2. Bài 2: Hình nón. Hình nón cụt. Diện tích xung quanh và thể tích hình nón

Bán kính đường tròn đáy $R = \dfrac{d}{2} = \dfrac{{10}}{2} = 5\,cm$

Diện tích xung quanh ${S_{xq}} = \pi Rl \Leftrightarrow \pi .5.l = 65\pi$

$\Rightarrow l = 13\,cm$

Ta có ${R^2} + {h^2} = {l^2}$$\Leftrightarrow {5^2} + {h^2} = {13^2} \Leftrightarrow {h^2} = 144$

$\Rightarrow h = 12\,cm$

Thể tích khối nón $V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {.5^2}.12$

$= 100\pi \,\left( {c{m^3}} \right)$

Xét tam giác $ABC$ đều có $AM$ vừa là đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác.

Nên ta có $MC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}$ .

Khi quay tam giác $ABC$ quanh cạnh $AM$ ta được hình nón đỉnh $A$ , bán kính đáy là $MC$ , đường sinh $AC$ và chiều cao $AM$ .

Diện tích toàn phần của hình nón là ${S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2} = \pi .MC.AC + \pi .M{C^2} = \pi .\dfrac{a}{2}.a + \pi .{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \dfrac{{3\pi {a^2}}}{4}$ .

Ta uốn hình quạt $BAC$ thành hình nón đỉnh $A$ , đường sinh $AB = 20\,cm$ .

Khi đó độ dài cung $BC$ chính là chu vi đáy của hình nón

Ta có độ dài cung $BC$ là ${l_{BC}} = \dfrac{{\pi .20.144}}{{180}} = 16\pi$

Khi đó chu vi đáy của hình nón $C = 2\pi R = 16\pi  \Rightarrow R = 8\,cm$ $\Rightarrow {h^2} = {l^2} – {R^2} = {20^2} – {8^2} \Rightarrow h = 4\sqrt {21} \,cm$

Thể tích khối nón $V = \dfrac{1}{3}\pi {.8^2}.4\sqrt {21}  = \dfrac{{256\pi \sqrt {21} }}{3}$ $\left( {c{m^3}} \right)$