7. Bài tập ôn tập chương 1

Đề bài

Câu 1 :

Rút gọn biểu thức A=3818+512+50 ta được kết quả là

  • A.

    2122

  • B.

    212

  • C.

    1122

  • D.

    112

Câu 2 :

Cho B=22+132231C=(23527+412):3. Chọn đáp án đúng.

  • A.

    B>C

  • B.

    B<C

  • C.

    B=C

  • D.

    B=C

Câu 3 :

Tìm điều kiện của x để căn thức 1x1 có nghĩa.

  • A.

    x1

  • B.

    x<1

  • C.

     x>1

  • D.

    x=1

Câu 4 :

Với điều kiện nào của x  thì biểu thức 3xx21  có nghĩa?

  • A.

    x±1          

  • B.

    {x0x1     

  • C.

    {x0x1

  • D.

    {x0x1

Câu 5 :

Kết quả của phép tính (2823+7)7+84

  • A.

    7

  • B.

    7+221

  • C.

    7+21

  • D.

    21

Câu 6 :

Chọn đáp án đúng.

  • A.

    43+1+132+633=73

  • B.

    43+1+132+633=7

  • C.

    43+1+132+633=7

  • D.

    43+1+132+633=7+73

Câu 7 :

Nghiệm của phương trình x26x+9=3

  • A.

    x=6          

  • B.

    x=0;x=6.

  • C.

    x=0;x=6.

  • D.

    x=1;x=6.

Câu 8 :

Phương trình x5=3x có bao nhiêu nghiệm?

  • A.

    1

  • B.

    0

  • C.

    2

  • D.

    3

Câu 9 :

Tổng các nghiệm của phương trình x22x+1=4x24x+1

  • A.

    23

  • B.

    1

  • C.

    2

  • D.

    3

Câu 10 :

Giải phương trình 2x24x+5=x2  ta được nghiệm là

  • A.

    x=1          

  • B.

    x=3

  • C.

    x=2

  • D.

    Phương trình vô nghiệm

Câu 11 :

Cho hai biểu thức A=7x+8B=xx3+2x24x9 với x0,x9

Câu 11.1

Tính giá trị của biểu thức A khi x=25.

  • A

    713

  • B

    7

  • C

    733

  • D

    137

Câu 11.2

Rút gọn B  ta được

  • A

    B=x+8x3         

  • B

    B=x+1x+3        

  • C

    B=x+3x+8

  • D

    B=x+8x+3

Câu 11.3

Có bao nhiêu giá trị của x  để P=A.B có giá trị nguyên.

  • A

    0

  • B

    1    

  • C

    2

  • D

    3

Câu 12 :

Cho biểu thức P=(x+1x91x+3)(x3). Rút gọn P .

  • A.

    P=4x3

  • B.

    P=4x+3        

  • C.

    P=2x+3

  • D.

    P=1x+3

Câu 13 :

Rút gọn biểu thức: A=(x212x)(xxx+1x+xx1) v ới x>0;x1.

  • A.

    A=2x      

  • B.

    A=2x

  • C.

    A=x

  • D.

    A=4x

Câu 14 :

Rút gọn biểu thức:B=xx4+1x2+1x+2 với x0;x4.

  • A.

    B=xx+2       

  • B.

    B=xx2

  • C.

    B=xx2

  • D.

    B=2xx2

Câu 15 :

Rút gọn D=(x+y1xyxy1+xy):(y+xy1xy) với x0;y0;xy1M=(xxx+1+x2xx+x)(21x) với x>0 ta được

  • A.

    D=1y;M=2xx

  • B.

    D=2y;M=2xx

  • C.

    D=1y;M=2x+x

  • D.

    D=y2;M=2xx

Câu 16 :

Rút gọn biểu thức: P=a2+aaa+12a+aa+1 với a>0.

  • A.

    P=2aa

  • B.

    P=aa

  • C.

    P=a+a     

  • D.

    P=aa

Câu 17 :

Cho biểu thứcA=(1xx1x+2x):(1x+2x+1x4)

Câu 17.1

Rút gọn biểu thức A

  • A

    A=x2x       

  • B

    A=2+xx

  • C

    A=2x2x     

  • D

     A=2xx

Câu 17.2

Tìm giá trị của A khi x=945

  • A

    A=5+3

  • B

    A=25+1

  • C

    A=25         

  • D

    A=25+3

Câu 17.3

Tìm  x để A<0

  • A

    x>4

  • B

    0x<4

  • C

    x>1

  • D

    x>0,x4

Câu 18 :

Cho biểu thức P=(x2x+2x+1x+2).x+1x1 với  x>0;x1

 Tìm  x  để 2P=2x+5 .

  • A.

    x=14

  • B.

    x=12

  • C.

    x=4

  • D.

    x=2

Câu 19 :

Cho A=2xx+3x+2+5x+1x+4x+3+x+10x+5x+6  với x0. Chọn đáp án đúng.

  • A.

    A=2x

  • B.

    Giá trị của A không phụ thuộc vào biến x.  

  • C.

    A=3(x+2)

  • D.

    A=2x+1

Câu 20 :

Cho biểu thức P=1:(x+2xx1+x+1x+x+1x+1x1) . Chọn câu đúng.

  • A.

    P=x+x+1x

  • B.

    P<3         

  • C.

    P>3

  • D.

    Cả A, C đều đúng.

Câu 21 :

Cho biểu thức P=(2xx+3+xx33x+3x9):(2x2x31)

Câu 21.1

Rút gọn P.

  • A

    P=3x+3        

  • B

    P=3x+3

  • C

    P=3x3

  • D

    P=3x3

Câu 21.2

Tính giá trị của P biết x=352

  • A

    713

  • B

    351510

  • C

    733

  • D

    137

Câu 21.3

Tìm  x đểP<12   

  • A

    x>3

  • B

    x0;x9       

  • C

    0x<9

  • D

    x<9

Câu 21.4

Có bao nhiêu giá trị xZ để PZ.

  • A

    0

  • B

    2    

  • C

     1

  • D

     3

Câu 22 :

Cho biểu thức: K=2x+3yxy+2x3y66xyxy+2x+3y+6.

Câu 22.1

Rút gọn K.

  • A

    K=x+9x9

  • B

    K=x9x+9

  • C

    K=x+9x9

  • D

    K=1x+3

Câu 22.2

Nếu K=y+81y81 thì

  • A

    yx là số nguyên chia hết cho 5 .      

  • B

    yx là số nguyên chia hết cho 2 .      

  • C

    yx là số nguyên chia hết cho 3 .      

  • D

    Cả A, B, C đều sai.

Câu 23 :

Cho x=3+5+23+35+23. Tính giá trị của biểu thức P=x(2x)

  • A.
    P=2.
  • B.
    P=2.
  • C.
    P=1.
  • D.
    P=0.

Câu 24 :

Cho A=xx+1 và  B=5x9x5x+6+x+23x+x1x2 với x0;x4;x9. 

Chọn đáp án đúng nhất:

Câu 24.1

Tính giá trị của biểu thức A=xx+1 khi x=25.

  • A

    A=23

  • B

    A=56

  • C

    A=54

  • D

    A=12

Câu 24.2

Rút gọn biểu thức B=5x9x5x+6+x+23x+x1x2 với x0;x4;x9.

  • A

    B=1x2

  • B

    B=1x3

  • C

    B=1x+3

  • D

    B=1x+2

Câu 24.3

Tìm giá trị của x thỏa mãn (x9).B<2x.

  • A

    x<94

  • B

    x>49

  • C

    x>94,x4,x9

  • D

    x>49,x4,x9

Câu 25 :

Cho biểu thức: A=a4a+2aB=5aa2+a1a+25a+2a4 (ĐKXĐ: a>0;a4 )

Câu 25.1

Tính giá trị của biểu thức A khi a=16.

  • A
    1
  • B

    12

  • C

    13

  • D
    1

Câu 25.2

Rút gọn biểu thức B.

  • A

    B=a+5aa4.

  • B

    B=a7aa2.

  • C

    B=a5aa+2.

  • D

    B=a+7aa4.

Câu 25.3

Tìm các số hữu tỉ a để biểu thức P=A.B có giá trị nguyên.

  • A
    a=9
  • B

    a=12

  • C

    a=9a=12

  • D

    a=9a=14

Câu 26 :

Cho hai biểu thức: A=4xx5B=x2x1+1x+2+52xx+x2 với x>0,x1,x25

Câu 26.1

Tính giá trị của biểu thức A tại x=9.

  • A
    6
  • B
    6
  • C
    4
  • D
    4

Câu 26.2

Rút gọn biểu thức B.

  • A

    B=xx+2

  • B

    B=xx1

  • C

    B=xx2

  • D

    B=xx+1

Câu 26.3

Tìm số tự nhiên x lớn nhất sao cho AB<4

  • A
    x=16
  • B
    x=15
  • C
    x=9
  • D
    x=24

Câu 27 :

Cho biểu thức A=x4(x1)+x+4(x1)x24(x1).(11x1),trong đó x>1,x2.

Câu 27.1

Rút gọn biểu thức A.

  • A

    A={2x1khi1<x<22x1khix>2.

  • B

    A={2x1khix<22x1khix>2.

  • C

    A=2x1

  • D

    A=2x1

Câu 27.2

Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức A là số nguyên.

  • A
    x=1
  • B
    x=2
  • C
    x=3
  • D
    x=5

Câu 28 :

Cho x,y là các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện (x+x2+1)(y+y2+1)=2. Tính giá trị của biểu thức Q=xy2+1+yx2+1.

  • A.

    Q=34

  • B.

    Q=43

  • C.

    Q=43

  • D.

    Q=34

Câu 29 :

Cho biểu thức A=4x9x+3x+3x+2+x1x+12x1x+2(x0).

Câu 29.1

Rút gọn biểu thức A.

  • A

    A=15xx+2

  • B

    A=13xx+1

  • C

    A=13xx+2

  • D

    A=15xx+1

Câu 29.2

Tìm giá trị lớn nhất của A.

  • A
    0
  • B
    1
  • C
    2
  • D
    3

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Rút gọn biểu thức A=3818+512+50 ta được kết quả là

  • A.

    2122

  • B.

    212

  • C.

    1122

  • D.

    112

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức khai phương một tích, khai phương một thương, trục căn thức ở mẫu

+ Khai phương một tích: A.B=A.B(A0,B0)

+ Khai phương một thương:   AB=AB(A0,B>0)

+  Với A.B0B0 thì AB=AB|B|

Lời giải chi tiết :

A=3818+512+50

=34.29.2+522+25.2

=6232+522+52

=(63+52+5).2

=2122

Câu 2 :

Cho B=22+132231C=(23527+412):3. Chọn đáp án đúng.

  • A.

    B>C

  • B.

    B<C

  • C.

    B=C

  • D.

    B=C

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Tính B;C  bằng cách sử dụng các công thức

Với A>0AB2 thì CA±B=C(AB)AB2

Khai phương một tích: A.B=A.B(A0,B0)

+ So sánh B;C.

Lời giải chi tiết :

Ta có B=22+132231

=222.2+3+2(32)(3+2)2(3+1)(31)(3+1)

=222+3+2322(3+1)31
=2+3+212(3+1)2

=2+3+2(3+1)

=2+3+231

=221

Lại có

C=(23527+412):3=(2359.3+44.3):3=(235.33+4.23):3=53:3=5

Nhận thấy B=221>0;C=5<0B>C

Câu 3 :

Tìm điều kiện của x để căn thức 1x1 có nghĩa.

  • A.

    x1

  • B.

    x<1

  • C.

     x>1

  • D.

    x=1

Đáp án : C

Phương pháp giải :

A xác định (hay có nghĩa)  khi A lấy giá trị không âm tức là A0.

Ngoài ra: 1A0A>0

Lời giải chi tiết :

Ta có 1x1 có nghĩa  1x10x1>0  (vì 1>0)

x>1

Câu 4 :

Với điều kiện nào của x  thì biểu thức 3xx21  có nghĩa?

  • A.

    x±1          

  • B.

    {x0x1     

  • C.

    {x0x1

  • D.

    {x0x1

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ A  có nghĩa khi A0

+ AB  có nghĩa khi B0.

Lời giải chi tiết :

Ta có 3xx21  có nghĩa khi {3x0x210{x0x21{x0x1x1{x0x1

Câu 5 :

Kết quả của phép tính (2823+7)7+84

  • A.

    7

  • B.

    7+221

  • C.

    7+21

  • D.

    21

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức

+ Khai phương một tích: A.B=A.B(A0,B0)

Lời giải chi tiết :

Ta có (2823+7)7+84=(4.723+7).7+4.21

=(2723+7).7+221=(3723).7+221

=37.723.7+221 =21221+221=21

Câu 6 :

Chọn đáp án đúng.

  • A.

    43+1+132+633=73

  • B.

    43+1+132+633=7

  • C.

    43+1+132+633=7

  • D.

    43+1+132+633=7+73

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức : Với A>0AB2 thì CA±B=C(AB)AB2

Lời giải chi tiết :

Ta có 43+1+132+633=4(31)(31)(3+1)+1(3+2)(3+2)(32)+6(3+3)(3+3)(33)

=4(31)(3)212+3+2(3)222+6(3+3)(3)232 =4(31)31+3+234+6(3+3)39

=4(31)2+3+2(1)+6(3+3)(6) =2(31)3233=7.

Câu 7 :

Nghiệm của phương trình x26x+9=3

  • A.

    x=6          

  • B.

    x=0;x=6.

  • C.

    x=0;x=6.

  • D.

    x=1;x=6.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Biến đổi biểu thức dưới dấu căn để đưa về hằng đẳng thức

Giải phương trình dạng A2=m(m0)|A|=m[A=mA=m

Lời giải chi tiết :

Ta có x26x+9=3(x3)2=3|x3|=3[x3=3x3=3  [x=6x=0

Vậy phương trình có hai nghiệm x=0;x=6.

Câu 8 :

Phương trình x5=3x có bao nhiêu nghiệm?

  • A.

    1

  • B.

    0

  • C.

    2

  • D.

    3

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Giải phương trình dạng A=B

ĐK: A0  (hoặc B0 )

Khi đó A=BA=B

So sánh với điều kiện rồi kết luận.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện:  x5

Ta có x5=3xx5=3xx+x=3+52x=8x=4(KTM)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 9 :

Tổng các nghiệm của phương trình x22x+1=4x24x+1

  • A.

    23

  • B.

    1

  • C.

    2

  • D.

    3

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Biến đổi các biểu thức dưới dấu căn thành các hằng đẳng thức

+ Sử dụng A2=|A|

+ Giải phương trình dạng  |A|=|B|[A=BA=B

Lời giải chi tiết :

Ta có x22x+1=4x24x+1(x1)2=(2x1)2

|x1|=|2x1| [x1=2x1x1=12x [x=0x=23

Vậy phương trình có hai nghiệm  x=0;x=23  nên tổng các nghiệm là 0+23=23.

Câu 10 :

Giải phương trình 2x24x+5=x2  ta được nghiệm là

  • A.

    x=1          

  • B.

    x=3

  • C.

    x=2

  • D.

    Phương trình vô nghiệm

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Tìm điều kiện

+ Giải phương trình dạng A=B(B0)A=B2

Lời giải chi tiết :

Điều kiện:

x20x2.

Ta có: 2x24x+5=x22x24x+5=(x2)2

2x24x+5=x24x+4x2+1=0 x2=1 (vô nghiệm vì x20x )

Vậy phương trình vô nghiệm.

Câu 11 :

Cho hai biểu thức A=7x+8B=xx3+2x24x9 với x0,x9

Câu 11.1

Tính giá trị của biểu thức A khi x=25.

  • A

    713

  • B

    7

  • C

    733

  • D

    137

Đáp án: A

Phương pháp giải :

Thay x=25(TMDK)  vào A rồi tính toán

Lời giải chi tiết :

x=25 (TMĐK) nên ta có: x=5

Khi đó ta có: A=75+8=713

Câu 11.2

Rút gọn B  ta được

  • A

    B=x+8x3         

  • B

    B=x+1x+3        

  • C

    B=x+3x+8

  • D

    B=x+8x+3

Đáp án: D

Phương pháp giải :

+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức

+ Từ đó rút gọn phân thức

Lời giải chi tiết :

B=xx3+2x24x9   với x0,x9

=x(x+3)(x3)(x+3)+2x24(x3)(x+3)

=x+3x+2x24(x3)(x+3)=x+5x24(x3)(x+3)=x3x+8x24(x3)(x+3)=x(x3)+8(x3)(x3)(x+3)=(x3)(x+8)(x3)(x+3)=x+8x+3

Vậy B=x+8x+3 với x0,x9

Câu 11.3

Có bao nhiêu giá trị của x  để P=A.B có giá trị nguyên.

  • A

    0

  • B

    1    

  • C

    2

  • D

    3

Đáp án: C

Phương pháp giải :

Sử dụng kết quả câu trước B=x+8x+3 với x0,x9

Tính P=A.B  rồi đánh giá P để tìm các giá trị nguyên của P  từ đó tìm x.

Lời giải chi tiết :

P=A.B nên ta có:P=7x+8.x+8x+3=7x+3 với x0;x9

+) Ta có x0 nên P>0

+) x0  nên x+337x+373

Nên : 0<P73. Để PZP{1;2}

+) P=1 7x+3=1x+3=7x=4x=16  (thỏa mãn điều kiện)

+) P=2 7x+3=22x+6=7x=12 x=14 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy x{14;16}

Vậy có hai giá trị của x thỏa mãn đề bài.

Câu 12 :

Cho biểu thức P=(x+1x91x+3)(x3). Rút gọn P .

  • A.

    P=4x3

  • B.

    P=4x+3        

  • C.

    P=2x+3

  • D.

    P=1x+3

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức

+ Từ đó rút gọn phân thức

Lời giải chi tiết :

Điều kiện x0;x9.

P =  [x+1(x+3)(x3)x3(x+3)(x3)](x3)

= x+1(x3)(x+3)(x3)(x3)

= x+1x+3(x+3)(x3)(x3)

= 4x+3

Vậy P=4x+3  với  x0;x9.

Câu 13 :

Rút gọn biểu thức: A=(x212x)(xxx+1x+xx1) v ới x>0;x1.

  • A.

    A=2x      

  • B.

    A=2x

  • C.

    A=x

  • D.

    A=4x

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức

+ Từ đó rút gọn phân thức

Lời giải chi tiết :

A=(x212x)(xxx+1x+xx1)=x12x.(x(x1)x+1x(x+1)x1)=x12x.x(x1)2x(x+1)2(x+1)(x1)=x12x.x[x2x+1(x+2x+1)]x1=x2x+1x2x12=4x2=2x.

Vậy A=2x với x>0;x1.

Câu 14 :

Rút gọn biểu thức:B=xx4+1x2+1x+2 với x0;x4.

  • A.

    B=xx+2       

  • B.

    B=xx2

  • C.

    B=xx2

  • D.

    B=2xx2

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức

+ Từ đó rút gọn phân thức

Lời giải chi tiết :

B=xx4+1x2+1x+2=x(x2)(x+2)+1x2+1x+2=x+x+2+x2(x2)(x+2)=x+2x(x2)(x+2)=x(x+2)(x2)(x+2)=xx2.

Vậy B=xx2  với x0;x4.

Câu 15 :

Rút gọn D=(x+y1xyxy1+xy):(y+xy1xy) với x0;y0;xy1M=(xxx+1+x2xx+x)(21x) với x>0 ta được

  • A.

    D=1y;M=2xx

  • B.

    D=2y;M=2xx

  • C.

    D=1y;M=2x+x

  • D.

    D=y2;M=2xx

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức

+ Từ đó rút gọn phân thức

Lời giải chi tiết :

D=(x+y1xyxy1+xy):(y+xy1xy)=(x+y)(1+xy)(xy)(1xy)(1xy)(1+xy).1xyy+xy=x+y+xy+yx(xyxy+yx)1xy.1xyy+xy=x+y+xy+yxx+y+xyyxy+xy=2y+2xyy+xy=2y(x+1)y(x+1)=2y

Vậy D=2y  với x0;y0;xy1

M=(xxx+1+x2xx+x)(21x)=(xxx+1+xx+1)2x1x=x(x+1)x+1.2x1x=x(2x1)=2xx.

Vậy M=2xx  với x>0.

Câu 16 :

Rút gọn biểu thức: P=a2+aaa+12a+aa+1 với a>0.

  • A.

    P=2aa

  • B.

    P=aa

  • C.

    P=a+a     

  • D.

    P=aa

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi rút gọn từng phân thức

+ Từ đó rút gọn biểu thức

Lời giải chi tiết :

P=a2+aaa+12a+aa+1=a.a+aaa+12(a)2+aa+1=a(aa+1)aa+1a(2a+1)a+1=a((a)3+1)aa+1(2a+1)+1=a(a+1)(aa+1)aa+1(2a+1)+1=a(a+1)2a1+1=a+a2a=aa.

Vậy P=aa  với a>0.

Câu 17 :

Cho biểu thứcA=(1xx1x+2x):(1x+2x+1x4)

Câu 17.1

Rút gọn biểu thức A

  • A

    A=x2x       

  • B

    A=2+xx

  • C

    A=2x2x     

  • D

     A=2xx

Đáp án: D

Phương pháp giải :

+ Tìm điều kiện

+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức

+ Từ đó rút gọn phân thức

Lời giải chi tiết :

Điều kiện x>0,x4

A=(1xx1x+2x):(1x+2x+1x4)=(x+2x(x+2)x1x(x+2)):(x2(x+2)(x2)x+1(x+2)(x2))=3x(x+2):3(x+2)(x2)=3x(x+2).(x+2)(x2)3=2xx

Vậy với x>0,x4  thì  A=2xx.

Câu 17.2

Tìm giá trị của A khi x=945

  • A

    A=5+3

  • B

    A=25+1

  • C

    A=25         

  • D

    A=25+3

Đáp án: D

Phương pháp giải :

+ Sử dụng kết quả câu trước A=2xx với x>0,x4

+ Tính x

+ Thay x  vừa tìm được vào A=2xx

Lời giải chi tiết :

Ta có:

x=945=(5)22.2.5+22=(52)2x=(52)2=|52|=52(do52>0)

Khi đó ta có A=2xx=2(52)52=4552=(45)(5+2)(5)222=45+85251=25+3

Vậy với x=945 thì A=25+3

Câu 17.3

Tìm  x để A<0

  • A

    x>4

  • B

    0x<4

  • C

    x>1

  • D

    x>0,x4

Đáp án: A

Phương pháp giải :

+ Sử dụng kết quả câu trước A=2xx với x>0,x4

+ Đánh giá mẫu số rồi lập luận tìm ra điều kiện của tử số để A<0

+ Kết hợp điều kiện rồi kết luận

Lời giải chi tiết :

A<0 A=2xx<0

Với x>0,x4 ta có: x>0 .

Để 2xx<0 thì  2x<0x>2x>4

Vậy ta có: x>4  thì A<0.

Câu 18 :

Cho biểu thức P=(x2x+2x+1x+2).x+1x1 với  x>0;x1

 Tìm  x  để 2P=2x+5 .

  • A.

    x=14

  • B.

    x=12

  • C.

    x=4

  • D.

    x=2

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Rút gọn P

+ Thay P  vào yêu cầu 2P=2x+5 rồi giải phương trình và tìm x.

Lời giải chi tiết :

Ta có: với x>0,x1

P=(x2x+2x+1x+2).x+1x1=(x2x(x+2)+1x+2).x+1x1=(x2x(x+2)+xx(x+2)).x+1x1=x2+xx(x+2).x+1x1=x+2xx2x(x+2).x+1x1=(x1)(x+2)x(x+2).x+1x1=x+1x

Vậy với x > 0,x \ne 1 ta có  P = \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}

Để 2P = 2\sqrt x  + 5

Ta có: với x > 0,x \ne 1

\begin{array}{l}2P = 2\sqrt x  + 5\\ \Leftrightarrow 2.\dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} = 2\sqrt x  + 5\\ \Rightarrow 2\sqrt x  + 2 = 2x + 5\sqrt x \\ \Leftrightarrow 2x + 3\sqrt x  – 2 = 0\\ \Leftrightarrow 2x – \sqrt x  + 4\sqrt x  – 2 = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x \left( {2\sqrt x  – 1} \right) + 2\left( {2\sqrt x  – 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2\sqrt x  – 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}(tm)\\\sqrt x  =  – 2(ktm)\end{array} \right.\end{array}

Vậy x = \dfrac{1}{4} thì 2P = 2\sqrt x  + 5

Câu 19 :

Cho A = \dfrac{{2x}}{{x + 3\sqrt x  + 2}} + \dfrac{{5\sqrt x  + 1}}{{x + 4\sqrt x  + 3}} + \dfrac{{\sqrt x  + 10}}{{x + 5\sqrt x  + 6}}  với x \ge 0. Chọn đáp án đúng.

  • A.

    A = 2\sqrt x

  • B.

    Giá trị của A không phụ thuộc vào biến x.  

  • C.

    A = 3\left( {\sqrt x  + 2} \right)

  • D.

    A = \dfrac{2}{{\sqrt x  + 1}}

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức

+ Từ đó rút gọn phân thức

Lời giải chi tiết :

A = \dfrac{{2x}}{{x + 3\sqrt x  + 2}} + \dfrac{{5\sqrt x  + 1}}{{x + 4\sqrt x  + 3}} + \dfrac{{\sqrt x  + 10}}{{x + 5\sqrt x  + 6}}= \dfrac{{2x}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} + \dfrac{{5\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x  + 10}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}

= \dfrac{{2x\left( {\sqrt x  + 3} \right) + \left( {5\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right) + \left( {\sqrt x  + 10} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}

= \dfrac{{2x\sqrt x  + 6x + 5x + 11\sqrt x  + 2 + x + 11\sqrt x  + 10}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}

= \dfrac{{2x\sqrt x  + 12x + 22\sqrt x  + 12}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}

= \dfrac{{2x\sqrt x  + 2x + 10x + 10\sqrt x  + 12\sqrt x  + 12}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}

\begin{array}{l} = \dfrac{{2x\left( {\sqrt x  + 1} \right) + 10\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right) + 12\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {2x + 10\sqrt x  + 12} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\ = \dfrac{{2\left( {x + 5\sqrt x + 6} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ = \dfrac{{2\left( {x + 2\sqrt x + 3\sqrt x + 6} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ = \dfrac{{2\left[ {\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right) + 3\left( {\sqrt x + 2} \right)} \right]}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\= \dfrac{{2\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\ = 2\end{array}

Vậy giá trị của A không phụ thuộc vào biến x.

Câu 20 :

Cho biểu thức P = 1:\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x\sqrt x  – 1}} + \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{x + \sqrt x  + 1}} – \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{x – 1}}} \right) . Chọn câu đúng.

  • A.

    P = \dfrac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}

  • B.

    P < 3         

  • C.

    P > 3

  • D.

    Cả A, C đều đúng.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+  Tìm điều kiện

+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức

+ Từ đó rút gọn biểu thức

+ Xét hiệu P – 3 rồi so sánh hiệu đó với 0  để so sánh P  với 3.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện xác định: x \ne 1;x > 0

\begin{array}{l}P = 1:\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x\sqrt x  – 1}} + \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{x + \sqrt x  + 1}} – \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{x – 1}}} \right)\\ = 1:\left( {\dfrac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x  – 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}} – \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  – 1} \right)}}} \right)\\ = 1:\dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right) + {{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x  – 1} \right) – \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  – 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}\end{array}

= 1:\dfrac{{x\sqrt x  + x + 2\sqrt x  + 2 + x\sqrt x  + x – \sqrt x  – 1 – \left( {x\sqrt x  + x + \sqrt x  + x + \sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  – 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}

\begin{array}{l} = \dfrac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  – 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}{{x\sqrt x  – \sqrt x }}\\ = \dfrac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  – 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  – 1} \right)}}\\ = \dfrac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\end{array}

Vậy P = \dfrac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}  với x \ne 1;x > 0

+ So sánh P với 3.

Xét P – 3 = \dfrac{{x + \sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} – 3 = \dfrac{{x + \sqrt x  + 1 – 3\sqrt x }}{{\sqrt x }} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x  – 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x }}

Với x \ne 1;x > 0 ta có: \sqrt x  > 0; \sqrt x \ne 1 nên {\left( {\sqrt x  – 1} \right)^2} > 0 suy ra: P-3 > 0 hay P > 3

Câu 21 :

Cho biểu thức P = \left( {\dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  – 3}} – \dfrac{{3x + 3}}{{x – 9}}} \right):\left( {\dfrac{{2\sqrt x  – 2}}{{\sqrt x  – 3}} – 1} \right)

Câu 21.1

Rút gọn P.

  • A

    P = \dfrac{3}{{\sqrt x  + 3}}        

  • B

    P = \dfrac{{ – 3}}{{\sqrt x  + 3}}

  • C

    P = \dfrac{{ – 3}}{{\sqrt x  – 3}}

  • D

    P = \dfrac{3}{{\sqrt x  – 3}}

Đáp án: B

Phương pháp giải :

+  Tìm điều kiện

+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức

+ Từ đó rút gọn biểu thức

Lời giải chi tiết :

ĐKXĐ: \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x  – 3 \ne 0\\x – 9 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 9\end{array} \right..

\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  – 3}} – \dfrac{{3x + 3}}{{x – 9}}} \right):\left( {\dfrac{{2\sqrt x  – 2}}{{\sqrt x  – 3}} – 1} \right)\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x  – 3} \right) + \sqrt x \left( {\sqrt x  + 3} \right) – 3x – 3}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  – 3} \right)}}:\dfrac{{2\sqrt x  – 2 – \sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  – 3}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{2x – 6\sqrt x  + x + 3\sqrt x  – 3x – 3}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  – 3} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  – 3}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{ – 3\sqrt x  – 3}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  – 3} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x  – 3}}{{\sqrt x  + 1}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{ – 3\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} = \dfrac{{ – 3}}{{\sqrt x  + 3}}.\end{array}

Vậy P = \dfrac{{ – 3}}{{\sqrt x  + 3}}  với x \ge 0;x \ne 9.

Câu 21.2

Tính giá trị của P biết x = \dfrac{{3 – \sqrt 5 }}{2}

  • A

    \dfrac{7}{{13}}

  • B

    \dfrac{{3\sqrt 5  – 15}}{{10}}

  • C

    \dfrac{7}{{33}}

  • D

    \dfrac{{13}}{7}

Đáp án: B

Phương pháp giải :

+ Sử dụng kết quả câu trước P = \dfrac{{ – 3}}{{\sqrt x  + 3}}  với x \ge 0;x \ne 9.

+ Biến đổi x  để tính \sqrt x .

+ Thay \sqrt x   tìm được vào P = \dfrac{{ – 3}}{{\sqrt x  + 3}}

Lời giải chi tiết :

Ta có: x = \dfrac{{3 – \sqrt 5 }}{2} = \dfrac{{6 – 2\sqrt 5 }}{4} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt 5  – 1} \right)}^2}}}{4}

\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt x  = \sqrt {\dfrac{{{{\left( {\sqrt 5  – 1} \right)}^2}}}{4}}  = \dfrac{{\left| {\sqrt 5  – 1} \right|}}{2} = \dfrac{{\sqrt 5  – 1}}{2}.\\ \Rightarrow P = \dfrac{{ – 3}}{{\dfrac{{\sqrt 5  – 1}}{2} + 3}} = \dfrac{{ – 3.2}}{{\sqrt 5  – 1 + 6}} = \dfrac{{ – 6}}{{\sqrt 5  + 5}} = \dfrac{{ – 6\left( {5 – \sqrt 5 } \right)}}{{{5^2} – 5}} = \dfrac{{6\sqrt 5  – 30}}{{20}} = \dfrac{{3\sqrt 5  – 15}}{{10}}.\end{array}

Câu 21.3

Tìm  x đểP <  – \dfrac{1}{2}   

  • A

    x > 3

  • B

    x \ge 0;x \ne 9       

  • C

    0 \le x < 9

  • D

    x < 9

Đáp án: C

Phương pháp giải :

+ Sử dụng kết quả câu trước P = \dfrac{{ – 3}}{{\sqrt x  + 3}}  với x \ge 0;x \ne 9.

+ Giải bất phương trình  P <  – \dfrac{1}{2}

+ So sánh điều kiện để tìm x.

Lời giải chi tiết :

Ta có P = \dfrac{{ – 3}}{{\sqrt x  + 3}}  với x \ge 0;x \ne 9. Suy ra

\begin{array}{l}P <  – \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow  – \dfrac{3}{{\sqrt x  + 3}} <  – \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{{\sqrt x  + 3}} > \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{3}{{\sqrt x  + 3}} – \dfrac{1}{2} > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{6 – \sqrt x  – 3}}{{2\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} > 0\\ \Leftrightarrow 3 – \sqrt x  > 0\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt x  + 3 > 0\,\,\forall x \ge 0;\,x \ne 9} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt x  < 3 \Leftrightarrow x < 9.\end{array}

Kết hợp với ĐKXĐ ta được với 0 \le x < 9 thì P <  – \dfrac{1}{2}.

Câu 21.4

Có bao nhiêu giá trị x \in Z để P \in Z.

  • A

    0

  • B

    2    

  • C

     1

  • D

     3

Đáp án: C

Phương pháp giải :

+ Sử dụng kết quả câu trước P = \dfrac{{ – 3}}{{\sqrt x  + 3}}  với x \ge 0;x \ne 9.

+ Xét  với x  không là số chính phương

+ Xét với x  là số chính phương khi đó P \in Z \Rightarrow \left( {\sqrt x  + 3} \right) \in U\left( { – 3} \right)

Lời giải chi tiết :

Ta có P = \dfrac{{ – 3}}{{\sqrt x  + 3}}  với x \ge 0;x \ne 9.

+ Với x  không là số chính phương thì \sqrt x   là số vô tỉ nên P = \dfrac{{ – 3}}{{\sqrt x  + 3}} là số vô tỉ (loại)

+ Với x là số chính phương

Ta có:

\begin{array}{l}P \in Z \Leftrightarrow \dfrac{{ – 3}}{{\sqrt x  + 3}} \in Z \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  + 3} \right) \in U\left( { – 3} \right) \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  + 3} \right) \in \left\{ {1;\,3} \right\}\,\,\left( {do\,\,\sqrt x  + 3 > 0\,\,\forall x \ge 0;\,x \ne 9} \right).\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  + 3 = 1\\\sqrt x  + 3 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  =  – 2\,\left( {ktm} \right)\\\sqrt x  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\left( {tm} \right)\end{array}

Vậy x = 0 thì P \in Z.

Câu 22 :

Cho biểu thức: K = \dfrac{{2\sqrt x  + 3\sqrt y }}{{\sqrt {xy}  + 2\sqrt x  – 3\sqrt y  – 6}} – \dfrac{{6 – \sqrt {xy} }}{{\sqrt {xy}  + 2\sqrt x  + 3\sqrt y  + 6}}.

Câu 22.1

Rút gọn K.

  • A

    K = \dfrac{{\sqrt x  + 9}}{{\sqrt x  – 9}}

  • B

    K = \dfrac{{x – 9}}{{x + 9}}

  • C

    K = \dfrac{{x + 9}}{{x – 9}}

  • D

    K = \dfrac{1}{{\sqrt x  + 3}}

Đáp án: C

Phương pháp giải :

+  Tìm điều kiện

+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức

+ Từ đó rút gọn biểu thức

Lời giải chi tiết :

ĐKXĐ: \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\\sqrt {xy}  + 2\sqrt x  – 3\sqrt y  – 6 \ne 0\\\sqrt {xy}  + 2\sqrt x  + 3\sqrt y  + 6 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\\left( {\sqrt y  + 2} \right)\left( {\sqrt x  – 3} \right) \ne 0\\\left( {\sqrt y  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\\sqrt x  \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x \ne 9\end{array} \right..

\begin{array}{l}K = \dfrac{{2\sqrt x  + 3\sqrt y }}{{\sqrt {xy}  + 2\sqrt x  – 3\sqrt y  – 6}} – \dfrac{{6 – \sqrt {xy} }}{{\sqrt {xy}  + 2\sqrt x  + 3\sqrt y  + 6}}\\ = \dfrac{{2\sqrt x  + 3\sqrt y }}{{\left( {\sqrt x  – 3} \right)\left( {\sqrt y  + 2} \right)}} – \dfrac{{6 – \sqrt {xy} }}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt y  + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {2\sqrt x  + 3\sqrt y } \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right) – \left( {6 – \sqrt {xy} } \right)\left( {\sqrt x  – 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  – 3} \right)\left( {\sqrt y  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\ = \dfrac{{2x + 6\sqrt x  + 3\sqrt {xy}  + 9\sqrt y  – \left( {6\sqrt x  – 18 – x\sqrt y  + 3\sqrt {xy} } \right)}}{{\left( {\sqrt x  – 3} \right)\left( {\sqrt y  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\ = \dfrac{{2x + x\sqrt y  + 9\sqrt y  + 18}}{{\left( {\sqrt x  – 3} \right)\left( {\sqrt y  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \dfrac{{\left( {\sqrt y  + 2} \right)\left( {x + 9} \right)}}{{\left( {\sqrt x  – 3} \right)\left( {\sqrt y  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\ = \dfrac{{x + 9}}{{x – 9}}.\end{array}

Vậy K = \dfrac{{x + 9}}{{x – 9}}  với x;y \ge 0;x \ne 9.

Câu 22.2

Nếu K = \dfrac{{y + 81}}{{y – 81}} thì

  • A

    \dfrac{y}{x} là số nguyên chia hết cho 5 .      

  • B

    \dfrac{y}{x} là số nguyên chia hết cho 2 .      

  • C

    \dfrac{y}{x} là số nguyên chia hết cho 3 .      

  • D

    Cả A, B, C đều sai.

Đáp án: C

Phương pháp giải :

+ Sử dụng kết quả câu trước K = \dfrac{{x + 9}}{{x – 9}}  với x;y \ge 0;x \ne 9.

+ Cho K = \dfrac{{y + 81}}{{y – 81}} để tìm ra mối liên hệ giữa x;y  từ đó tìm ra tính chất của \dfrac{y}{x}.

Lời giải chi tiết :

Ta có K = \dfrac{{x + 9}}{{x – 9}}  với x;y \ge 0;x \ne 9. Nên

 \begin{array}{l}K = \dfrac{{y + 81}}{{y – 81}} \Rightarrow \dfrac{{x + 9}}{{x – 9}} = \dfrac{{y + 81}}{{y – 81}}\\ \Rightarrow  \left( {x + 9} \right)\left( {y – 81} \right) = \left( {y + 81} \right)\left( {x – 9} \right)\\ \Leftrightarrow xy + 9y – 81x – 9.81 = xy – 9y + 81x – 9.81\\ \Leftrightarrow 9y = 81x\\ \Leftrightarrow \dfrac{y}{x} = \dfrac{{81}}{9} = 9.\end{array}

Vậy nếu K = \dfrac{{y + 81}}{{y – 81}} thì \dfrac{y}{x} là số nguyên chia hết cho 3.

Câu 23 :

Cho x = \sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } }  + \sqrt {3 – \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } . Tính giá trị của biểu thức P = x\left( {2 – x} \right)

  • A.
    P =  – 2.
  • B.
    P =  2.
  • C.
    P =  – 1.
  • D.
    P =  0.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bình phương biểu thức x và rút gọn.

Sử dụng hằng đẳng thức \sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|.

Xét dấu, phá trị tuyệt đối và rút gọn x.

Thay giá trị x sau khi rút gọn để tính giá trị biểu thức P.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

x = \sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } }  + \sqrt {3 – \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } \,\,\,\left( {x > 0} \right)

\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} = {\left( {\sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } }  + \sqrt {3 – \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } } \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} = 3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 }  + 3 – \sqrt {5 + 2\sqrt 3 }  + 2.\sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } .\sqrt {3 – \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } \\ \Leftrightarrow {x^2} = 6 + 2.\sqrt {9 – \left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)} \\ \Leftrightarrow {x^2} = 6 + 2.\sqrt {4 – 2\sqrt 3 } \\ \Leftrightarrow {x^2} = 6 + 2.\sqrt {{{\left( {\sqrt 3  – 1} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow {x^2} = 6 + 2\left( {\sqrt 3  – 1} \right)\,\,\,\left( {Do\,\,\sqrt 3  – 1 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} = 4 + 2\sqrt 3 \\ \Leftrightarrow {x^2} = {\left( {\sqrt 3  + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow x = \sqrt 3  + 1\,\,\left( {Do\,\,x > 0} \right)\end{array}

Thay x = \sqrt 3  + 1 thì: 

\begin{array}{l}P = x\left( {2 – x} \right) = 2x – {x^2}\\P = 2.\left( {\sqrt 3  + 1} \right) – \left( {4 + 2\sqrt 3 } \right)\\P = 2\sqrt 3  + 2 – 4 – 2\sqrt 3  =  – 2\end{array}

Vậy P =  – 2.

Câu 24 :

Cho A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} và  B = \dfrac{{5\sqrt x – 9}}{{x – 5\sqrt x + 6}} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{3 – \sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x – 2}} với x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9. 

Chọn đáp án đúng nhất:

Câu 24.1

Tính giá trị của biểu thức A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} khi x = 25.

  • A

    A = \dfrac{2}{3}

  • B

    A = \dfrac{5}{6}

  • C

    A = \dfrac{5}{4}

  • D

    A = \dfrac{1}{2}

Đáp án: B

Phương pháp giải :

Tìm điều kiện xác định, thay giá trị của x = 25\,\,\left( {tm} \right) vào biểu thức và tính giá trị của biểu thức.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện xác định: x \ge 0.

Thay x = 25\,\,\,\left( {tm} \right) vào biểu thức ta có: A = \dfrac{{\sqrt {25} }}{{\sqrt {25}  + 1}} = \dfrac{5}{6}.

Vậy x = 25 thì A = \dfrac{5}{6}.

Câu 24.2

Rút gọn biểu thức B = \dfrac{{5\sqrt x – 9}}{{x – 5\sqrt x + 6}} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{3 – \sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x – 2}} với x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9.

  • A

    B = \dfrac{1}{{\sqrt x  – 2}}

  • B

    B = \dfrac{1}{{\sqrt x  – 3}}

  • C

    B = \dfrac{1}{{\sqrt x  + 3}}

  • D

    B = \dfrac{1}{{\sqrt x  + 2}}

Đáp án: B

Phương pháp giải :

Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức đã cho.

Lời giải chi tiết :

Với x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9, ta có:
\begin{array}{l}B = \dfrac{{5\sqrt x – 9}}{{x – 5\sqrt x + 6}} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{3 – \sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x – 2}}\\B = \dfrac{{5\sqrt x – 9}}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}} – \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x – 3}} + \dfrac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x – 2}}\\B = \dfrac{{5\sqrt x – 9 – \left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x – 2} \right) + \left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}}\\B = \dfrac{{5\sqrt x – 9 – x + 4 + x – 4\sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}}\\B = \dfrac{{\sqrt x – 2}}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x – 3} \right)}}\\B = \dfrac{1}{{\sqrt x – 3}}.\end{array}
Vậy B = \dfrac{1}{{\sqrt x – 3}} với x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9.

Câu 24.3

Tìm giá trị của x thỏa mãn \left( {x – 9} \right).B < 2x.

  • A

    x < \dfrac{9}{4}

  • B

    x > \dfrac{4}{9}

  • C

    x > \dfrac{9}{4},\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9

  • D

    x > \dfrac{4}{9},\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9

Đáp án: C

Phương pháp giải :

Thay biểu thức B vừa rút gọn ở câu trên vào bất phương trình, giải bất phương trình tìm x.

Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE