2. Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Ta có ${\sin ^2}89^\circ  = {\cos ^2}1^\circ ;{\sin ^2}88^\circ  = {\cos ^2}2^\circ ;…;{\sin ^2}46^\circ  = {\cos ^2}44^\circ $ và ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$

Nên $A = \left( {{{\sin }^2}1^\circ  + {{\sin }^2}89^\circ } \right) + \left( {{{\sin }^2}2^\circ  + {{\sin }^2}88^\circ } \right) + … + \left( {{{\sin }^2}44^\circ  + {{\sin }^2}46^\circ } \right) + {\sin ^2}45^\circ  + {\sin ^2}90^\circ $

$ = \left( {{{\sin }^2}1^\circ  + {{\cos }^2}1^\circ } \right) + \left( {{{\sin }^2}2^\circ  + {{\cos }^2}2^\circ } \right) + … + \left( {{{\sin }^2}44^\circ  + {{\cos }^2}44^\circ } \right) + {\sin ^2}45^\circ  + {\sin ^2}90^\circ $

$ = \underbrace {1 + 1 + … + 1}_{44\,\,so\,1} + \dfrac{1}{2} + 1$$ = 44.1 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{{91}}{2}$.

Vậy $A = \dfrac{{91}}{2}.$

Vì $\tan \alpha  = 2$ nên $\cos \alpha  \ne 0$

Ta có $G = \dfrac{{2\sin \alpha  + \cos \alpha }}{{\cos \alpha  – 3\sin \alpha }}$$ = \dfrac{{2\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \dfrac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\dfrac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} – 3.\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}$$ = \dfrac{{2.\tan \alpha  + 1}}{{1 – 3\tan \alpha }}$

Thay $\tan \alpha  = 2$ ta được $G = \dfrac{{2.2 + 1}}{{1 – 3.2}} =  – \dfrac{5}{5}=-1$.

Vậy $G =  – 1$.