1 – 3{{\tan }^2}\alpha }}{{3 + 2{{\tan }^2}\alpha }}

= \dfrac{{1 – 3.9}}{{3 + 2.9}} =  – \dfrac{{26}}{{21}}

Hay B =  – \dfrac{{26}}{{21}} < 0

Câu 23 :

Cho tam giác ABC cân tại A có  AB = AC = 13cm; BC = 10cm. Tính sinA.

  • A.

    \sin A = \dfrac{{120}}{{169}}

  • B.

    \sin A = \dfrac{{60}}{{169}}

  • C.

    \sin A = \dfrac{5}{6}

  • D.

    \sin A = \dfrac{{10}}{{13}}

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác

Tính chất tam giác cân.

Công thức tính diện tích tam giác

Lời giải chi tiết :

Vì tam giác ABC cân tạiA nên là AE đường cao đồng thời là đường trung tuyến

\Rightarrow E là trung điểm BC \Rightarrow EB = EC = 5

Xét \Delta ABE vuông tại E có:

A{E^2} + E{B^2} = A{B^2} (Định lý Py-ta-go)

A{E^2} + {5^2} = {13^2} \Rightarrow AE = 12

\Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{{AE.BC}}{2} = \dfrac{{12.10}}{2} = 60

Mặt khác: {S_{ABC}} = \dfrac{{AC.BH}}{2} \Leftrightarrow 60 = \dfrac{{13.BH}}{2} \Rightarrow BH = \dfrac{{120}}{{13}}

Xét \Delta ABH vuông tại H có: sinA = \dfrac{{BH}}{{BA}} = \dfrac{{120}}{{13}}:13 = \dfrac{{120}}{{169}}.

Câu 24 :

Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12cm;DC = 15cm;\angle ADC = {70^0}.

  • A.

    169,1c{m^2}

  • B.
    129,6c{m^2}
  • C.
    116,5c{m^2}
  • D.
    115,8c{m^2}

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác

Công thức tính diện tích hình bình hành.

Lời giải chi tiết :

Xét \Delta ADE vuông tại E có:

sinD = \dfrac{{AE}}{{AD}} \Leftrightarrow sin{70^0} = \dfrac{{AE}}{{12}} \Rightarrow AE = 12.sin{70^0}

\Rightarrow {S_{ABCD}} = AE.DC = 12.\sin {70^0}.15 \approx 169,1\,cm^2

Câu 25 :

Tính số đo góc nhọn \alpha biết 10{\sin ^2}\alpha  + 6{\cos ^2}\alpha  = 8.

  • A.
    \alpha  = {30^0}.
  • B.
    \alpha  = {45^0}.

     

  • C.
    \alpha  = {60^0}.
  • D.
    \alpha  = {120^0}.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

– Sử dụng công thức {\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 với mọi \alpha .

– Tính \sin \alpha , từ đo suy ra số đo góc \alpha .

Lời giải chi tiết :

Ta có: 10{\sin ^2}\alpha  + 6{\cos ^2}\alpha  = 8

\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{\sin ^2}\alpha  + 6\left( {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \right) = 8\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^2}\alpha  + 6 = 8\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \alpha  =  \pm \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array}

Do\,\,\alpha  < {90^0} \Rightarrow \sin \alpha  > 0 \Leftrightarrow \sin \alpha  = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.

Vậy \alpha  = {45^0}.

Câu 26 :

Tính giá trị của các biểu thức sau:

Câu 26.1

A = {\sin ^2}{15^0} + {\sin ^2}{25^0} + {\sin ^2}{35^0} + {\sin ^2}{45^0} + {\sin ^2}{55^0} + {\sin ^2}{65^0} + {\sin ^2}{75^0} 

  • A
    A=0
  • B

    A = \dfrac{7}{2}

  • C

    A = -\dfrac{7}{2}

  • D

    A = \dfrac{5}{2}

Đáp án: B

Phương pháp giải :

Sử dụng các công thức đặc biệt: \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha  = \cos \left( {{{90}^0} – \alpha } \right)\\\tan \alpha  = \cot \left( {{{90}^0} – \alpha } \right)\\{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha  = 1\end{array} \right..

Lời giải chi tiết :

\,\,A = {\sin ^2}{15^0} + {\sin ^2}{25^0} + {\sin ^2}{35^0} + {\sin ^2}{45^0} + {\sin ^2}55 + {\sin ^2}{65^0} + {\sin ^2}{75^0} 

Ta có:

\begin{array}{l}A = {\sin ^2}{15^0} + {\sin ^2}{25^0} + {\sin ^2}{35^0} + {\sin ^2}{45^0} + {\sin ^2}55 + {\sin ^2}{65^0} + {\sin ^2}{75^0}\\\,\,\,\,\, = {\sin ^2}{15^0} + {\sin ^2}{25^0} + {\sin ^2}{35^0} + {\sin ^2}{45^0} + {\cos ^2}{35^0} + {\cos ^2}{25^0} + {\cos ^2}{15^0}\\\,\,\,\,\, = \left( {{{\sin }^2}{{15}^0} + {{\cos }^2}{{15}^0}} \right) + \left( {{{\sin }^2}{{25}^0} + {{\cos }^2}25} \right) + \left( {{{\sin }^2}{{35}^0} + {{\cos }^2}{{35}^0}} \right) + {\sin ^2}{45^0}\\\,\,\,\, = 1 + 1 + 1 + {\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 3 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2}.\end{array} 

Câu 26.2

B = \tan {10^0}.\tan {80^0} – \tan {20^0}.\tan {70^0}.

  • A
    B=0
  • B
    B=1
  • C

    B = \dfrac{7}{2}

  • D

    B =- \dfrac{7}{2}

Đáp án: A

Phương pháp giải :

Sử dụng các công thức đặc biệt: \left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha  = \cos \left( {{{90}^0} – \alpha } \right)\\\tan \alpha  = \cot \left( {{{90}^0} – \alpha } \right)\\{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\\tan \alpha .\cot \alpha  = 1\end{array} \right..

Lời giải chi tiết :

\,\,B = \tan {10^0}.\tan {80^0} – \tan {20^0}.\tan {70^0}.

Ta có:

\begin{array}{l}\,B = \tan {10^0}.\tan {80^0} – \tan {20^0}.\tan {70^0}\\\,\,\,\,\, = \tan {10^0}.\cot{10^0} – \tan {20^0}.\cot {20^0}\\\,\,\,\,\, = 1 – 1 = 0.\end{array}

Câu 27 :

Biết {0^0} < \alpha  < {90^0}. Giá trị bủa biểu thức \left[ {\sin \alpha  + 3\,\cos \left( {{{90}^0} – \alpha } \right)} \right]:\left[ {\sin \alpha  – 2\cos \left( {{{90}^0} – \alpha } \right)} \right] bằng:

  • A.
    – 4              
  • B.
    4      
  • C.

    \dfrac{{ – 3}}{2}     

  • D.

    \dfrac{3}{2}.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất: \sin \alpha  = \cos \left( {{{90}^0} – \alpha } \right);\,\,\,\,\cos \alpha  = \sin \left( {{{90}^0} – \alpha } \right).

Lời giải chi tiết :

\begin{array}{l}\left[ {\sin \alpha  + 3\,\cos \left( {{{90}^0} – \alpha } \right)} \right]:\left[ {\sin \alpha  – 2\cos \left( {{{90}^0} – \alpha } \right)} \right] \\= \left( {\sin \alpha  + 3\sin \alpha } \right):\left( {\sin \alpha  – 2\sin \alpha } \right)\\ = \left( {4\sin \alpha } \right):\left( { – \sin \alpha } \right) \\=  – 4.\end{array}

Câu 28 :

Cho hai tam giác vuông OABOCD như hình vẽ. Biết OB = CD = a, AB = OD = b. Tính \cos \angle AOC theo ab.

  • A.

    \dfrac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}}.

  • B.

    \dfrac{{{b^2} – {a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.

  • C.
    1.
  • D.

    \dfrac{{{a^2} – {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tách \angle AOC = \angle AOB – \angle COD. Áp dụng công thức cộng lượng giác và Pitago để tính \cos \angle AOC

Lời giải chi tiết :

Xét \Delta OAB\Delta COD có:

\begin{array}{l}\angle OBA = \angle CDO = {90^o}\,\,\,\,\left( {gt} \right)\\OB = CD\,\,\,\left( {gt} \right)\\AB = OD\,\,\,\,\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta OAB = \Delta COD\,\,\,\left( {c – g – c} \right)\end{array}

\Rightarrow OA = OC (2 cạnh tương ứng)

\Rightarrow OA.OC = O{A^2} = O{B^2} + A{B^2} = {a^2} + {b^2} (Định lý Pytago)

\begin{array}{l}\cos \angle AOC = \cos \left( {\angle AOB – \angle COD} \right) = \cos \angle AOB\cos \angle COD + \sin \angle AOB\sin \angle COD\\ = \dfrac{{OB}}{{OA}}.\dfrac{{OD}}{{OC}} + \dfrac{{AB}}{{OA}}.\dfrac{{CD}}{{OC}} = \dfrac{{OB.OD + AB.CD}}{{OA.OC}} = \dfrac{{ab + ab}}{{{a^2} + {b^2}}} = \dfrac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}}.\end{array}

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE