Bài 1 trang 23 SGK Toán 11 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Không dùng máy tính cầm tay, tính các giá trị lượng giác của các góc:

a, \(\frac{{5\pi }}{{12}}\)

b, \(-{\rm{ }}{555^0}\)

Lời giải chi tiết

a, Ta có:

\(\begin{array}{l}\cos \frac{{5\pi }}{{12}} = \cos \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{6} – \sin \frac{\pi }{4}sin\frac{\pi }{6}\\ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6  – \sqrt 2 }}{4}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\sin \frac{{5\pi }}{{12}} = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{6} + \cos \frac{\pi }{4}sin\frac{\pi }{6}\\ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{4}\end{array}\)

\(\tan \frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{{sin\frac{{5\pi }}{{12}}}}{{cos\frac{{5\pi }}{{12}}}} = 2 + \sqrt 3 \)

\(\cot \frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{1}{{\tan \frac{{5\pi }}{{12}}}} = \frac{1}{{2 + \sqrt 3 }}\)

b, Ta có:

\(\begin{array}{l}\cos \left( { – {{555}^0}} \right) = \cos \left( {3\pi  + \frac{\pi }{{12}}} \right) =  – \cos \frac{\pi }{{12}} =  – \cos \left( {\frac{\pi }{3} – \frac{\pi }{4}} \right)\\ =  – \left( {\cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4} + \sin \frac{\pi }{3}sin\frac{\pi }{4}} \right) =  – \frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{4}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\sin \left( { – {{555}^0}} \right) = \sin \left( {3\pi  + \frac{\pi }{{12}}} \right) = sin\frac{\pi }{{12}} = sin\left( {\frac{\pi }{3} – \frac{\pi }{4}} \right)\\ = \sin \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4} – \cos \frac{\pi }{3}sin\frac{\pi }{4}\\ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} – \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 6  – \sqrt 2 }}{4}\end{array}\)

\(\tan \left( { – {{555}^0}} \right) = \frac{{\sin \left( { – {{555}^0}} \right)}}{{\cos \left( { – {{555}^0}} \right)}} =  – 2 + \sqrt 3 \)

\(\cot \left( { – {{555}^0}} \right) = \frac{1}{{ – 2 + \sqrt 3 }} =  – 2 – \sqrt 3 \)