Bài 9 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Chứng minh đẳng thức lượng giác:

$\begin{array}{l}a)\;sin(\alpha  + \beta ).sin(\alpha  – \beta ) = si{n^2}\alpha  – si{n^2}\beta \\b)\;co{s^4}\alpha  – co{s^4}\left( {\alpha  – \frac{\pi }{2}} \right) = cos2\alpha \end{array}$

Lời giải chi tiết

$a)\;sin(\alpha  + \beta ).sin(\alpha  – \beta ) = \;\frac{1}{2}.\left[ {cos\left( {\alpha  + \beta  – \alpha  + \beta } \right) – cos\left( {\alpha  + \beta  + \alpha  – \beta } \right)} \right]$

$\begin{array}{l} = \;\frac{1}{2}.(cos2\beta  – cos2\alpha ) = \;\frac{1}{2}.(1 – 2si{n^2}\beta  – 1 + 2si{n^2}\alpha )\\ = si{n^2}\alpha  – si{n^2}\beta \end{array}$

$\begin{array}{l}b)\;co{s^4}\alpha  – co{s^4}\left( {\alpha  – \frac{\pi }{2}} \right) = \;co{s^4}\alpha  – si{n^4}\alpha \\ = \;(co{s^2}\alpha  + si{n^2}\alpha )(co{s^2}\alpha  – si{n^2}\alpha )\\ = \;co{s^2}\alpha -si{n^2}\alpha  = cos2\alpha .\end{array}$