Giải mục 2 trang 46, 47 SGK Toán 11 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Hoạt động 3

Cho các dãy số $\left( {{a_n}} \right),\left( {{b_n}} \right),\left( {{c_n}} \right),\left( {{d_n}} \right)$ được xác định như sau.

• ${a_1} = 0;{a_2} = 1;{a_3} = 2;{a_4} = 3;{a_5} = 4$.

• ${b_n} = 2n$.

• $\left\{ \begin{array}{l}{c_1} = 1\\{c_n} = {c_{n – 1}} + 1\left( {n \ge 2} \right)\end{array} \right.$.      

• ${d_n}$ là chu vi của đường tròn có bán kính $n$.

Tìm bốn số hạng đầu tiên của các dãy số trên.

Phương pháp giải:

• Lần lượt thay giá trị $n = 1;2;3;4$ vào biểu thức ${b_n}$.

• Lần lượt thay giá trị $n = 2;3;4$ vào biểu thức ${c_n}$.

• Áp dụng công thức tính chu vi đường tròn có bán kính $n$ là ${d_n} = 2\pi n$ rồi lần lượt thay giá trị $n = 1;2;3;4$.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

${a_1} = 0;{a_2} = 1;{a_3} = 2;{a_4} = 3;{a_5} = 4$.

${b_1} = 2.1 = 2;{b_2} = 2.2 = 4;{b_3} = 2.3 = 6;{b_4} = 2.4 = 8$.

 ${c_1} = 1;{c_2} = {c_1} + 1 = 1 + 1 = 2;{c_3} = {c_2} + 1 = 2 + 1 = 3;{c_4} = {c_3} + 1 = 3 + 1 = 4$.

+ Chu vi đường tròn có bán kính $n$ là ${d_n} = 2\pi n$.

Ta có: ${d_1} = 2\pi .1 = 2\pi ;{d_2} = 2\pi .2 = 4\pi ;{d_3} = 2\pi .3 = 6\pi ;{d_4} = 2\pi .4 = 8\pi$.

Thực hành 2

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xác định bởi: $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = 2{u_n}\left( {n \ge 1} \right)\end{array} \right.$.

a) Chứng minh ${u_2} = 2.3;{u_3} = {2^2}.3;{u_4} = {2^3}.3$.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$.

Phương pháp giải:

a) Lần lượt thay giá trị $n = 1;2;3$ vào biểu thức ${u_{n + 1}}$.

b) Tìm điểm chung của các số hạng của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: ${u_2} = 2{u_1} = 2.3;{u_3} = 2{u_2} = 2.2.3 = {2^2}.3;{u_4} = 2{u_3} = {2.2^2}.3 = {2^3}.3$

b) ${u_n} = {2^{n – 1}}.3$.

Vận dụng 2

Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột gỗ (Hình 1). Gọi ${u_n}$ là số cột gỗ nằm ở lớp thứ 2 tính từ trên xuống và cho biết lớp trên cùng có 14 cột gỗ. Hãy xác định dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bằng hai cách:

a) Viết công thức số hạng tổng quát ${u_n}$.

b) Viết hệ thức truy hồi.

Phương pháp giải:

Dựa vào số cột gỗ ở mỗi lớp và điều kiện đề bài là hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột gỗ.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$\begin{array}{l}{u_1} = 14 = 13 + 1\\{u_2} = 15 = 13 + 2\\{u_3} = 16 = 13 + 3\\ \vdots \end{array}$

Vậy công thức số hạng tổng quát: ${u_n} = 13 + n$.

b) Ta có:

$\begin{array}{l}{u_1} = 14\\{u_2} = 15 = {u_1} + 1\\{u_3} = 16 = {u_2} + 1\\ \vdots \end{array}$

Vậy công thức truy hồi: ${u_n} = {u_{n – 1}} + 1\left( {n \ge 2} \right)$.