Bài 9 trang 24 SGK Toán 11 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Trong Hình 5, ba điểm M, N, P nằm ở đầu các cánh quạt của tua bin gió. Biết các cánh quạt dài 31m, độ cao của điểm M so với mặt đất là 30m, góc giữa các cánh quạt là $\frac{{2\pi }}{3}$ và số đo góc (OA, OM) là $\alpha$.

a) Tính sin$\alpha$ và cos $\alpha$.

b) Tính sin của các góc lượng giác (OA, ON) và (OA, OP) từ đó tính chiều cao của các điểm N và P so với mặt đất (theo đơn vị mét). Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Lời giải chi tiết

a, Từ điểm M kẻ MH vuông góc với Ox, MK vuông góc với Oy.

Ta có: MH = 60 – 30 = 30 m.

Khi đó hoành độ điểm M là 30.

⇒ $\;\sin \alpha {\rm{ }} = \;\frac{{MH}}{{OM}} = \;\frac{{30}}{{31}}$

$\Rightarrow \cos \alpha  = \sqrt {1 – {{\left( {\frac{{30}}{{31}}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {61} }}{{31}}$

b, Vì các cánh quạt tạo thành 3 góc bằng nhau nên $\widehat {MOP} = \widehat {NOP} = \widehat {MON} = {120^0}$

$\Rightarrow \widehat {AOP} = \widehat {MOP} – \widehat {MOA}$

$\Leftrightarrow \sin \widehat {AOP} = \sin \left( {\widehat {MOP} – \widehat {MOA}} \right) = \sin \widehat {MOP}.\cos \widehat {MOA} – \cos \widehat {MOP}.\sin \widehat {MOA}$

$= \sin \frac{{2\pi }}{3}.\cos \alpha  – \cos \frac{{2\pi }}{3}.\sin \alpha  \approx 0,7$

Vì vậy chiều cao của điểm P so với mặt đất là:

31. $\sin \widehat {AOP}$ + 60 = 31.0,7+ 60 $\approx$ 81,76 m.

Ta có:

$\cos \widehat {AOP} \approx \sqrt {1 – 0,{7^2}}  = 0,71$

$\widehat {AON} = \widehat {AOP} + \widehat {PON}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin \widehat {AON} = \sin \left( {\widehat {AOP} + \widehat {PON}} \right)\\ \Leftrightarrow \sin \widehat {AON} = \sin \widehat {AOP}.\cos \widehat {PON} + \cos \widehat {AOP}.\sin \widehat {PON}\\ \Leftrightarrow \sin \widehat {AON} = 0,7.\cos \frac{{2\pi }}{3} + 0,71.\sin \frac{{2\pi }}{3} \approx 0,26\end{array}$

$\Rightarrow \sin \left( {OA,ON} \right) = \sin \widehat {AON} \approx 0,26$

Vì vậy chiều cao của điểm N so với mặt đất là:

31. $\sin \widehat {AON}$ + 60 = 31.0,26+ 60$\approx$ 68,2 m.