8. Hệ phương trình đối xứng

Đề bài

Câu 1 :

Để hệ phương trình {x+y=Sx.y=P có nghiệm, điều kiện cần và đủ là:

  • A.

    S2P<0. 

  • B.

    S2P0.

  • C.

    S24P<0.

  • D.

    S24P0.

Câu 2 :

Hệ phương trình  {x2+y2=4x+y=2 có nghiệm là (x;y) với x>y . Khi đó tích xy bằng

  • A.

    0

  • B.

    1

  • C.

    2

  • D.

    4

Câu 3 :

Hệ phương trình {x.y+x+y=11x2y+xy2=30

  • A.

    2 nghiệm (2;3)(1;5).

  • B.

    có 2 nghiệm (2;1)(3;5).

  • C.

    1  nghiệm là (5;6). 

  • D.

    có 4 nghiệm (2;3),(3;2),(1;5),(5;1).

Câu 4 :

Hãy chỉ ra các cặp nghiệm khác 0 của hệ phương trình: \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 5x – 2y\\{y^2} = 5y – 2x\end{array} \right.

  • A.

    \left( {3;3} \right). 

  • B.

    \left( {2;2} \right);\left( {3;1} \right);\left( { – 3;6} \right).

  • C.

     \left( {1;1} \right),\left( {2;2} \right),\left( {3;3} \right).

  • D.

    \left( { – 2; – 2} \right),\left( {1; – 2} \right),\left( { – 6;3} \right)

Câu 5 :

Hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + y = 6\\{y^2} + x = 6\end{array} \right. có bao nhiêu nghiệm ?

  • A.

    6. 

  • B.

    4. 

  • C.

    2. 

  • D.

    0. 

Câu 6 :

Hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}x + y + xy = 5\\{x^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.có bao nhiêu nghiệm?

  • A.

    0

  • B.

    1

  • C.

    2

  • D.

    4

Câu 7 :

Biết cặp số \left( {x;y} \right) là nghiệm của hệ \left\{ \begin{array}{l}x + y = m\\{x^2} + {y^2} =  – {m^2} + 6\end{array} \right. . Tìm giá trị của m để P = xy + 2\left( {x + y} \right) đạt giá trị nhỏ nhất.

  • A.

    m =  – 1 

  • B.

    m =  – 2 

  • C.

    m = 1 

  • D.

    m = 0 

Câu 8 :

Biết hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 19\\\left( {x + y} \right)\left( {8 + xy} \right) = 2\end{array} \right. có hai nghiệm \left( {{x_1};{y_1}} \right);\left( {{x_2};{y_2}} \right) . Tổng {x_1} + {x_2} bằng

  • A.

    – 1

  • B.

    2 

  • C.

    1 

  • D.

    0 

Câu 9 :

Hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}{x^3} – 8x = {y^3} + 2y\\{x^2} – 3 = 3\left( {{y^2} + 1} \right)\end{array} \right. có bao nhiêu nghiệm?

  • A.

    3 

  • B.

    5 

  • C.

    4 

  • D.

    6 

Câu 10 :

Cho hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}x + y = 4\\{x^2} + {y^2} = {m^2}\end{array} \right. . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

  • A.

    Hệ phương trình có nghiệm với mọi m.

  • B.

    Hệ phương trình có nghiệm \Leftrightarrow \left| m \right| \ge \sqrt 8 .

  • C.

    Hệ phương trình có nghiệm \Leftrightarrow m \ge \sqrt 8

  • D.

    Hệ phương trình luôn vô nghiệm.

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Để hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}x + y = S\\x.y = P\end{array} \right. có nghiệm, điều kiện cần và đủ là:

  • A.

    {S^2}-P < 0. 

  • B.

    {S^2}-P \ge 0.

  • C.

    {S^2}-4P < 0.

  • D.

    {S^2}-4P \ge 0.

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Hệ phương trình đối xứng loại 1 với cách đặt  \left\{ \begin{array}{l}S = x + y\\P = x.y\end{array} \right. điều kiện {S^2} \ge 4P \Leftrightarrow {S^2} – 4P \ge 0.

Câu 2 :

Hệ phương trình  \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 4\\x + y = 2\end{array} \right. có nghiệm là \left( {x;y} \right) với x > y . Khi đó tích xy bằng

  • A.

    0

  • B.

    1

  • C.

    2

  • D.

    4

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Thêm bớt phương trình đầu để xuất hiện tổng x + y và tích xy

+ Sử dụng phương pháp thế

Lời giải chi tiết :

Ta có \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 4\\x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2xy – 2xy = 4\\x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} – 2xy = 4\\x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\xy = 0\end{array} \right.

Từ xy = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 2\\y = 0 \Rightarrow x = 2\end{array} \right.

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm \left( {x;y} \right) = \left( {0;2} \right);\left( {x;y} \right) = \left( {2;0} \right)

Từ giả thiết x > y nên x = 2;y = 0 \Rightarrow xy = 0

Câu 3 :

Hệ phương trình \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x.y + x + y = 11}\\{{x^2}y + x{y^2} = 30}\end{array}} \right.

  • A.

    2 nghiệm \left( {2;3} \right)\left( {1;5} \right).

  • B.

    có 2 nghiệm \left( {2;1} \right)\left( {3;5} \right).

  • C.

    1  nghiệm là \left( {5;6} \right). 

  • D.

    có 4 nghiệm \left( {2;3} \right),\left( {3;2} \right),\left( {1;5} \right),\left( {5;1} \right).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Đặt S = x + y;P = xy ta được hệ phương trình ẩn S,P

+ Sử dụng phương pháp thế để tìm S,P . Kiểm tra điều kiện {S^2} \ge 4P sau đó thay trở lại cách đặt để tìm x;y

Lời giải chi tiết :

Ta có \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x.y + x + y = 11}\\{{x^2}y + x{y^2} = 30}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy + x + y = 11\\xy\left( {x + y} \right) = 30\end{array} \right.

Đặt S = x + y;P = xy\,\left( {{S^2} \ge 4P} \right) ta có hệ \left\{ \begin{array}{l}S + P = 11\\S.P = 30\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = 11 – P\\\left( {11 – P} \right).P = 30\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.

 

Xét phương trình \left( 1 \right):

 \,11P – {P^2} – 30 = 0 \Leftrightarrow {P^2} – 11P + 30 = 0 \Leftrightarrow \left( {P – 5} \right)\left( {P – 6} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}P = 5 \Rightarrow S = 6\\P = 6 \Rightarrow S = 5\end{array} \right. ( tm {S^2} \ge 4P)

Với P = 5;S = 6 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 5\\x + y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 6 – x\\x\left( {6 – x} \right) – 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 6 – x\\{x^2} – 6x + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 1\end{array} \right.\end{array} \right.

Với P = 6;S = 5 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 6\\x + y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 5 – x\\x\left( {5 – x} \right) – 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 5 – x\\{x^2} – 5x + 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\end{array} \right.

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm \left( {2;3} \right),\left( {3;2} \right),\left( {1;5} \right),\left( {5;1} \right).

Câu 4 :

Hãy chỉ ra các cặp nghiệm khác 0 của hệ phương trình: \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 5x – 2y\\{y^2} = 5y – 2x\end{array} \right.

  • A.

    \left( {3;3} \right). 

  • B.

    \left( {2;2} \right);\left( {3;1} \right);\left( { – 3;6} \right).

  • C.

     \left( {1;1} \right),\left( {2;2} \right),\left( {3;3} \right).

  • D.

    \left( { – 2; – 2} \right),\left( {1; – 2} \right),\left( { – 6;3} \right)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Giải hệ phương trình đối xứng loại 2.

+ Thực hiện phép trừ vế với vế của hai phương trình ta thu được phương trình tích.

+ Giải phương trình thu được sau đó kết hợp với phương trình còn lại ta tìm được x;y

Lời giải chi tiết :

Trừ vế với vế của hai phương trình ta được {x^2} – {y^2} = 5x – 2y – \left( {5y – 2x} \right) \Leftrightarrow {x^2} – {y^2} = 7\left( {x – y} \right)

\Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {x + y} \right) – 7\left( {x – y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {x + y – 7} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\x = 7 – y\end{array} \right.

+Với x = y ta có hệ \left\{ \begin{array}{l}x = y\\{x^2} = 5x – 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\{x^2} – 3x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 0\\x = y = 3\end{array} \right.

+Với x = 7 – y ta có hệ \left\{ \begin{array}{l}x = 7 – y\\{y^2} = 5y – 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7 – y\\{y^2} = 5y – 2\left( {7 – y} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7 – y\\{y^2} – 7y + 14 = 0\end{array} \right. (*)

{y^2} – 7y + 14 = {\left( {y – \dfrac{7}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} > 0 nên hệ (*) vô nghiệm.

Vậy nghiệm khác 0 của hệ là \left( {3;3} \right) .

Câu 5 :

Hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + y = 6\\{y^2} + x = 6\end{array} \right. có bao nhiêu nghiệm ?

  • A.

    6. 

  • B.

    4. 

  • C.

    2. 

  • D.

    0. 

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Giải hệ phương trình đối xứng loại 2.

+ Thực hiện phép trừ vế với vế của hai phương trình ta thu được phương trình tích.

+ Giải phương trình thu được sau đó kết hợp với phương trình còn lại ta tìm được x;y

Lời giải chi tiết :

Trừ vế với vế của hai phương trình ta được

{x^2} – {y^2} + y – x = 0 \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {x + y} \right) – \left( {x – y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {x + y – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\x = 1 – y\end{array} \right.

Với x = y ta có hệ \left\{ \begin{array}{l}x = y\\{x^2} + x – 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\\left( {x – 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 2\\x = y =  – 3\end{array} \right.

Với x = 1 – y ta có hệ \left\{ \begin{array}{l}x = 1 – y\\{y^2} + 1 – y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 – y\\{y^2} – y – 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 – y\\{\left( {y – \dfrac{1}{2}} \right)^2} – \dfrac{{21}}{4} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 – y\\{\left( {y – \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{21}}{4}\end{array} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 – y\\\left[ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt {21}  + 1}}{2}\\y = \dfrac{{1 – \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt {21}  + 1}}{2}\\x = \dfrac{{1 – \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{1 – \sqrt {21} }}{2}\\x = \dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm \left( {2;2} \right);\left( { – 3; – 3} \right);\left( {\dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2};\dfrac{{1 – \sqrt {21} }}{2}} \right);\left( {\dfrac{{1 – \sqrt {21} }}{2};\dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2}} \right)

Câu 6 :

Hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}x + y + xy = 5\\{x^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.có bao nhiêu nghiệm?

  • A.

    0

  • B.

    1

  • C.

    2

  • D.

    4

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Thêm bớt phương trình dưới để xuất hiện tổng x + y và tích xy

+ Đặt S = x + y;P = xy ta được hệ phương trình ẩn S,P

+ Sử dụng phương pháp thế để tìm S,P . Kiểm tra điều kiện {S^2} \ge 4P sau đó thay trở lại cách đặt để tìm x;y

Lời giải chi tiết :

+ Ta có \left\{ \begin{array}{l}x + y + xy = 5\\{\left( {x + y} \right)^2} – 2xy = 5\end{array} \right.

+ Đặt S = x + y;P = xy ta được hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}S + P = 5\\{S^2} – 2P = 5\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = 5 – S\\{S^2} – 2\left( {5 – S} \right) = 5\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = 5 – S\\{S^2} + 2S – 15 = 0\end{array} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = 5 – S\\\left[ \begin{array}{l}S = 3\\S =  – 5\end{array} \right.\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}S = 3\\P = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}S =  – 5\\P = 10\end{array} \right.\end{array} \right.  mà {S^2} \ge 4P nên S = 3;P = 2

+ Khi đó \left\{ \begin{array}{l}xy = 2\\x + y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 – x\\x\left( {3 – x} \right) – 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 – x\\{x^2} – 3x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1;y = 2\\x = 2;y = 1\end{array} \right.

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm.

Câu 7 :

Biết cặp số \left( {x;y} \right) là nghiệm của hệ \left\{ \begin{array}{l}x + y = m\\{x^2} + {y^2} =  – {m^2} + 6\end{array} \right. . Tìm giá trị của m để P = xy + 2\left( {x + y} \right) đạt giá trị nhỏ nhất.

  • A.

    m =  – 1 

  • B.

    m =  – 2 

  • C.

    m = 1 

  • D.

    m = 0 

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Biến đổi phương trình để xuất hiện tổng S = x + y và tích P = xy

+ Sử dụng điều kiện có nghiệm của hệ đối xứng loại 1 : {S^2} – 4P \ge 0 để tìm điều kiện của m

+ Thay tổng x + y và tích xy  vào P sau đó đánh giá P theo m .

Lời giải chi tiết :

+ Ta có \left\{ \begin{array}{l}x + y = m\\{x^2} + {y^2} =  – {m^2} + 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = m\\{\left( {x + y} \right)^2} – 2xy =  – {m^2} + 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = m\\{m^2} – 2xy =  – {m^2} + 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = m\\xy = {m^2} – 3\end{array} \right.

Điều kiện để hệ trên có nghiệm là {m^2} – 4\left( {{m^2} – 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 12 – 3{m^2} \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} – 4 \le 0 \Leftrightarrow  – 2 \le m \le 2

Khi đó thay x + y = m;xy = {m^2} – 3 vào P ta được P = {m^2} – 3 + 2m = {\left( {m + 1} \right)^2} – 4 \ge  – 4

Dấu ‘=’ xảy ra khi m + 1 = 0 \Leftrightarrow m =  – 1 (thỏa mãn)

Vậy {P_{\min }} =  – 4 \Leftrightarrow m =  – 1

Câu 8 :

Biết hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 19\\\left( {x + y} \right)\left( {8 + xy} \right) = 2\end{array} \right. có hai nghiệm \left( {{x_1};{y_1}} \right);\left( {{x_2};{y_2}} \right) . Tổng {x_1} + {x_2} bằng

  • A.

    – 1

  • B.

    2 

  • C.

    1 

  • D.

    0 

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Sử dụng hằng đẳng thức biến đổi phương trình đầu tiên sao cho xuất hiện x + yxy

 + Đặt S = x + y;P = xy ta được hệ phương trình ẩn S,P

+ Sử dụng phương pháp thế để tìm S,P . Kiểm tra điều kiện {S^2} \ge 4P sau đó thay trở lại cách đặt để tìm x;y

+ x;y là nghiệm của phương trình {X^2} – SX + P = 0 .

Lời giải chi tiết :

+ Ta có  \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 19\\\left( {x + y} \right)\left( {8 + xy} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} – xy + {y^2}} \right) = 19\\\left( {x + y} \right)\left( {8 + xy} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} – 3xy} \right] = 19\\\left( {x + y} \right)\left( {8 + xy} \right) = 2\end{array} \right.

+ Đặt  \left\{ \begin{array}{l}S = x + y\\P = x.y\end{array} \right. điều kiện {S^2} \ge 4P hệ phương trình đã cho trở thành:

     \left\{ \begin{array}{l}S\left( {{S^2} – 3P} \right) = 19\\S\left( {8 + P} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}SP = 2 – 8S\\{S^3} – 3\left( {2 – 8S} \right) = 19\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}SP = 2 – 8S\\{S^3} + 24S – 25 = 0\end{array} \right.

  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}SP = 2 – 8S\\\left( {S – 1} \right)\left( {{S^2} + S + 25} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = 1\\P =  – 6\end{array} \right.(thỏa mãn)

+ Suy ra x,y là hai nghiệm của phương trình: {X^2} – X – 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {X – 3} \right)\left( {X + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow {X_1} = 3;{X_2} =  – 2

Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm \left( {x;y} \right) = \left( { – 2;3} \right),\left( {x;y} \right) = \left( {3; – 2} \right)

Từ đó {x_1} =  – 2;{x_2} = 3 \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 1

Câu 9 :

Hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}{x^3} – 8x = {y^3} + 2y\\{x^2} – 3 = 3\left( {{y^2} + 1} \right)\end{array} \right. có bao nhiêu nghiệm?

  • A.

    3 

  • B.

    5 

  • C.

    4 

  • D.

    6 

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng cách giải của hệ phương trình có yếu tố đẳng cấp:

+ Đặt y = tx sau đó biến đổi ta có phương trình ẩn t

+ Giải phương trình ta tìm được t, từ đó ta tìm được x;y .

Lời giải chi tiết :

Ta có \left\{ \begin{array}{l}{x^3} – 8x = {y^3} + 2y\\{x^2} – 3 = 3\left( {{y^2} + 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} – {y^3} = 8x + 2y\\{x^2} – 3{y^2} = 6\end{array} \right.

Vì thay x = 0 vào hệ ta được \left\{ \begin{array}{l}0 – {y^3} = 0 + 2y\\0 – 3{y^2} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} =  – 2\\ – {y^3} = 2y\end{array} \right. (vô lý) nên x = 0 không là nghiệm của hệ .

Đặt y = tx,  Khi đó ta có

\left\{ \begin{array}{l}{x^3} – 8x = {t^3}{x^3} + 2tx\\{x^2} – 3 = 3\left( {{t^2}{x^2} + 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2}\left( {1 – {t^3}} \right) = 2t + 8\\{x^2}\left( {1 – 3{t^2}} \right) = 6\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{1 – {t^3}}}{{1 – 3{t^2}}} = \dfrac{{t + 4}}{3}

\Leftrightarrow 3\left( {1 – {t^3}} \right) = \left( {t + 4} \right)\left( {1 – 3{t^2}} \right) \Leftrightarrow 12{t^2} – t – 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{1}{3}\\t =  – \dfrac{1}{4}\end{array} \right.

* t = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2}\left( {1 – 3{t^2}} \right) = 6\\y = \dfrac{x}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 9\\y = \dfrac{x}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  \pm 3\\y =  \pm 1\end{array} \right..

* t =  – \dfrac{1}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{ – x}}{4}\\{x^2}\left( {1 – 3{t^2}} \right) = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  \pm \dfrac{{4\sqrt {78} }}{{13}}\\y =  \mp \dfrac{{\sqrt {78} }}{{13}}\end{array} \right..

Suy ra hệ phương trình có các cặp nghiệm: (x;y) = \left( {3,\,1} \right);\,\left( { – 3,\, – 1} \right);\left( {\dfrac{{4\sqrt {78} }}{{13}},\,\dfrac{{\sqrt {78} }}{{13}}} \right);\,\left( { – \dfrac{{4\sqrt {78} }}{{13}},\, – \dfrac{{\sqrt {78} }}{{13}}} \right)

Câu 10 :

Cho hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}x + y = 4\\{x^2} + {y^2} = {m^2}\end{array} \right. . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

  • A.

    Hệ phương trình có nghiệm với mọi m.

  • B.

    Hệ phương trình có nghiệm \Leftrightarrow \left| m \right| \ge \sqrt 8 .

  • C.

    Hệ phương trình có nghiệm \Leftrightarrow m \ge \sqrt 8

  • D.

    Hệ phương trình luôn vô nghiệm.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Biến đổi hệ để xuất hiện tổng S = x + y;P = xy  đưa về hệ đối xứng loại 1

+ Sử dụng điều kiện {S^2} – 4P \ge 0 để tìm điều kiện của m .

Lời giải chi tiết :

Ta có : \left\{ \begin{array}{l}x + y = 4\\{x^2} + {y^2} = {m^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 4\\{\left( {x + y} \right)^2} – 2xy = {m^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 4\\xy = \dfrac{{16 – {m^2}}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = 4\\P = \dfrac{{16 – {m^2}}}{2}\end{array} \right.

\Rightarrow {S^2} – 4P = 16 – 2\left( {16 – {m^2}} \right) = 2{m^2} – 16 \ge 0 \Leftrightarrow \left| m \right| \ge \sqrt 8 .

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE