2. Bài 3,4: Phương trình bậc hai một ẩn và công thức nghiệm

Phương trình (1) có hai nghiệm \({\Delta _1} \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {2{m^2} + 1} \right)^2} – 4\left( {{m^3} + 7\sqrt 2  – 23} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 4{m^4} + 4{m^2} + 1 – 4{m^3} – 28\sqrt 2  + 92 \ge 0\\ \Leftrightarrow 4{m^4} – 4{m^3} + 4{m^2} – 28\sqrt 2  + 93 \ge 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Phương trình (2) có hai nghiệm \({\Delta _2} \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{m^2} – m} \right)^2} – 8\left( {9\sqrt 2  – 30} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^4} – 2{m^3} + {m^2} – 72\sqrt 2  + 240 \ge 0\,\,\,\left( {**} \right)\end{array}\)

Hai phương trình đã cho có nghiệm chung là \(x = 3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 + \left( {2{m^2} + 1} \right).3 + {m^3} + 7\sqrt 2  – 23 = 0\\2.9 + \left( {{m^2} – m} \right).3 + 9\sqrt 2  – 30 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^3} + 6{m^2} + 7\sqrt 2  – 11 = 0\\3{m^2} – 3m + 9\sqrt 2  – 12 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^3} + 6{m^2} + 7\sqrt 2  – 11 = 0\,\,\,\,\left( 3 \right)\\{m^2} – m + 3\sqrt 2  – 4 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Giải phương trình (4) ta được:

\(\begin{array}{l}\left( 4 \right) \Leftrightarrow {m^2} – m = 4 – 3\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {m^2} – 2.m.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{{17}}{4} – 3\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {\left( {m – \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{17 – 12\sqrt 2 }}{4}\\ \Leftrightarrow {\left( {m – \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{9 – 2.3.2\sqrt 2  + 8}}{4}\\ \Leftrightarrow {\left( {m – \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{{\left( {3 – 2\sqrt 2 } \right)}^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m – \dfrac{1}{2} = \dfrac{{3 – 2\sqrt 2 }}{2}\\m – \dfrac{1}{2} =  – \dfrac{{3 – 2\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2 – \sqrt 2 \,\,\,\,\left( {tm\,\,\,\left( * \right),\,\,\left( {**} \right)} \right)\\m = \sqrt 2  – 1\,\,\,\left( {tm\,\,\,\left( * \right),\,\,\left( {**} \right)} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(m = 2 – \sqrt 2 \) ta có:

\(\begin{array}{l}\left( 3 \right) \Leftrightarrow {\left( {2 – \sqrt 2 } \right)^3} + 6{\left( {2 – \sqrt 2 } \right)^2} + 7\sqrt 2  – 11 = 0\\ \Leftrightarrow 20 – 14\sqrt 2  + 6\left( {6 – 4\sqrt 2 } \right) + 7\sqrt 2  – 11 = 0\\ \Leftrightarrow 9 – 7\sqrt 2  + 36 – 24\sqrt 2  = 0\\ \Leftrightarrow 45 – 31\sqrt 2  = 0\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow m = 2 – \sqrt 2 \) không thỏa mãn bài toán.

+) Với \(m = \sqrt 2  – 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left( 3 \right) \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2  – 1} \right)^3} + 6{\left( {\sqrt 2  – 1} \right)^2} + 7\sqrt 2  – 11 = 0\\ \Leftrightarrow  – 7 + 5\sqrt 2  + 6\left( {3 – 2\sqrt 2 } \right) + 7\sqrt 2  – 11 = 0\\ \Leftrightarrow  – 18 + 12\sqrt 2  + 18 – 12\sqrt 2  = 0\\ \Leftrightarrow 0 = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow m = \sqrt 2  – 1\) thỏa mãn bài toán.

Vậy \(m = \sqrt 2  – 1\) thỏa mãn bài toán.