7. Bài 7: Tứ giác nội tiếp

Ta có \(\widehat {BCE} = \widehat {DCF}\) (hai góc đối đỉnh). Đặt \(x = \widehat {BCE} = \widehat {DCF}.\)

Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có:

\(\widehat {ABC} = x + {40^0}\,\,\left( 1 \right);\widehat {ADC} = x + {20^0}\,\,\left( 2 \right)\)

Lại có \(\widehat {ABC} + \widehat {ADC} = {180^0}\,\,\left( 3 \right)\) (hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp).

Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) ta nhận được \(\left( {x + {{40}^0}} \right) + \left( {x + {{20}^0}} \right) = {180^0} \Rightarrow x = {60^0}\) .

Từ \(\left( 1 \right)\) ta có \(\widehat {ABC} = {60^0} + {40^0} = {100^0}\) .

Ta có \(\widehat {BCE} = \widehat {DCF}\) (hai góc đối đỉnh). Đặt \(x = \widehat {BCE} = \widehat {DCF}.\)

Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có:

\(\widehat {ABC} = x + {40^0}\,\,\left( 1 \right);\widehat {ADC} = x + {20^0}\,\,\left( 2 \right)\)

Lại có \(\widehat {ABC} + \widehat {ADC} = {180^0}\,\,\left( 3 \right)\) (hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp).

Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) ta nhận được \(\left( {x + {{40}^0}} \right) + \left( {x + {{20}^0}} \right) = {180^0} \Rightarrow x = {60^0} \Rightarrow \widehat {BCE} = 60^\circ \) .

 Do \(\widehat {BCD},\,\widehat {BCE}\) là hai góc kề bù nên

\(\widehat {BCD} + \,\widehat {BCE} = {180^0} \Rightarrow \widehat {BCD} = {180^0} – {60^0} = {120^0}\)

Ta lại có \(\widehat {BAD},\,\widehat {BCD}\) là hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp nên

$\widehat {BAD} + \,\widehat {BCD} = {180^0} \Rightarrow \widehat {BAD} = {180^0} – {120^0} = {60^0}$

Cách khác:  

Xét tam giác \(ADE\), theo định lý về tổng ba góc trong tam giác, ta có: 

\(\widehat {BAD} + \widehat {CDA} + \widehat {AED} = {180^0}\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \widehat {BAD} + \widehat {CDA} + {40^0} = {180^0}\\
\Rightarrow \widehat {BAD} + \widehat {CDA} = {140^0}\,(1*)
\end{array}\)

Xét tam giác \(ABF\), theo định lý về tổng ba góc trong tam giác, ta có: 

\(\begin{array}{l}
\widehat {BAD} + \widehat {CBA} + \widehat {AFB} = {180^0}\\
\Rightarrow \widehat {BAD} + \widehat {CBA} + {20^0} = {180^0}\\
\Rightarrow \widehat {BAD} + \widehat {CBA} = {160^0}\,(2*)
\end{array}\)

Vì tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \((O)\) nên \(\widehat {ADC} + \widehat {CBA} = {180^0}\) (3*) (tổng hai góc đối bằng \(180^0\))

Từ \((1*), (2*)\) và (3*) ta có: 

\(\begin{array}{l}
\widehat {BAD} + \widehat {ADC} + \widehat {BAD} + \widehat {CBA} = {140^0} + {160^0}\\
\Rightarrow 2\widehat {BAD} + \left( {\widehat {ADC} + \widehat {CBA}} \right) = {300^0}\\
\Rightarrow 2\widehat {BAD} + {180^0} = {300^0}\\
\Rightarrow 2\widehat {BAD} = {120^0}\\
\Rightarrow \widehat {BAD} = {60^0}
\end{array}\)