9. Bài 9: Độ dài đường tròn, cung tròn

Đề bài

Câu 1 :

Số đo $n^\circ$ của cung tròn có độ dài $30,8\,cm$ trên đường tròn có bán kính $22\,cm$ là ( lấy $\pi \simeq 3,14$ và làm tròn đến độ)

A.

$70^\circ$
B.

$80^\circ$
C.

$65^\circ$
D.

$85^\circ$

Câu 2 :

Tính độ dài cung $30^\circ$ của một đường tròn có bán kính $4\,dm$

A.

$\dfrac{{4\pi }}{3}(dm)$
B.

$\dfrac{\pi }{3}(dm)$
C.

$\dfrac{\pi }{6}(dm)$
D.

$\dfrac{{2\pi }}{3}(dm)$

Câu 3 :

Chu vi đường tròn bán kính $R = 9$ là

A.

$18\pi$
B.

$9\pi$
C.

$12\pi$
D.

$27\pi$

Câu 4 :

Biêt chu vi đường tròn là $C = 36\pi (cm)$ . Tính đường kính của đường tròn.

A.

$18(cm)$
B.

$14(cm)$
C.

$36(cm)$
D.

$20 (cm)$

Câu 5 :

Cho ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng sao cho $B$ nằm giữa $A$ và $C$ . Chọn khẳng định nào sau đây đúng?

A.

Độ dài nửa đường tròn đường kính $AC$ bằng hiệu các độ dài của hai nửa đường tròn đường kính $AB$ và $BC$
B.

Độ dài nửa đường tròn đường kính $AC$ bằng tổng các độ dài của hai nửa đường tròn đường kính $AB$ và $BC$ .
C.

Độ dài nửa đường tròn đường kính $BC$ bằng tổng các độ dài của hai nửa đường tròn đường kính $AB$ và $AC$
D.

Độ dài nửa đường tròn đường kính $AB$ bằng tổng các độ dài của hai nửa đường tròn đường kính $AC$ và $BC$

Câu 6 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , cạnh $AB = 5\,\,cm$ , $\widehat B = {60^ \circ }$ . Đường tròn tâm $I$ , đường kính $AB$ cắt $BC$ ở $D$ . Chọn khẳng định sai?

A.

Độ dài cung nhỏ $BD$ của $\left( I \right)$ là $\dfrac{\pi }{6}\,\,\left( {cm} \right)$
B.

$AD \bot BC$
C.

$D$ thuộc đường tròn đường kính $AC$
D.

Độ dài cung nhỏ $BD$ của $\left( I \right)$ là $\dfrac{{5\pi }}{6}\,\,\left( {cm} \right)$

Câu 7 :

Cho tam giác $ABC$ có $AB = AC = 3\,\,cm,\,\,\widehat {\rm{A}} = {120^o}.$ Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ .

A.

$12\pi$
B.

$9\pi$
C.

$6\pi$
D.

$3\pi$

Câu 8 :

u vi đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh $a\,\left( {cm} \right)$ là

A.

$\dfrac{{4\pi a\sqrt 3 }}{3} (cm)$
B.

$\dfrac{{2\pi a\sqrt 3 }}{3} (cm)$
C.

$\dfrac{{\pi a\sqrt 3 }}{3} (cm)$
D.

$\dfrac{{5\pi a\sqrt 3 }}{3}(cm)$

Câu 9 :

Cho đường tròn $\left( O \right)$ bán kính $OA$ . Từ trung điểm $M$ của $OA$ vẽ dây $BC \bot OA.$ Biết độ dài đường tròn $\left( O \right)$ là $4\pi \,(cm).$ Độ dài cung lớn $BC$ là

A.

$\dfrac{{4\pi }}{3}$
B.

$\dfrac{{5\pi }}{3}$
C.

$\dfrac{{7\pi }}{3}$
D.

$\dfrac{{8\pi }}{3}$

Câu 10 :

Cho đường tròn $(O; R)$ với dây cung $BC$ cố định. Điểm $A$ thuộc cung lớn $BC$ . Đường phân giác của góc $\widehat {BAC}$ cắt đường tròn $(O$ ) tại $D$ . Các tiếp tuyến của đường tròn $(O; R)$ tại $C$ và $D$ cắt nhau tại $E$ . Tia $CD$ cắt $AB$ tại $K$ , đường thẳng $AD$ cắt $CE$ tại $I.$

Câu 10.1

Chọn khẳng định sai.

A

$BC{\rm{//}}DE$
B

$AKIC$ là tứ giác nội tiếp
C

$AKIC$ không là tứ giác nội tiếp
D

$OD \bot BC$

Câu 10.2

Cho $BC = R\sqrt 3 .$ Tính theo $R$ độ dài cung nhỏ $BC$ của đường tròn (O; R).

A

$\dfrac{{2\pi R}}{3}$
B

$\dfrac{{5\pi R}}{3}$
C

$\dfrac{{7\pi R}}{3}$
D

$\dfrac{{4\pi R}}{3}$

Câu 11 :

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Kẻ đường kính AD cắt BC tại H. Gọi M là một điểm trên cung nhỏ AC. Hạ $BK \bot AM$ tại K. Đường thẳng BK cắt CM tại E. Tia BE cắt đường tròn (O; R) tại N (N khác B).

Câu 11.1

Chọn câu đúng. Tam giác MBE

A

Cân tại $M$
B

Vuông tại $M$
C

Cân tại B
D

Tam giác đều

Câu 11.2

Tính độ dài cung nhỏ MN theo R.

A

$\pi R$
B

$\dfrac{{\pi R}}{2}$
C

$\dfrac{{\pi R}}{3}$
D

$\dfrac{{\pi R}}{4}$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Số đo $n^\circ$ của cung tròn có độ dài $30,8\,cm$ trên đường tròn có bán kính $22\,cm$ là ( lấy $\pi \simeq 3,14$ và làm tròn đến độ)

A.

$70^\circ$
B.

$80^\circ$
C.

$65^\circ$
D.

$85^\circ$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính độ dài cung tròn:

Trên đường tròn bán kính $R$ , độ dài $l$ của một cung $n^\circ$ được tính theo công thức $l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}\,$ .

Lời giải chi tiết :

Độ dài cung tròn $l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}\, \Leftrightarrow \dfrac{{\pi .22.n}}{{180}} = 30,8 \Rightarrow n \approx 80^\circ$ .

Câu 2 :

Tính độ dài cung $30^\circ$ của một đường tròn có bán kính $4\,dm$

A.

$\dfrac{{4\pi }}{3}(dm)$
B.

$\dfrac{\pi }{3}(dm)$
C.

$\dfrac{\pi }{6}(dm)$
D.

$\dfrac{{2\pi }}{3}(dm)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính độ dài cung tròn:

Trên đường tròn bán kính $R$ , độ dài $l$ của một cung $n^\circ$ được tính theo công thức $l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}\,$ .

Lời giải chi tiết :

Độ dài cung tròn $l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}\, = \dfrac{{\pi .4.30}}{{180}} = \dfrac{{2\pi }}{3} (dm)$ .

Câu 3 :

Chu vi đường tròn bán kính $R = 9$ là

A.

$18\pi$
B.

$9\pi$
C.

$12\pi$
D.

$27\pi$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức chu vi đường tròn bán kính $R$ là $C = 2\pi R\,$

Lời giải chi tiết :

Chu vi $C = 2\pi R = 2\pi .9 = 18\pi$ .

Câu 4 :

Biêt chu vi đường tròn là $C = 36\pi (cm)$ . Tính đường kính của đường tròn.

A.

$18(cm)$
B.

$14(cm)$
C.

$36(cm)$
D.

$20 (cm)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức chu vi đường tròn đường kính $d = 2R$ là $C = \pi d\,$

Lời giải chi tiết :

Chu vi $C = \pi d = 36\pi \Rightarrow d = 36$ . Vậy đường kính cần tìm là $36(cm)$ .

Câu 5 :

Cho ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng sao cho $B$ nằm giữa $A$ và $C$ . Chọn khẳng định nào sau đây đúng?

A.

Độ dài nửa đường tròn đường kính $AC$ bằng hiệu các độ dài của hai nửa đường tròn đường kính $AB$ và $BC$
B.

Độ dài nửa đường tròn đường kính $AC$ bằng tổng các độ dài của hai nửa đường tròn đường kính $AB$ và $BC$ .
C.

Độ dài nửa đường tròn đường kính $BC$ bằng tổng các độ dài của hai nửa đường tròn đường kính $AB$ và $AC$
D.

Độ dài nửa đường tròn đường kính $AB$ bằng tổng các độ dài của hai nửa đường tròn đường kính $AC$ và $BC$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính độ dài nửa đường tròn bán kính $R$ (nửa chu vi đường tròn):

$l = \pi R$ .

Lời giải chi tiết :

Độ dài nửa đường tròn đường kính $AC$ là ${l_1} = \pi .\dfrac{{AC}}{2}$ .

Độ dài nửa đường tròn đường kính $AB$ là ${l_1} = \pi .\dfrac{{AB}}{2}$ .

Độ dài nửa đường tròn đường kính $BC$ là ${l_1} = \pi .\dfrac{{BC}}{2}$ .

Mà ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng sao cho $B$ nằm giữa $A$ và $C$ nên $AB + BC = AC$

Do đó ${l_1} = \pi .\dfrac{{AC}}{2} = \pi \left( {\dfrac{{AB}}{2} + \dfrac{{BC}}{2}} \right) = \pi .\dfrac{{AB}}{2} + \pi .\dfrac{{BC}}{2} = {l_2} + {l_3}$

Vậy độ dài nửa đường tròn đường kính $AC$ bằng tổng các độ dài của hai nửa đường tròn đường kính $AB$ và $BC$ .

Câu 6 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , cạnh $AB = 5\,\,cm$ , $\widehat B = {60^ \circ }$ . Đường tròn tâm $I$ , đường kính $AB$ cắt $BC$ ở $D$ . Chọn khẳng định sai?

A.

Độ dài cung nhỏ $BD$ của $\left( I \right)$ là $\dfrac{\pi }{6}\,\,\left( {cm} \right)$
B.

$AD \bot BC$
C.

$D$ thuộc đường tròn đường kính $AC$
D.

Độ dài cung nhỏ $BD$ của $\left( I \right)$ là $\dfrac{{5\pi }}{6}\,\,\left( {cm} \right)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Sử dụng góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng $90^\circ$

+ Sử dụng công thức tính độ dài cung tròn:

Trên đường tròn bán kính $R$ , độ dài $l$ của một cung $n^\circ$ được tính theo công thức $l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}\,$ .

Lời giải chi tiết :

+ Xét đường tròn $\left( I \right)$ đường kính $AB$ có $\widehat {ADB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên $AD \bot BC \Rightarrow$ phương án B đúng.

+) Gọi $K$ là trung điểm của $AC \Rightarrow KA = KC = KD \Rightarrow K$ đường tròn đường kính $AC \Rightarrow$ phương án C đúng.

+) Ta có $\Delta IBD$ cân tại $I$ có $\widehat B = 60^\circ \Rightarrow \Delta IBD$ đều nên $\widehat {BID} = 60^\circ$

Độ dài cung nhỏ $BD$ của $\left( I \right)$ là $l = \dfrac{{\pi .\dfrac{5}{2}.60}}{{180^\circ }} = \dfrac{{5\pi }}{6}\,\left( {cm} \right) \Rightarrow$ phương án D đúng.

Câu 7 :

Cho tam giác $ABC$ có $AB = AC = 3\,\,cm,\,\,\widehat {\rm{A}} = {120^o}.$ Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ .

A.

$12\pi$
B.

$9\pi$
C.

$6\pi$
D.

$3\pi$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức chu vi đường tròn bán kính $R$ là $C = 2\pi R\,$ .

Lời giải chi tiết :

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ . Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AO$ vừa là đường cao vừa là phân giác của $\widehat {BAC}$

Suy ra $\widehat {CAO} = \dfrac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ$ . Xét tam giác $CAO$ có $OA = OC;\widehat {CAO} = 60^\circ \Rightarrow \Delta CAO$ đều nên $OA = OC = AC = 3\,cm$ .

Nên bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ là $R = 3\,cm$

Chu vi đường tròn $\left( O \right)$ là $C = 2\pi R = 6\pi \,\,\left( {cm} \right)$

Câu 8 :

u vi đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh $a\,\left( {cm} \right)$ là

A.

$\dfrac{{4\pi a\sqrt 3 }}{3} (cm)$
B.

$\dfrac{{2\pi a\sqrt 3 }}{3} (cm)$
C.

$\dfrac{{\pi a\sqrt 3 }}{3} (cm)$
D.

$\dfrac{{5\pi a\sqrt 3 }}{3}(cm)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức chu vi đường tròn bán kính $R$ là $C = 2\pi R\,$

Lời giải chi tiết :

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $BAC$ , suy ra $O$ cũng là trọng tâm của tam giác $ABC$ .

Tia $CO \bot AB$ tại $D$ thì $D$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow OC = \dfrac{2}{3}CD$

Xét tam giác vuông $ADC$ có $AC = a\,;\,\widehat {CAD} = 60^\circ \Rightarrow CD = AC.\sin 60^\circ = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$ $\Rightarrow OC = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$

Nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $R = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow C = 2\pi R = \dfrac{{2\pi a\sqrt 3 }}{3}$ .

Câu 9 :

A.

$\dfrac{{4\pi }}{3}$
B.

$\dfrac{{5\pi }}{3}$
C.

$\dfrac{{7\pi }}{3}$
D.

$\dfrac{{8\pi }}{3}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1: Tìm bán kính của đường tròn dựa vào công thức tính chu vi $C = 2\pi R.$

Bước 2: Sử dụng công thức tính độ dài cung tròn: $l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}.$

Lời giải chi tiết :

Vì độ dài đường tròn là $4\pi$ nên $4\pi = 2\pi .R \Rightarrow R = 2\,cm$ ( $R$ là bán kính đường tròn)

Xét tứ giác $ABOC$ có hai đường chéo $AO \bot BC$ tại $M$ là trung điểm mỗi đường nên tứ giác $ABOC$ là hình thoi.

Suy ra $OB = OC = AB \Rightarrow \Delta ABO$ đều $\Rightarrow \widehat {AOB} = 60^\circ \Rightarrow \widehat {BOC} = 120^\circ$

Suy ra số đo cung lớn $BC$ là $360^\circ – 120^\circ = 240^\circ$

Độ dài cung lớn $BC$ là $l = \dfrac{{\pi .2.240}}{{180}} = \dfrac{{8\pi }}{3}\,\left( {cm} \right).$

Câu 10 :

Câu 10.1

Chọn khẳng định sai.

A

$BC{\rm{//}}DE$
B

$AKIC$ là tứ giác nội tiếp
C

$AKIC$ không là tứ giác nội tiếp
D

$OD \bot BC$

Đáp án: C

Phương pháp giải :

Sử dụng các kiến thức về liên hệ giữa đường kính và dây cung, góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp.

Lời giải chi tiết :

+ Vì $AD$ là tia phân giác $\widehat {BAC} \Rightarrow D$ là điểm chính giữa cung $BC$ .

Nên $OD \bot BC$ $\Rightarrow$ phương án D đúng

+ Mà $DE \bot OD$ ( $DE$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$ ) suy ra $BC{\rm{//}}DE$ $\Rightarrow$ phương án A đúng.

+) Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {DAC} = \widehat {DCI}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung $DC$ )

Mà $\widehat {BAD} = \widehat {DAC}$ ( $AD$ là phân giác) nên $\widehat {KAI} = \widehat {KCI}$ nên tứ giác $KICA$ nội tiếp $\Rightarrow$ phương án B đúng.

Câu 10.2

Cho $BC = R\sqrt 3 .$ Tính theo $R$ độ dài cung nhỏ $BC$ của đường tròn (O; R).

A

$\dfrac{{2\pi R}}{3}$
B

$\dfrac{{5\pi R}}{3}$
C

$\dfrac{{7\pi R}}{3}$
D

$\dfrac{{4\pi R}}{3}$

Đáp án: A

Phương pháp giải :

Bước 1: Tìm số đo cung bằng cách sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bước 2: Sử dụng công thức tính độ dài cung tròn:

Trên đường tròn bán kính $R$ , độ dài $l$ của một cung $n^\circ$ được tính theo công thức $l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}\,$ .

Lời giải chi tiết :

Gọi $OD \cap BC$ tại $H$ thì $H$ là trung điểm $BC$ (do $OD \bot BC$ tại $H$ ) $\Rightarrow HC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}$

Xét tam giác vuông $HOC$ có $\sin \widehat {HOC} = \dfrac{{HC}}{{OC}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {HOC} = 60^\circ \Rightarrow \widehat {BOC} = 120^\circ$

Độ dài cung nhỏ $BC$ là $l = \dfrac{{\pi .R.120}}{{180}} = \dfrac{{2\pi R}}{3}$ $\left( {cm} \right)$ .

Câu 11 :

Câu 11.1

Chọn câu đúng. Tam giác MBE

A

Cân tại $M$
B

Vuông tại $M$
C

Cân tại B
D

Tam giác đều

Đáp án: A

Phương pháp giải :

Chứng minh tam giác $MBE$ có hai góc ở đáy bằng nhau

Sử dụng:

+ Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn

+ Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn

Lời giải chi tiết :

Xét đường tròn $\left( O \right)$ có tam giác $ABC$ đều nên sđ $AB = sd\,AC = sd\,BC = \dfrac{{360^\circ }}{3} = 120^\circ$

$\widehat {AMB}$ là góc nội tiếp chắn cung $AB \Rightarrow \widehat {AMB} = \dfrac{1}{2}sd\,AB = \dfrac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ$

Suy ra $\widehat {KBM} = 90^\circ – \widehat {KMB} = 90^\circ – 60^\circ = 30^\circ$ suy ra $sd\,NM = 2.\widehat {NBM} = 2.30^\circ = 60^\circ$

$\widehat {NBM} = 30^\circ \left( {cmt} \right)$ và $\widehat {BEM} = \dfrac{1}{2}\left( {sd\,BC – sd\,NM} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {120^\circ – 60^\circ } \right) = 30^\circ$ nên tam giác $MBE$ cân tại $M.$

Câu 11.2

Tính độ dài cung nhỏ MN theo R.

A

$\pi R$
B

$\dfrac{{\pi R}}{2}$
C

$\dfrac{{\pi R}}{3}$
D

$\dfrac{{\pi R}}{4}$

Đáp án: C

Phương pháp giải :

Cung tròn có bán kính $R$ và số đo $n^\circ$ thì có độ dài $l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}.$

Lời giải chi tiết :

Độ dài cung $NM$ là $l = \dfrac{{\pi R.60}}{{180}} = \dfrac{{\pi R}}{3}.$

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE