Bài 4 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) $\left( {{a_n}} \right)$ với ${a_n} = {\sin ^2}\frac{{n\pi }}{3} + \cos \frac{{n\pi }}{4}$;         

b) $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{6n – 4}}{{n + 2}}$

Lời giải chi tiết

a) $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ ta có:

$\left. \begin{array}{l}0 \le {\sin ^2}\frac{{n\pi }}{3} \le 1\\ – 1 \le \cos \frac{{n\pi }}{4} \le 1\end{array} \right\} \Leftrightarrow 0 + \left( { – 1} \right) \le {\sin ^2}\frac{{n\pi }}{3} + \cos \frac{{n\pi }}{4} \le 1 + 1 \Leftrightarrow  – 1 \le {a_n} \le 2$.

Vậy dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ bị chặn.

b) Ta có: ${u_n} = \frac{{6n – 4}}{{n + 2}} = \frac{{6\left( {n + 2} \right) – 16}}{{n + 2}} = 6 – \frac{{16}}{{n + 2}}$

$\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ ta có:

$n + 2 > 0 \Leftrightarrow \frac{{16}}{{n + 2}} > 0 \Leftrightarrow 6 – \frac{{16}}{{n + 2}} < 6 \Leftrightarrow {u_n} < 6$. Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn trên.

$n \ge 1 \Leftrightarrow n + 2 \ge 1 + 2 \Leftrightarrow n + 2 \ge 3 \Leftrightarrow \frac{{16}}{{n + 2}} \le \frac{{16}}{3} \Leftrightarrow 6 – \frac{{16}}{{n + 2}} \ge 6 – \frac{{16}}{3} \Leftrightarrow {u_n} \ge \frac{2}{3}$

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn dưới.

Ta thấy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn.