1. Bài 1,2: Hàm số bậc hai một ẩn và đồ thị hàm số y=ax^2

Đề bài

Câu 1 :

Cho hàm số $y = a{x^2}\,\,$ với $a \ne 0$. Kết luận nào sau đây là đúng?

A.

Hàm số nghịch biến khi $a > 0$ và $x > 0$
B.

Hàm số nghịch biến khi $a < 0$ và $x < 0$
C.

Hàm số nghịch biến khi $a > 0$ và $x < 0$
D.

Hàm số nghịch biến khi $a > 0$ và $x = 0$

Câu 2 :

Kết luận nào sau đây là sai khi nói về đồ thị của hàm số $y = a{x^2}\,\,$ với $a \ne 0$.

A.

Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng
B.

Với $a > 0$ đồ thị nằm phía trên trục hoành và $O$ là điểm cao nhất của đồ thị
C.

Với $a < 0$ đồ thị nằm phía dưới trục hoành và $O$ là điểm cao nhất của đồ thị
D.

Với $a > 0$ đồ thị nằm phía trên trục hoành và $O$ là điểm thấp nhất của đồ thị

Câu 3 :

Giá trị của hàm số $y = f\left( x \right) = – 7{x^2}$ tại ${x_0} = – 2$ là

A.

$28$
B.

$14$
C.

$21$
D.

$ – 28$

Câu 4 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \left( { – 2m + 1} \right){x^2}.$

Tìm giá trị của $m$ để đồ thị đi qua điểm $A\left( { – 2;4} \right).$

A.

$m = 0$
B.

$m = 1$
C.

$m = 2$
D.

$m = – 2$

Câu 5 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = – 2{x^2}$ . Tổng các giá trị của $a$ thỏa mãn $f\left( a \right) = – 8 + 4\sqrt 3 $ là

A.

$1$
B.

$0$
C.

$10$
D.

$-10$

Câu 6 :

Cho hàm số $y = \left( {5m + 2} \right){x^2}$ với $m \ne – \dfrac{2}{5}$. Tìm $m$ để hàm số nghịch biến với mọi $x > 0.$

A.

$m < – \dfrac{2}{5}$
B.

$m > \dfrac{2}{5}$
C.

$m < \dfrac{2}{5}$
D.

$m > – \dfrac{5}{2}$

Câu 7 :

Cho hàm số $y = \left( {4 – 3m} \right){x^2}$ với $m \ne \dfrac{4}{3}$. Tìm $m$ để hàm số đồng biến với mọi $x > 0$

A.

$m > \dfrac{4}{3}$
B.

$m < – \dfrac{4}{3}$
C.

$m < \dfrac{4}{3}$
D.

$m < – \dfrac{4}{3}$

Câu 8 :

Trong các điểm $A(1;2);B( – 1; – 1);C(10; – 200);D\left( {\sqrt {10} ; – 10} \right)$ có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị hàm số $\left( P \right): y = – {x^2}$

A.

$1$
B.

$4$
C.

$3$
D.

$2$

Câu 9 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = 3{x^2}$. Tìm $b$ biết $f\left( b \right) \ge 6b + 9$.

A.

$1 < b < 3$
B.

$ – 1 \le b \le 3$
C.

$\left[ \begin{array}{l}b \le – 1\\b \ge 3\end{array} \right.$
D.

$\left[ \begin{array}{l}b < – 1\\b > 3\end{array} \right.$

Câu 10 :

Cho hàm số $y = \left( {2m + 2} \right){x^2}$. Tìm $m$ để đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left( {x;y} \right)$ với $\left( {x;y} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x – y = 1\\2x – y = 3\end{array} \right.$

A.

$m = \dfrac{7}{4}$
B.

$m = \dfrac{1}{4}$
C.

$m = \dfrac{7}{8}$
D.

$m = – \dfrac{7}{8}$

Câu 11 :

Cho hàm số $y = \left( { – {m^2} + 4m – 5} \right){x^2}$ . Kết luận nào sau đây là đúng

A.

Đồ thị của hàm số nằm phía trên trục hoành
B.

Đồ thị của hàm số nhận gốc tọa độ $O$ là điểm cao nhất
C.

Hàm số nghịch biến với $x < 0$
D.

Hàm số đồng biến với $x > 0$

Câu 12 :

Hình vẽ dưới đây là của đồ thị hàm số nào?

A.

$y = – {x^2}$
B.

$y = {x^2}$
C.

$y = 2{x^2}$
D.

$y = – 2{x^2}$

Câu 13 :

Cho hàm số $y = \sqrt 3 {x^2}\,\,$có đồ thị là $(P)$. Có bao nhiêu điểm trên $\left( P \right)$ có tung độ gấp đôi hoành độ.

A.

$5$
B.

$4$
C.

$3$
D.

$2$

Câu 14 :

Cho $(P):y = \dfrac{1}{2}{x^2};(d):y = x – \dfrac{1}{2}$. Tìm toạ độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$.

A.

$\left( {1;\dfrac{1}{2}} \right)$
B.

$\left( {1;2} \right)$
C.

$\left( {\dfrac{1}{2};1} \right)$
D.

$\left( {2;1} \right)$

Câu 15 :

Cho parabol $y = \dfrac{1}{4}{x^2}$. Xác định $m$ để điểm $A\left( {\sqrt 2 ;m} \right)$ nằm trên parabol.

A.

$m = \dfrac{1}{2}$
B.

$m = – \dfrac{1}{2}$
C.

$m = 2$
D.

$m = – 2$

Câu 16 :

Cho parabol$(P):y = 2{x^2}$ và đường thẳng $(d):y = x + 1$. Số giao điểm của đường thẳng $d$ và parabol $\left( P \right)$ là:

A.

$1$
B.

$0$
C.

$3$
D.

$2$

Câu 17 :

Cho parabol $(P):y = \left( {m – 1} \right){x^2}$ và đường thẳng $(d):y = 3 – 2x$. Tìm $m$ để đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại điểm có tung độ $y = 5$.

A.

$m = 5$
B.

$m = 7$
C.

$m = 6$
D.

$m =-6$

Câu 18 :

Cho parabol $(P):y = \left( {\dfrac{{1 – 2m}}{2}} \right){x^2}$ và đường thẳng $(d):y = 2x + 2$. Biết đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại một điểm có tung độ $y = 4$. Tìm hoành độ giao điểm còn lại của $d$ và parabol $\left( P \right)$.

A.

$x = – \dfrac{1}{2}$
B.

$x = \dfrac{1}{2}$
C.

$x = – \dfrac{1}{4}$
D.

$x = \dfrac{1}{4}$

Câu 19 :

Cho đồ thị hàm số $y = 2{x^2}$$\left( P \right)$ như hình vẽ. Dựa vào đồ thị, tìm $m$ để phương trình $2{x^2} – m – 5 = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

A.

$m < – 5$
B.

$m > 0$
C.

$m < 0$
D.

$m > – 5$

Câu 20 :

Lực $F$ của gió thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc $v$ của gióm tức là: $F = a{v^2}$ với $a$ là hằng số. Biết rằng khi vận tốc của gió là $2,5m/s$ thì lực tác động lên cánh buồm là $150N.$ Biết thuyền buồm vẫn có thể đi được nếu vận tốc gió lớn nhất là $90km/h.$ Tính áp lực lớn nhất mà cánh buồm có thể chịu được.

A.
$15000N$
B.
$12000N$
C.
$13500N$
D.
$14000N$

Câu 21 :

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = – 2{x^2}$ khi $x \in \left[ { – 3;\,\,5} \right]$ là:

A.
$\mathop {Min}\limits_{\left[ { – 3;\,\,5} \right]} y = 18$
B.
$\mathop {Min}\limits_{\left[ { – 3;\,\,5} \right]} y = – 50$
C.
$\mathop {Min}\limits_{\left[ { – 3;\,\,5} \right]} y = – 18$
D.
$\mathop {Min}\limits_{\left[ { – 3;\,\,5} \right]} y = 50$

Câu 22 :

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $y = x + 3 – m$ cắt parabol $y = {x^2}$ tại hai điểm phân biệt.

A.
$m < \dfrac{{13}}{4}$
B.
$m < 3$
C.
$m > 3$
D.
$m > \dfrac{13}{4}$

Câu 23 :

Cổng vào một ngôi biệt thự có hình dạng là một parabol được biểu diễn bởi đồ thị hàm số $y = – {x^2}.$ Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là $4\,m.$ Một chiếc ô tô tải có thùng xe là một hình hộp chữ nhật có chiều rộng là $2,4\,m.$ Hỏi chiều cao lớn nhất có thể của ô tô là bao nhiêu để ô tô có thể đi qua cổng?

A.
$2,\,4\,m$
B.
$1,44\,m$
C.
$4\,m$
D.
$2,56\,m$

Câu 24 :

Cho parabol $y=-{{x}^{2}}$. Vẽ đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung tại điểm $-5$ và cắt parabol tại $M$ và $N$. Diện tích tam giác $OMN$ là

A.
$10$
B.
$5\sqrt{5}$
C.

$\dfrac{25}{2}$
D.
$5\sqrt{2}$

Câu 25 :

Cho parabol $\left( P \right):y=f\left( x \right)={{x}^{2}}$ . Đường thẳng $d:y=m$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho tam giác $OAB$ đều.

A.
$m=0$
B.
$m=3$
C.
Cả A và B đúng
D.
Cả A và B đều sai

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Cho hàm số $y = a{x^2}\,\,$ với $a \ne 0$. Kết luận nào sau đây là đúng?

A.

Hàm số nghịch biến khi $a > 0$ và $x > 0$
B.

Hàm số nghịch biến khi $a < 0$ và $x < 0$
C.

Hàm số nghịch biến khi $a > 0$ và $x < 0$
D.

Hàm số nghịch biến khi $a > 0$ và $x = 0$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Cho hàm số $y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2}\,\,(a \ne 0)$.

a) Nếu $a > 0$ thì hàm số nghịch biến khi $x < 0$ và đồng biến khi $x > 0$.

b) Nếu $a < 0$ thì hàm số đồng biến khi $x < 0$ và nghịch biến khi $x > 0$.

Câu 2 :

Kết luận nào sau đây là sai khi nói về đồ thị của hàm số $y = a{x^2}\,\,$ với $a \ne 0$.

A.

Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng
B.

Với $a > 0$ đồ thị nằm phía trên trục hoành và $O$ là điểm cao nhất của đồ thị
C.

Với $a < 0$ đồ thị nằm phía dưới trục hoành và $O$ là điểm cao nhất của đồ thị
D.

Với $a > 0$ đồ thị nằm phía trên trục hoành và $O$ là điểm thấp nhất của đồ thị

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Đồ thị của hàm số $y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)$ là một parabol đi qua gốc tọa độ $O,$ nhận $Oy$ là trục đối xứng ($O$ là đỉnh của parabol).

– Nếu $a > 0$ thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, $O$ là điểm thấp nhất của đồ thị.

– Nếu $a < 0$ thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, $O$ là điểm cao nhất của đồ thị.

Câu 3 :

Giá trị của hàm số $y = f\left( x \right) = – 7{x^2}$ tại ${x_0} = – 2$ là

A.

$28$
B.

$14$
C.

$21$
D.

$ – 28$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Giá trị của hàm số $y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)$ tại điểm $x = {x_0}$ là ${y_0} = a{x_o}^2$.

Lời giải chi tiết :

Thay ${x_0} = – 2$ vào hàm số $y = f\left( x \right) = – 7{x^2}$ ta được $f\left( { – 2} \right) = – 7.{\left( { – 2} \right)^2} = – 28$

Câu 4 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \left( { – 2m + 1} \right){x^2}.$

Tìm giá trị của $m$ để đồ thị đi qua điểm $A\left( { – 2;4} \right).$

A.

$m = 0$
B.

$m = 1$
C.

$m = 2$
D.

$m = – 2$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Đồ thị hàm số $y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)$ đi qua điểm $A\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ khi ${y_0} = a{x_o}^2$.

Lời giải chi tiết :

Thay tọa độ điểm $A\left( { – 2;4} \right)$ vào hàm số $y = f\left( x \right) = \left( { – 2m + 1} \right){x^2}$ ta được

$\left( { – 2m + 1} \right).{\left( { – 2} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow – 2m + 1 = 1 \Leftrightarrow m = 0$

Vậy $m = 0$ là giá trị cần tìm.

Câu 5 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = – 2{x^2}$ . Tổng các giá trị của $a$ thỏa mãn $f\left( a \right) = – 8 + 4\sqrt 3 $ là

A.

$1$
B.

$0$
C.

$10$
D.

$-10$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Giá trị của hàm số $y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)$ tại điểm $x = {x_0}$ là ${y_0} = a{x_o}^2$.

Lời giải chi tiết :

Ta có $f\left( a \right) = – 8 + 4\sqrt 3 $$ \Leftrightarrow – 2{a^2} = – 8 + 4\sqrt 3 $$ \Leftrightarrow {a^2} = 4 – 2\sqrt 3 $$ \Leftrightarrow {a^2} = {\left( {\sqrt 3 – 1} \right)^2}$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \sqrt 3 – 1\\a = 1 – \sqrt 3 \end{array} \right.$

Vậy tổn các giá trị của $a$ là $\left( {\sqrt 3 – 1} \right) + \left( {1 – \sqrt 3 } \right) = 0$

Câu 6 :

Cho hàm số $y = \left( {5m + 2} \right){x^2}$ với $m \ne – \dfrac{2}{5}$. Tìm $m$ để hàm số nghịch biến với mọi $x > 0.$

A.

$m < – \dfrac{2}{5}$
B.

$m > \dfrac{2}{5}$
C.

$m < \dfrac{2}{5}$
D.

$m > – \dfrac{5}{2}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Xét hàm số $y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right).$ Ta có:

+) Nếu $a > 0$ thì hàm số nghịch biến khi $x < 0$ và đồng biến khi $x > 0$.

+) Nếu $a < 0$ thì hàm số đồng biến khi $x < 0$ và nghịch biến khi $x > 0$.

Lời giải chi tiết :

Để hàm số nghịch biến với mọi $x > 0$ thì $a < 0$ nên $5m + 2 < 0 \Leftrightarrow m < – \dfrac{2}{5}$.

Vậy $m < – \dfrac{2}{5}$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

Câu 7 :

Cho hàm số $y = \left( {4 – 3m} \right){x^2}$ với $m \ne \dfrac{4}{3}$. Tìm $m$ để hàm số đồng biến với mọi $x > 0$

A.

$m > \dfrac{4}{3}$
B.

$m < – \dfrac{4}{3}$
C.

$m < \dfrac{4}{3}$
D.

$m < – \dfrac{4}{3}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Xét hàm số $y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right).$ Ta có:

+) Nếu $a > 0$ thì hàm số nghịch biến khi $x < 0$ và đồng biến khi $x > 0$.

+) Nếu $a < 0$ thì hàm số đồng biến khi $x < 0$ và nghịch biến khi $x > 0$.

Lời giải chi tiết :

Để hàm số đồng biến với mọi $x > 0$ thì $a > 0$ nên $4 – 3m > 0 \Leftrightarrow 4>3m$$ \Leftrightarrow 3m<4\Leftrightarrow m < \dfrac{4}{3}$.

Vậy $m < \dfrac{4}{3}$ thỏa mãn điều kiện đề bài

Câu 8 :

Trong các điểm $A(1;2);B( – 1; – 1);C(10; – 200);D\left( {\sqrt {10} ; – 10} \right)$ có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị hàm số $\left( P \right): y = – {x^2}$

A.

$1$
B.

$4$
C.

$3$
D.

$2$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y = a{x^2}\,\left( {a \ne 0} \right)$ khi ${y_0} = ax_0^2\,$

Lời giải chi tiết :

+) Thay tọa độ điểm $A\left( {1;2} \right)$ vào hàm số $y = – {x^2}$ ta được $2 = – {1^2}$( vô lý) nên $A \notin \left( P \right)$

+) Thay tọa độ điểm $C\left( {10; – 200} \right)$ vào hàm số $y = – {x^2}$ ta được $ – 200 = – {\left( {10} \right)^2} \Leftrightarrow – 200 = – 100$( vô lý) nên loại $C \notin \left( P \right)$

+) Thay tọa độ điểm $D\left( {\sqrt {10} ; – 10} \right)$ vào hàm số $y = – {x^2}$ ta được $ – 10 = – {\left( {\sqrt {10} } \right)^2} \Leftrightarrow – 10 = – 10$( luôn đúng) nên $D \in \left( P \right)$

+) Thay tọa độ điểm $B\left( { – 1; – 1} \right)$ vào hàm số $y = – {x^2}$ ta được $ – 1 = – {\left( { – 1} \right)^2} \Leftrightarrow – 1 = – 1$ (luôn đúng)

$B \in \left( P \right)$.

Câu 9 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = 3{x^2}$. Tìm $b$ biết $f\left( b \right) \ge 6b + 9$.

A.

$1 < b < 3$
B.

$ – 1 \le b \le 3$
C.

$\left[ \begin{array}{l}b \le – 1\\b \ge 3\end{array} \right.$
D.

$\left[ \begin{array}{l}b < – 1\\b > 3\end{array} \right.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng : Giá trị của hàm số $y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)$ tại điểm $x = {x_0}$ là ${y_0} = a{x_o}^2$

Sau đó giải bất bất phương trình thu được

Lời giải chi tiết :

Ta có $f\left( b \right) \ge 6b + 9$ $ \Leftrightarrow 3{b^2} \ge 6b + 9 \Leftrightarrow {b^2} – 2b – 3 \ge 0$$ \Leftrightarrow \left( {b + 1} \right)\left( {b – 3} \right) \ge 0 $

$\begin{array}{l}
TH1:\left\{ \begin{array}{l}
b + 1 \ge 0\\
b – 3 \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b \ge – 1\\
b \ge 3
\end{array} \right. \Rightarrow b \ge 3\\
TH2:\left\{ \begin{array}{l}
b + 1 \le 0\\
b – 3 \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b \le – 1\\
b \le 3
\end{array} \right. \Rightarrow b \le – 1
\end{array}$

Vậy $\left[ \begin{array}{l}b \le – 1\\b \ge 3\end{array} \right.$ là giá trị cần tìm.

Câu 10 :

A.

$m = \dfrac{7}{4}$
B.

$m = \dfrac{1}{4}$
C.

$m = \dfrac{7}{8}$
D.

$m = – \dfrac{7}{8}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1: Giải hệ phương trình cho trước bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số ta tìm được $\left( {x;y} \right)$

Bước 2: Đồ thị hàm số $y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)$ đi qua điểm $A\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ khi ${y_0} = a{x_o}^2$ từ đó tìm được $m$

Lời giải chi tiết :

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}x – y = 1\\2x – y = 3\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 1\\2\left( {y + 1} \right) – y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.$$ \Rightarrow A\left( {2;1} \right)$

Thay $x = 2;y = 1$ vào hàm số $y = \left( {2m + 2} \right){x^2}$ ta được

$1 = \left( {2m + 2} \right){.2^2} \Leftrightarrow 2m + 2 = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow 2m = \dfrac{{ – 7}}{4} \Leftrightarrow m = \dfrac{{ – 7}}{8}$

Vậy $m = – \dfrac{7}{8}$ là giá trị cần tìm.

Câu 11 :

Cho hàm số $y = \left( { – {m^2} + 4m – 5} \right){x^2}$ . Kết luận nào sau đây là đúng

A.

Đồ thị của hàm số nằm phía trên trục hoành
B.

Đồ thị của hàm số nhận gốc tọa độ $O$ là điểm cao nhất
C.

Hàm số nghịch biến với $x < 0$
D.

Hàm số đồng biến với $x > 0$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Đánh giá hệ số $a$ của ${x^2}$

Bước 2: Ta sử dụng các kiến thức sau để kết luận

* Xét hàm số $y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right).$ Ta có:

– Nếu $a > 0$ thì hàm số nghịch biến khi $x < 0$ và đồng biến khi $x > 0$.

– Nếu $a < 0$ thì hàm số đồng biến khi $x < 0$ và nghịch biến khi $x > 0$.

* Đồ thị của hàm số $y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ là một đường cong (parabol) đi qua gốc tọa độ $O$.

– Nếu $a > 0$ thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.

– Nếu $a < 0$ thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị.

Lời giải chi tiết :

Ta thấy hàm số $y = \left( { – {m^2} + 4m – 5} \right){x^2}$ có

$a = – {m^2} + 4m – 5 = – \left( {{m^2} – 4m + 4} \right) – 1 = – {\left( {m – 2} \right)^2} – 1$

Vì $(m-2)^2\ge 0$ với mọi $m$ nên $-(m-2)^2\le 0$ với mọi m

Suy ra $-(m-2)^2-1\le 0-1\Rightarrow -(m-2)^2-1\le -1<0$ với mọi m

Hay $a<0$ với mọi m

Nên hàm số đồng biến khi $x < 0$ và nghịch biến khi $x > 0$. Suy ra C,D sai.

Và đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị.

Suy ra A sai.

Câu 12 :

Hình vẽ dưới đây là của đồ thị hàm số nào?

A.

$y = – {x^2}$
B.

$y = {x^2}$
C.

$y = 2{x^2}$
D.

$y = – 2{x^2}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Ta sử dụng các kiến thức sau:

* Đồ thị của hàm số $y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ là một đường cong (parabol) đi qua gốc tọa độ $O$.

– Nếu $a > 0$ thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.

– Nếu $a < 0$ thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị.

* Đồ thị hàm số $y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)$ đi qua điểm $A\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ khi ${y_0} = a{x_o}^2$

Lời giải chi tiết :

Từ hình vẽ suy ra $a < 0$ nên loại B,C

Vì đồ thị đi qua điểm có tọa độ $\left( {1; – 1} \right)$ nên loại D.

Câu 13 :

Cho hàm số $y = \sqrt 3 {x^2}\,\,$có đồ thị là $(P)$. Có bao nhiêu điểm trên $\left( P \right)$ có tung độ gấp đôi hoành độ.

A.

$5$
B.

$4$
C.

$3$
D.

$2$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1: Gọi điểm $M$$\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn điều kiện đề bài. Biểu diễn $x$ theo $y$ hoặc $y$ theo$x$ .

Bước 2: Thay tọa độ điểm $M$ vào hàm số ta tìm được $x$ từ đó suy ra $M$ .

Lời giải chi tiết :

Gọi điểm $M$$\left( {x;y} \right)$ là điểm cần tìm. Vì $M$ có tung độ gấp đôi hoành độ nên $M\left( {x;2x} \right)$.

Thay tọa độ điểm $M$ vào hàm số ta được

$2x = \sqrt 3 {x^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 0\\x = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow y = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.$

Hay có hai điểm thỏa mãn điều kiện là $O\left( {0;0} \right),M\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3};\dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}} \right)$.

Câu 14 :

Cho $(P):y = \dfrac{1}{2}{x^2};(d):y = x – \dfrac{1}{2}$. Tìm toạ độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$.

A.

$\left( {1;\dfrac{1}{2}} \right)$
B.

$\left( {1;2} \right)$
C.

$\left( {\dfrac{1}{2};1} \right)$
D.

$\left( {2;1} \right)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Cho parabol $(P):y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2}(a \ne 0)$ và đường thẳng $d:y = mx + n$. Để tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của $(d)$ và $(P)$, ta làm như sau:

Bước 1. Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ :${\rm{a}}{{\rm{x}}^2} = mx + n$

Bước 2. Giải phương trình (*) ta tìm được nghiệm (nếu có). Từ đó ta tìm được tọa độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol $\left( P \right)$ và đường thẳng $d$

$\dfrac{1}{2}{x^2} = x – \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} = 0 $$\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x = 1$

Thay $x=1$ vào hàm số $y=\dfrac{1}{2}x^2$ ta được $ y = \dfrac{1}{2}.1^2=\dfrac{1}{2}$

Nên tọa độ giao điểm cần tìm là $\left( {1;\dfrac{1}{2}} \right)$.

Câu 15 :

Cho parabol $y = \dfrac{1}{4}{x^2}$. Xác định $m$ để điểm $A\left( {\sqrt 2 ;m} \right)$ nằm trên parabol.

A.

$m = \dfrac{1}{2}$
B.

$m = – \dfrac{1}{2}$
C.

$m = 2$
D.

$m = – 2$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Đồ thị hàm số $y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)$ đi qua điểm $A\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ khi ${y_0} = a{x_o}^2$ từ đó tìm được $m$

Lời giải chi tiết :

Thay $x = \sqrt 2 ;y = m$ vào hàm số $y = \dfrac{1}{4}{x^2}$ ta được $m = \dfrac{1}{4}.{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = \dfrac{1}{2}.$

Vậy $m = \dfrac{1}{2}.$

Câu 16 :

Cho parabol$(P):y = 2{x^2}$ và đường thẳng $(d):y = x + 1$. Số giao điểm của đường thẳng $d$ và parabol $\left( P \right)$ là:

A.

$1$
B.

$0$
C.

$3$
D.

$2$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Cho parabol $(P):y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2}(a \ne 0)$ và đường thẳng $d:y = mx + n$. Để tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của $(d)$ và $(P)$, ta làm như sau:

Bước 1. Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ :$ax^2 = mx + n$

Bước 2. Giải phương trình (*) ta tìm được nghiệm (nếu có). Từ đó suy ra số giao điểm của parabol và đường thẳng.

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol $\left( P \right)$ và đường thẳng $d$

$2{x^2} = x + 1 \Leftrightarrow 2{x^2} – x – 1 = 0 \\\Leftrightarrow 2{x^2} – 2x + x – 1 = 0 \\\Leftrightarrow 2x\left( {x – 1} \right) + \left( {x – 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {x – 1} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – \dfrac{1}{2}\\x = 1\end{array} \right.$

Vậy có hai giao điểm của đường thẳng $d$ và parabol $\left( P \right)$.

Câu 17 :

Cho parabol $(P):y = \left( {m – 1} \right){x^2}$ và đường thẳng $(d):y = 3 – 2x$. Tìm $m$ để đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại điểm có tung độ $y = 5$.

A.

$m = 5$
B.

$m = 7$
C.

$m = 6$
D.

$m =-6$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Thay tung độ giao điểm vào phương trình đường thẳng $d$ để tìm hoành độ giao điểm.

Bước 2: Thay tọa độ giao điểm vào phương trình parabol ta tìm được $m$.

Lời giải chi tiết :

Thay $y = 5$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $5 = 3 – 2x \Leftrightarrow x = – 1$

Nên tọa độ giao điểm của đường thẳng $d$ và parabol $\left( P \right)$ là $\left( { – 1;5} \right)$

Thay $x = – 1;y = 5$ vào hàm số $y = \left( {m – 1} \right){x^2}$ ta được

$\left( {m – 1} \right).{\left( { – 1} \right)^2} = 5 \Leftrightarrow m – 1 = 5 \Leftrightarrow m = 6$

Vậy $m = 6$ là giá trị cần tìm.

Câu 18 :

A.

$x = – \dfrac{1}{2}$
B.

$x = \dfrac{1}{2}$
C.

$x = – \dfrac{1}{4}$
D.

$x = \dfrac{1}{4}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Thay tung độ giao điểm vào phương trình đường thẳng $d$ để tìm hoành độ giao điểm.

Bước 2: Thay tọa độ giao điểm vào phương trình parabol ta tìm được $m$.

Bước 3: Giải phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và parabol $\left( P \right)$ ta tìm được hoành độ giao điểm còn lại.

Lời giải chi tiết :

Thay $y = 4$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $2x + 2 = 4 \Leftrightarrow x = 1$

Nên tọa độ giao điểm của đường thẳng $d$ và parabol $\left( P \right)$ là $\left( {1;4} \right)$

Thay $x = 1;y = 4$ vào hàm số $y = \left( {\dfrac{{1 – 2m}}{2}} \right){x^2}$ ta được

$\dfrac{{1 – 2m}}{2}{.1^2} = 4 \Leftrightarrow 1 – 2m = 8 \Leftrightarrow m = – \dfrac{7}{2}$$ \Rightarrow \left( P \right):y = 4{x^2}$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $\left( P \right)$ :

$4{x^2} = 2x + 2 \Leftrightarrow 2{x^2} – x – 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {x – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = – \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

Vậy hoành độ giao điểm còn lại là $x = – \dfrac{1}{2}$.

Câu 19 :

Cho đồ thị hàm số $y = 2{x^2}$$\left( P \right)$ như hình vẽ. Dựa vào đồ thị, tìm $m$ để phương trình $2{x^2} – m – 5 = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

A.

$m < – 5$
B.

$m > 0$
C.

$m < 0$
D.

$m > – 5$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Đưa phương trình về dạng ${\rm{a}}{{\rm{x}}^2} = mx + n$ (*)

Gọi parabol $\left( P \right):y = a{x^2}$ và đường thẳng $d:y = mx + n$

Số nghiệm của (*) bằng đúng số giao điểm của .

– Nếu $(d)$ không cắt $(P)$ thì (*) vô nghiệm

– Nếu $(d)$ tiếp xúc với $(P)$ thì (*) có nghiệm kép

– Nếu $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt thì (*) có 2 nghiệm phân biệt .

Lời giải chi tiết :

Ta có $2{x^2} – m – 5 = 0$ (*) $ \Leftrightarrow 2{x^2} = m + 5$

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của parabol $\left( P \right):y = 2{x^2}$ và đường thẳng $d:y = m + 5$.

Để (*) có hai nghiệm phân biệt thì $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt. Từ đồ thị hàm số ta thấy

Với $m + 5 > 0 \Leftrightarrow m > – 5$ thì $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt hay phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khi $m > – 5$.

Câu 20 :

A.
$15000N$
B.
$12000N$
C.
$13500N$
D.
$14000N$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tính hằng số $a.$

Khi đó ta có biểu thức $F = a{v^2}$ và có vận tốc gió lớn nhất mà thuyền buồm có thể chịu được thì ${F_{\max }} = a.v_{\max }^2.$

Chú ý đổi đơn vị vận tốc của gió.

Lời giải chi tiết :

Theo đề bài ta có: vận tốc của gió là $2,5m/s$ thì lực tác động lên cánh buồm là $150N$

$ \Rightarrow 150 = a.2,{5^2} \Leftrightarrow a = 24\,\,\left( {N{s^2}/{m^2}} \right).$

Khi đó ta có: $F = 24{v^2}.$

Đổi: ${v_{\max }} = 90km/h = \dfrac{{90.1000}}{{3600}} = 25\,\,m/s.$

Như vậy áp lực lớn nhất mà thuyền buồm có thể chịu được là:

${F_{\max }} = 24v_{\max }^2 = {24.25^2} = 15000\,\,N.$

Câu 21 :

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = – 2{x^2}$ khi $x \in \left[ { – 3;\,\,5} \right]$ là:

A.
$\mathop {Min}\limits_{\left[ { – 3;\,\,5} \right]} y = 18$
B.
$\mathop {Min}\limits_{\left[ { – 3;\,\,5} \right]} y = – 50$
C.
$\mathop {Min}\limits_{\left[ { – 3;\,\,5} \right]} y = – 18$
D.
$\mathop {Min}\limits_{\left[ { – 3;\,\,5} \right]} y = 50$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Xét hàm số: $y = a{x^2}\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ ta có:

+) TH1: $a > 0$ thì hàm số đồng biến khi $x > 0$ và nghịch biến khi $x < 0.$

+) TH2: $a < 0$ thì hàm số đồng biến khi $x < 0$ và nghịch biến khi $x > 0.$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $y = – 2{x^2}$ có $a = – 2 < 0 \Rightarrow $ đồ thị hàm số có bề lõm hướng xuống dưới.

Và hàm số đồng biến khi $x > 0,$ hàm số nghịch biến khi $x < 0.$

+) Với $ – 3 \le x < 0$ ta có: $y\left( { – 3} \right) \le y\left( x \right) < y\left( 0 \right) \Leftrightarrow – 18 \le y\left( x \right) < 0.$

+) Với $0 \le x \le 5$ ta có: $y\left( 0 \right) \ge y\left( x \right) \ge y\left( 5 \right) \Leftrightarrow 0 \ge y\left( x \right) \ge – 50$

$ \Rightarrow $ Với mọi $x \in \left[ { – 3;\,\,5} \right]$ ta có: $ – 50 \le y\left( x \right) \le 0$

Vậy $\mathop {Min}\limits_{\left[ { – 3;\,\,5} \right]} y = y\left( { – 5} \right) = – 50.$

Câu 22 :

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $y = x + 3 – m$ cắt parabol $y = {x^2}$ tại hai điểm phân biệt.

A.
$m < \dfrac{{13}}{4}$
B.
$m < 3$
C.
$m > 3$
D.
$m > \dfrac{13}{4}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Xét phương trình hoành độ giao điểm (*) của hai đồ thị hàm số.

Đường thẳng $d$ cắt parabol $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $ \Leftrightarrow $ Phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow \Delta > 0.$

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $d:\,\,\,y = x + 3 – m$ và parabol $\left( P \right):\,\,y = {x^2}$ ta có:

${x^2} = x + 3 – m$ $ \Leftrightarrow {x^2} – x + m – 3 = 0\,\,\,\,\left( * \right)$

Đường thẳng $\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $ \Leftrightarrow \left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow 1 – 4\left( {m – 3} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 1 – 4m + 12 > 0\\ \Leftrightarrow 4m < 13 \Leftrightarrow m < \dfrac{{13}}{4}.\end{array}$

Vậy $m < \dfrac{{13}}{4}$ thỏa mãn bài toán.

Câu 23 :

A.
$2,\,4\,m$
B.
$1,44\,m$
C.
$4\,m$
D.
$2,56\,m$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp tọa độ hóa tức gắn vào hệ trục tọa độ để tính toán.

Lời giải chi tiết :

Ta có đồ thị hàm số của cổng biệt thự như hình vẽ.

Khi đó cổng biệt thự có chiều cao $h = 4\,m.$

Chiều rộng của thùng xe ô tô tải là $2,4\,m \Rightarrow {x_0} = \dfrac{1}{2}.2,4 = 1,2m.$

$ \Rightarrow $ Chiều cao lớn nhất của ô tô tải là: ${h_0} = 1,{2^2} = 1,44m.$

Câu 24 :

Cho parabol $y=-{{x}^{2}}$. Vẽ đường thẳng song song với trục hoành cắt trục tung tại điểm $-5$ và cắt parabol tại $M$ và $N$. Diện tích tam giác $OMN$ là

A.
$10$
B.
$5\sqrt{5}$
C.

$\dfrac{25}{2}$
D.
$5\sqrt{2}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Hoành độ giao điểm hai đồ thị $y={{f}_{1}}\left( x \right)$ và $y={{f}_{2}}\left( x \right)$ là nghiệm của phương trình ${{f}_{1}}\left( x \right)-{{f}_{2}}\left( x \right)=0$

Công thức tính diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}a.h$ ($a$ là độ dài đáy, $h$ là chiều cao tương ứng)

Lời giải chi tiết :

Đường thẳng song song với $Ox$ cắt $Oy$ tại $-5$ là đường thẳng $f:y=-5$. Hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $f$ là nghiệm của phương trình $-{{x}^{2}}=-5\Rightarrow \left[ \begin{align}& x=\sqrt{5} \\& x=-\sqrt{5} \\\end{align} \right.$. Vậy $M(-\sqrt{5};-5);N(\sqrt{5};-5)$.

Ta có : $MN=AM+AN=\left| -\sqrt{5} \right|+\left| \sqrt{5} \right|=2\sqrt{5}$

$OA=\left| -5 \right|=5$

Vậy ${{S}_{OMN}}=\dfrac{1}{2}MN.OA=\dfrac{1}{2}.2\sqrt{5}.5=5\sqrt{5}$.

Câu 25 :

Cho parabol $\left( P \right):y=f\left( x \right)={{x}^{2}}$ . Đường thẳng $d:y=m$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho tam giác $OAB$ đều.

A.
$m=0$
B.
$m=3$
C.
Cả A và B đúng
D.
Cả A và B đều sai

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Hoành độ giao điểm hai đồ thị $y={{f}_{1}}\left( x \right)$ và $y={{f}_{2}}\left( x \right)$ là nghiệm của phương trình ${{f}_{1}}\left( x \right)-\text{ }{{f}_{2}}\left( x \right)=0$

Hai đồ thị hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm có $2$ nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết :

$\left( P \right)$ cắt $d$ tại $2$ điểm phân biệt $\Leftrightarrow $ phương trình hoành độ giao điểm ${{x}^{2}}-m=0$ phải có hai nghiệm phân biệt suy ra $m>0$.

Ta có hoành độ của $A$ và $B$ là nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}=m\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=\sqrt{m} \\ & x=-\sqrt{m} \\\end{align} \right.$.

Vậy $A\left( -\sqrt{m};m \right),B\left( \sqrt{m},m \right)$.

Để $OAB$ là tam giác đều thì $OA=OB=AB$

Mà $OA=\sqrt{{{\left( -\sqrt{m} \right)}^{2}}+{{m}^{2}}},OB=\sqrt{{{\left( \sqrt{m} \right)}^{2}}+{{m}^{2}}}$

$AB=\left| -\sqrt{m} \right|+\left| \sqrt{m} \right|=2\sqrt{m}$

Nên ta có $\sqrt{{{\left( \sqrt{m} \right)}^{2}}+{{m}^{2}}}=2\sqrt{m}\Leftrightarrow m+{{m}^{2}}=4m$

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=0 \\ & m=3 \\\end{align} \right.$

Kết hợp điều kiện $m>0$ ta được $m=3$.

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE