6. Sự tương giao giữa đường thẳng và Parabol

Phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = 2mx + 4 \Leftrightarrow {x^2} – 2mx – 4 = 0$ có $\Delta ‘ = {m^2} + 4 > 0;\forall m$

nên đường thẳng $d$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ ${x_1};{x_2}$

Theo hệ thức Vi-et ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} =  – 4\end{array} \right.$(${x_1};{x_2} \ne 0$)

Ta có $\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}} =  – 3$$ \Leftrightarrow \dfrac{{{x_1}^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} =  – 3 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + {x_1}{x_2} = 0 \Leftrightarrow 4{m^2} – 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  – 1\end{array} \right.$

Vậy $m = 1;m =  – 1$ là các giá trị cần tìm.

Phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = 2mx – 2m + 3 \Leftrightarrow {x^2} – 2mx + 2m – 3 = 0$ có $\Delta ‘ = {m^2} – 2m + 3 = {\left( {m – 1} \right)^2} + 2 > 0;\forall m$

Nên nên đường thẳng $d$ luôn cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt có tọa độ $\left( {{x_1};{y_1}} \right);\left( {{x_2};{y_2}} \right)$

Ta có ${y_1} = x_1^2;{y_2} = x_2^2$.

Theo hệ thức Vi-et: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} = 2m – 3\end{array} \right.$

Xét ${y_1} + {y_2} < 9$$ \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 < 9 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2} < 9 \Leftrightarrow 4{m^2} – 4m + 6 – 9 < 0$$ \Leftrightarrow 4{m^2} – 4m – 3 < 0 \Leftrightarrow \left( {2m + 1} \right)\left( {2m – 3} \right) < 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2m + 1 < 0\\2m – 3 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2m + 1 > 0\\2m – 3 < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m <  – \dfrac{1}{2}\\m > \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m <  – \dfrac{1}{2}\\m < \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow  – \dfrac{1}{2} < m < \dfrac{3}{2}$

Mà $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1} \right\}$

Vậy có hai giá trị của $m$ thỏa mãn.