Bài 3 trang 141 SGK Toán 11 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Kiểm tra điện lượng của một số viên pin tiểu do một hãng sản xuất thu được kết quả sau: 

Hãy ước lượng số trung bình, mốt và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Lời giải chi tiết

Ta có:

Tổng số viên pin là: \(n = 10 + 20 + 35 + 15 + 5 = 85\).

• Điện lượng trung bình của một số viên pin tiểu sau khi ghép nhóm là:

\(\bar x = \frac{{10.0,925 + 20.0,975 + 35.1,025 + 15.1,075 + 5.1,125}}{{85}} \approx 1,02\left( {mAh} \right)\)

• Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là nhóm \(\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {1,0;1,05} \right)}\end{array}\).

Do đó: \({u_m} = 1,0;{n_{m – 1}} = 20;{n_m} = 35;{n_{m + 1}} = 15;{u_{m + 1}} – {u_m} = 1,05 – 1,0 = 0,05\)

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({M_O} = {u_m} + \frac{{{n_m} – {n_{m – 1}}}}{{\left( {{n_m} – {n_{m – 1}}} \right) + \left( {{n_m} – {n_{m + 1}}} \right)}}.\left( {{u_{m + 1}} – {u_m}} \right) = 1,0 + \frac{{35 – 20}}{{\left( {35 – 20} \right) + \left( {35 – 15} \right)}}.0,05 \approx 1,02\left( {mAh} \right)\)

Gọi \({x_1};{x_2};…;{x_{85}}\) là điện lượng của các viên pin được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x_1},…,{x_{10}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {0,9;0,95} \right)}\end{array};{x_{11}},…,{x_{30}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {0,95;1,0} \right)}\end{array}}\end{array};{x_{31}},…,{x_{65}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {1,0;1,05} \right)}\end{array};\\{x_{66}},…,{x_{80}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {1,05;1,1} \right)}\end{array}}\end{array};{x_{81}},…,{x_{85}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {1,1;1,15} \right)}\end{array}}\end{array}}\end{array}\end{array}\)

• Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là: \({x_{43}}\)

Ta có: \(n = 85;{n_m} = 35;C = 10 + 20 = 30;{u_m} = 1,0;{u_{m + 1}} = 1,05\)

Do \({x_{43}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {1,0;1,05} \right)}\end{array}}\end{array}}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là:

\({Q_2} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} – C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} – {u_m}} \right) = 1,0 + \frac{{\frac{{85}}{2} – 30}}{{35}}.\left( {1,05 – 1,0} \right) \approx 1,02\)

• Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{21}} + {x_{22}}} \right)\).

Ta có: \(n = 85;{n_m} = 20;C = 10;{u_m} = 0,95;{u_{m + 1}} = 1,0\)

Do \({x_{21}},{x_{22}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {0,95;1,0} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là:

\({Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} – C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} – {u_m}} \right) = 0,95 + \frac{{\frac{{85}}{4} – 10}}{{20}}.\left( {1,0 – 0,95} \right) \approx 0,98\)

• Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{64}} + {x_{65}}} \right)\).

Ta có: \(n = 85;{n_j} = 35;C = 10 + 20 = 30;{u_j} = 1,0;{u_{j + 1}} = 1,05\)

Do \({x_{64}},{x_{65}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {1,0;1,05} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là:

\({Q_3} = {u_j} + \frac{{\frac{{3n}}{4} – C}}{{{n_j}}}.\left( {{u_{j + 1}} – {u_j}} \right) = 1,0 + \frac{{\frac{{3.85}}{4} – 30}}{{35}}.\left( {1,05 – 1,0} \right) \approx 1,048\)