3. Bài 3: Góc nội tiếp

Đề bài

Câu 1 :

Hình nào dưới đây biểu diễn góc nội tiếp?

A.

Hình $1$
B.

Hình $2$
C.

Hình $3$
D.

Hình $4$

Câu 2 :

Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng $90^\circ $ có số đo

A.

Bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung
B.

Bằng số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung
C.

Bằng số đo cung bị chắn
D.

Bằng nửa số đo cung lớn.

Câu 3 :

Khẳng định nào sau đây là sai?

A.

Trong một đường tròn, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông
B.

Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau
C.

Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
D.

Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung.

Câu 4 :

Cho đường tròn $(O)$ và điểm $I$ nằm ngoài $(O).$Từ điểm $I$ kẻ hai dây cung $AB$ và $CD$ ( $A$ nằm giữa $I$ và $B,C$ nằm giữa $I$ và $D$).

Câu 4.1

Cặp góc nào sau đây bằng nhau?

A

$\widehat {ACI};\widehat {IBD}$
B

$\widehat {CAI};\widehat {IBD}$
C

$\widehat {ACI};\widehat {IDB}$
D

$\widehat {ACI};\widehat {IAC}$

Câu 4.2

Tích $IA.IB$ bằng

A

$ID.CD$
B

$IC.CB$
C

$IC.CD$
D

$IC.ID$

Câu 5 :

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, đường cao $AH$ và nội tiếp đường tròn tâm $(O)$, đường kính $AM$

Câu 5.1

Số đo $\widehat {ACM}$ là

A

$100^\circ $
B

$90^\circ $
C

$110^\circ $
D

$120^\circ $

Câu 5.2

Góc $\widehat {OAC}$ bằng

A

$\widehat {AMC}$
B

$\widehat {BAH}$
C

$\widehat {OCM}$
D

$\widehat {ABH}$

Câu 5.3

Gọi $N$ là giao điểm của $AH$ với đường tròn $(O)$. Tứ giác $BCMN$ là hình gì ?

A

Hình thang
B

Hình thang vuông
C

Hình thang cân
D

Hình bình hành

Câu 6 :

Cho đường tròn $(O)$ và hai dây cung $AB,AC$ bằng nhau. Qua $A$ vẽ một cát tuyến cắt dây $BC$ ở $D$ và cắt $(O)$ ở $E$. Khi đó $A{B^2}$ bằng

A.

$AD.AE$
B.

$AD.AC$
C.

$AE.BE$
D.

$AD.BD$

Câu 7 :

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $\left( O \right)$. Hai đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $H$. Vẽ đường kính $AF$ .

Câu 7.1

Hai đoạn thẳng nào sau đây bằng nhau?

A

$BF = FC$
B

$BH=HC$
C

$BF = CH$
D

$BF = BH$

Câu 7.2

Hệ thức nào dưới đây là đúng?

A

$EH.EC = EA.EB$
B

$EH.EC = A{E^2}$
C

$EH.EC = AE.AF$
D

$EH.EC = A{H^2}$

Câu 7.3

Gọi $M$ là trung điểm $BC$ . Khi đó

A

$AH = 2.OM$
B

$AH = 3.OM$
C

$AH = 2.HM$
D

$AH = 2.FM$

Câu 8 :

Cho $(O)$, đường kính $AB$, điểm $D$ thuộc đường tròn. Gọi $E$ là điểm đối xứng với $A$ qua $D.$

Câu 8.1

Tam giác $ABE$ là tam giác gì?

A

$\Delta BAE$ cân tại $E$
B

$\Delta BAE$ cân tại $A$
C

$\Delta BAE$ cân tại $B$
D

$\Delta BAE$ đều

Câu 8.2

Gọi $K$ là giao điểm của $EB$ với $(O)$. Chọn khẳng định sai?

A

$OD{\rm{//}}EB$
B

$OD \bot AK$
C

$AK \bot BE$
D

$OD \bot AE$

Câu 9 :

Cho tam giác $ABC$ có đường cao $AH$ và nội tiếp trong đường tròn tâm $(O)$, đường kính $AD.$ Khi đó tích $AB.AC$ bằng

A.

$AH.HD$
B.

$AH.AD$
C.

$AH.HB$
D.

$A{H^2}$

Câu 10 :

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O;R),$đường cao $AH,$ biết $AB = 9{\rm{ }}cm,$ $AC = 12{\rm{ }}cm,$ $AH = 4{\rm{ }}cm.$ Tính bán kính của đường tròn $(O)$.

A.

$13,5\,cm$
B.

$12\,cm$
C.

$18\,cm$
D.

$6\,cm$

Câu 11 :

Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $\left( {O;R} \right)$ biết góc $\widehat C = {45^o}$ và $AB = a$. Bán kính đường tròn $\left( O \right)$ là

A.

$a\sqrt 2 $
B.

$a\sqrt 3 $
C.

$\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$
D.

$\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Hình nào dưới đây biểu diễn góc nội tiếp?

A.

Hình $1$
B.

Hình $2$
C.

Hình $3$
D.

Hình $4$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng định nghĩa góc nội tiếp:

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.

Lời giải chi tiết :

Hình $1$ góc $\widehat {BOA}$ là góc ở tâm .

Hình $3$ có $1$ cạnh không phải là dây của đường tròn.

Hình $4$ đỉnh $B$ không nằm trên đường tròn.

Hình $2$ góc $\widehat {BCA}$ là góc nội tiếp chắn cung $AB$

Câu 2 :

Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng $90^\circ $ có số đo

A.

Bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung
B.

Bằng số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung
C.

Bằng số đo cung bị chắn
D.

Bằng nửa số đo cung lớn.

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Trong một đường tròn:

Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng $90^\circ $) có số đo bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung.

Câu 3 :

Khẳng định nào sau đây là sai?

A.

Trong một đường tròn, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông
B.

Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau
C.

Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
D.

Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung.

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Trong một đường tròn:

+ Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

+ Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

+ Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Như vậy hai góc nội tiếp bằng nhau có thể cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau .

Phương án A, B, C đúng và D sai

Câu 4 :

Cho đường tròn $(O)$ và điểm $I$ nằm ngoài $(O).$Từ điểm $I$ kẻ hai dây cung $AB$ và $CD$ ( $A$ nằm giữa $I$ và $B,C$ nằm giữa $I$ và $D$).

Câu 4.1

Cặp góc nào sau đây bằng nhau?

A

$\widehat {ACI};\widehat {IBD}$
B

$\widehat {CAI};\widehat {IBD}$
C

$\widehat {ACI};\widehat {IDB}$
D

$\widehat {ACI};\widehat {IAC}$

Đáp án: A

Lời giải chi tiết :

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {ACD}$ là góc nội tiếp chắn cung $AD$ (chứa điểm $B$ ); $\widehat {ABD}$ là góc nội tiếp chắn cung $AD$ (chứa điểm $C$ ) nên $\widehat {ACD} + \widehat {ABD} = \dfrac{1}{2}.360^\circ = 180^\circ $

Lại có $\widehat {ACD} + \widehat {ACI} = 180^\circ $ nên $\widehat {ACI} = \widehat {IBD}$ .

Tương tự ta có $\widehat {IAC} = \widehat {IDB}$ .

Câu 4.2

Tích $IA.IB$ bằng

A

$ID.CD$
B

$IC.CB$
C

$IC.CD$
D

$IC.ID$

Đáp án: D

Phương pháp giải :

Sử dụng tam giác đồng dạng

Lời giải chi tiết :

Xét $\Delta IAC$ và $\Delta IDB$ có $\widehat I$ chung và $\widehat {ACI} = \widehat {IBD}$ (câu trước) nên $\Delta IAC\backsim\Delta IDB$ (g-g)

$ \Rightarrow \dfrac{{IA}}{{ID}} = \dfrac{{IC}}{{IB}} \Rightarrow IA.IB = IC.ID$ .

Câu 5 :

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, đường cao $AH$ và nội tiếp đường tròn tâm $(O)$, đường kính $AM$

Câu 5.1

Số đo $\widehat {ACM}$ là

A

$100^\circ $
B

$90^\circ $
C

$110^\circ $
D

$120^\circ $

Đáp án: B

Phương pháp giải :

Sử dụng hệ quả của góc nội tiếp: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Lời giải chi tiết :

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {ACM}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat {ACM} = 90^\circ $ .

Câu 5.2

Góc $\widehat {OAC}$ bằng

A

$\widehat {AMC}$
B

$\widehat {BAH}$
C

$\widehat {OCM}$
D

$\widehat {ABH}$

Đáp án: B

Phương pháp giải :

Sử dụng số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn

Lời giải chi tiết :

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {ABC}$ là góc nội tiếp chắn cung $AC$ và $\widehat {CAM}$ là góc nội tiếp chắn cung $CM$

Nên $\widehat {ABC} = \dfrac{1}{2}$ sđ $\overparen{AC}$ ;

$\widehat {CAM} = \dfrac{1}{2}$ sđ $\overparen{CM}$

Lại có sđ $\overparen{AC}+$ sđ $\overparen{CM}= 180^\circ $ nên $\widehat {ABC} + \widehat {CAM} = \dfrac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ $

Mà $\widehat {ABC} + \widehat {ABH} = 90^\circ $ nên $\widehat {ABH} = \widehat {CAM}$ .

Câu 5.3

Gọi $N$ là giao điểm của $AH$ với đường tròn $(O)$. Tứ giác $BCMN$ là hình gì ?

A

Hình thang
B

Hình thang vuông
C

Hình thang cân
D

Hình bình hành

Đáp án: C

Phương pháp giải :

+ Sử dụng hệ quả về góc nội tiếp và dấu hiệu nhận biết các hình đặc biệt:

+ Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân

Lời giải chi tiết :

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {ANM}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat {ANM} = 90^\circ $ hay $AN \bot NM$ mà $BC \bot AN \Rightarrow NM{\rm{//}}BC$

Lại có $\widehat {BAN} = \widehat {CAM}$ (cmt)

nên cung $BN = $cung $CM$ $ \Rightarrow BN = CM$

Từ đó tứ giác $BNMC$ có $NM{\rm{//}}BC$; $BN = CM$ nên $BNMC$ là hình thang cân.

Câu 6 :

Cho đường tròn $(O)$ và hai dây cung $AB,AC$ bằng nhau. Qua $A$ vẽ một cát tuyến cắt dây $BC$ ở $D$ và cắt $(O)$ ở $E$. Khi đó $A{B^2}$ bằng

A.

$AD.AE$
B.

$AD.AC$
C.

$AE.BE$
D.

$AD.BD$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng hệ quả của góc nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau và suy ra tam giác đồng dạng

Từ đó có hệ thức cần chứng minh.

Lời giải chi tiết :

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {AEB} = \widehat {ABC}$ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau $AB = AC$ )

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta AEB$ có $\widehat A$ chung và $\widehat {AEB} = \widehat {ABC}$ (cmt) nên $\Delta ABD\backsim\Delta AEB\left( {g – g} \right) \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AE}} = \dfrac{{AD}}{{AB}} \Rightarrow A{B^2} = AE.AD$

Câu 7 :

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $\left( O \right)$. Hai đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $H$. Vẽ đường kính $AF$ .

Câu 7.1

Hai đoạn thẳng nào sau đây bằng nhau?

A

$BF = FC$
B

$BH=HC$
C

$BF = CH$
D

$BF = BH$

Đáp án: C

Phương pháp giải :

+ Sử dụng hệ quả của góc nội tiếp để chứng minh các đường thẳng song song

+ Từ đó chứng minh $BHCF$ là hình bình hành và suy ra các đoạn thẳng bằng nhau

Lời giải chi tiết :

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {ACF} = 90^\circ ;\widehat {ABF} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra $CF \bot AC;BF \bot AB$ mà $BD \bot AC;CE \bot AB$$ \Rightarrow BD{\rm{//}}CF;CE{\rm{//}}BF$

$ \Rightarrow BHCF$ là hình bình hành

$ \Rightarrow BH = CF;BF = CH$ .

Câu 7.2

Hệ thức nào dưới đây là đúng?

A

$EH.EC = EA.EB$
B

$EH.EC = A{E^2}$
C

$EH.EC = AE.AF$
D

$EH.EC = A{H^2}$

Đáp án: A

Phương pháp giải :

Sử dụng tam giác đồng dạng

Lời giải chi tiết :

Xét hai tam giác vuông $\Delta EBH$ và $\Delta ECA$ có $\widehat {EBH} = \widehat {ECA}$ (cùng phụ với $\widehat {BAC}$ )

Nên $\Delta EBH\backsim\Delta ECA\left( {g – g} \right) $

$\Rightarrow \dfrac{{EB}}{{EC}} = \dfrac{{EH}}{{EA}} $

$\Rightarrow EB.EA = EC.EH$.

Câu 7.3

Gọi $M$ là trung điểm $BC$ . Khi đó

A

$AH = 2.OM$
B

$AH = 3.OM$
C

$AH = 2.HM$
D

$AH = 2.FM$

Đáp án: A

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về đường trung bình của tam giác.

Lời giải chi tiết :

Tứ giác $BHCF$ là hình bình hành có $M$ là trung điểm của $BC$ nên $M$ cũng là trung điểm của $HF$

Khi đó $OM$ là đường trung bình của tam giác $AHF$ nên $AH = 2.OM$.

Câu 8 :

Cho $(O)$, đường kính $AB$, điểm $D$ thuộc đường tròn. Gọi $E$ là điểm đối xứng với $A$ qua $D.$

Câu 8.1

Tam giác $ABE$ là tam giác gì?

A

$\Delta BAE$ cân tại $E$
B

$\Delta BAE$ cân tại $A$
C

$\Delta BAE$ cân tại $B$
D

$\Delta BAE$ đều

Đáp án: C

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất góc nội tiếp để chứng minh tam giác có đường trung tuyến trùng với đường cao nên nó là tam giác cân.

Lời giải chi tiết :

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {BDA} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $BD \bot EA$ mà $D$ là trung điểm $EA$

Nên $\Delta BEA$ có $BD$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên $\Delta BAE$ cân tại $B$ .

Câu 8.2

Gọi $K$ là giao điểm của $EB$ với $(O)$. Chọn khẳng định sai?

A

$OD{\rm{//}}EB$
B

$OD \bot AK$
C

$AK \bot BE$
D

$OD \bot AE$

Đáp án: D

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất góc nội tiếp và quan hệ từ vuông góc đến song song

Lời giải chi tiết :

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {BKA} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $AK \bot BE$

Mà $OD$ là đường trung bình của tam giác $ABE$ nên $OD{\rm{//}}EB$ từ đó $OD \bot AK.$

Nên A, B, C đúng.

Câu 9 :

Cho tam giác $ABC$ có đường cao $AH$ và nội tiếp trong đường tròn tâm $(O)$, đường kính $AD.$ Khi đó tích $AB.AC$ bằng

A.

$AH.HD$
B.

$AH.AD$
C.

$AH.HB$
D.

$A{H^2}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất góc nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau để chứng minh hai tam giác đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {ACB} = \widehat {ADB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AB$ ); $\widehat {ABD} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên $\Delta ACH = \Delta ADB\left( {g – g} \right)$ $ \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{AD}} = \dfrac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow AH.AD = AC.AB$.

Câu 10 :

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O;R),$đường cao $AH,$ biết $AB = 9{\rm{ }}cm,$ $AC = 12{\rm{ }}cm,$ $AH = 4{\rm{ }}cm.$ Tính bán kính của đường tròn $(O)$.

A.

$13,5\,cm$
B.

$12\,cm$
C.

$18\,cm$
D.

$6\,cm$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng kết quả câu trước.

Lời giải chi tiết :

Kẻ đường kính $AD$, theo kết quả câu trước, ta có $AH.AD = AB.AC$ $ \Rightarrow AD = \dfrac{{AB.AC}}{{AH}} = \dfrac{{9.12}}{4} = 27 \Rightarrow R = 13,5cm$ .

Câu 11 :

Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $\left( {O;R} \right)$ biết góc $\widehat C = {45^o}$ và $AB = a$. Bán kính đường tròn $\left( O \right)$ là

A.

$a\sqrt 2 $
B.

$a\sqrt 3 $
C.

$\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$
D.

$\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng góc nội tiếp nhỏ hơn $90^\circ $ có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

Sử dụng định lý Pytago để tính toán.

Lời giải chi tiết :

Xét đường tròn $\left( O \right)$ có $\widehat {ACB}$ là góc nội tiếp chắn cung $AB$

Mà $\widehat {ACB} = {45^0} \Rightarrow \widehat {AOB} = {90^0} \Rightarrow \Delta AOB$ vuông cân tại $O$.

Theo định lý Pytago ta có

$\begin{array}{l}A{O^2} + O{B^2} = A{B^2}\\2A{O^2} = A{B^2}\\AO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\end{array}$

Vậy bán kính đường tròn là $R = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE