Bài 5 trang 50 SGK Toán 11 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2n – 1}}{{n + 1}}\).

Chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng và bị chặn.

Lời giải chi tiết

• Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) – 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{2n + 2 – 1}}{{n + 1 + 1}} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\)

Xét hiệu:

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} – {u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} – \frac{{2n – 1}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {2n + 1} \right)\left( {n + 1} \right) – \left( {2n – 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2{n^2} + n + 2n + 1} \right) – \left( {2{n^2} – n + 4n – 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{2{n^2} + n + 2n + 1 – 2{n^2} + n – 4n + 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{3}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

Vậy \({u_{n + 1}} – {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

• Ta có: \({u_n} = \frac{{2n – 1}}{{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) – 3}}{{n + 1}} = 2 – \frac{3}{{n + 1}}\)

\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:

\(n + 1 > 0 \Leftrightarrow \frac{3}{{n + 1}} > 0 \Leftrightarrow 2 – \frac{3}{{n + 1}} < 2 \Leftrightarrow {u_n} < 2\). Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên.

\(n \ge 1 \Leftrightarrow n + 1 \ge 1 + 1 \Leftrightarrow n + 1 \ge 2 \Leftrightarrow \frac{3}{{n + 1}} \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2 – \frac{3}{{n + 1}} \ge 2 – \frac{3}{2} \Leftrightarrow {u_n} \ge \frac{1}{2}\)

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.

Ta thấy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.