10. Bài 10: Diện tích hình tròn, quạt tròn

Diện tích \(S = \pi {R^2} = \pi {.10^2} = 100\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\).

Xét đường tròn $(O)$ có:

\(\widehat {ABC}\) và \(\widehat {AOC}\)   là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung$AC$  \( \Rightarrow \widehat {AOC} = 2.\widehat {ABC} = {2.30^0} = {60^0}\)\( \Rightarrow {S_{qAOC}} = \dfrac{{\pi {R^2}.60}}{{360}} = \dfrac{{\pi {R^2}}}{6}\)

Xét  \(\Delta AOC\) có   \(\widehat {AOC} = {60^\circ }\)  và $OA=OC=R$ nên tam giác $AOC$ đều cạnh bằng $R$ .

Gọi $CH$ là đường cao của tam giác $AOC$ , ta có:

\(CH = CO.\sin {60^0} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.R \Rightarrow {S_{AOC}} = \dfrac{1}{2}CH.OA = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.R.R = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}.{R^2}.\)

Diện tích hình viên phân $AC$ là:

\({S_{qAOC}} – {S_{AOC}} = \dfrac{{\pi {R^2}}}{6} – \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}.{R^2} = \left( {\dfrac{\pi }{6} – \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}} \right).{R^2} \)

\(= \left( {\dfrac{{2\pi  – 3\sqrt 3 }}{{12}}} \right).{\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} \)

\(= 2\pi  – 3\sqrt 3 \, cm^2.\)

Gọi \(R\) là bán kính của đường tròn \(\left( O \right)\).  Độ dài của các cung \(AB,BC,CA\) đều bằng \(4\pi \) nên ta có \(C = 2\pi R = 4\pi  + 4\pi  + 4\pi  = 12\pi \), suy ra \(R = 6\) hay \(OA = OB = OC = 6\)

Ta cũng có  \(\widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \widehat {COA} = {120^0}\) suy ra \(\Delta AOB = \Delta AOC = \Delta BOC = \dfrac{1}{3}\Delta ABC\)

Xét tam giác \(AOC\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {OAC} = \widehat {OCA} = {30^0}\\\widehat {COA} = {120^0}\end{array} \right.\)

Kẻ đường cao$OE$ , ta có đồng thời là đường trung tuyến, phân giác của góc \(\widehat {COA}\) . Ta có  \(\widehat {AOE} = \widehat {COE} = \dfrac{1}{2}\widehat {AOC}\)      

Xét tam giác $COE$ có:       \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {ECO} = {30^0}\\\widehat {CEO} = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow OE = \dfrac{1}{2}CO = \dfrac{R}{2}\)  

Áp dụng định lý Pytago ta có: \(CE = \sqrt {O{C^2} – O{E^2}}  = \sqrt {{R^2} – {{\left( {\dfrac{R}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}R\)      

Vậy \({S_{COE}} = \dfrac{1}{2}OE.CE = \dfrac{1}{2}.\dfrac{R}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 R}}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 {R^2}}}{8}\) 

Suy ra   \({S_{COA}} = 2{S_{COE}} = \dfrac{{\sqrt 3 {R^2}}}{4}\) và   \({S_{ABC}} = 3{S_{COA}} = \dfrac{{3\sqrt 3 {R^2}}}{4} = \dfrac{{3\sqrt 3 {R^2}}}{4} = 27\sqrt 3 \,\ cm^2 .\)