7. Bài tập ôn tập chương 1

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x  – 3 \ne 0\\x – 9 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 9\end{array} \right..\)

$\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  – 3}} – \dfrac{{3x + 3}}{{x – 9}}} \right):\left( {\dfrac{{2\sqrt x  – 2}}{{\sqrt x  – 3}} – 1} \right)\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x  – 3} \right) + \sqrt x \left( {\sqrt x  + 3} \right) – 3x – 3}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  – 3} \right)}}:\dfrac{{2\sqrt x  – 2 – \sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  – 3}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{2x – 6\sqrt x  + x + 3\sqrt x  – 3x – 3}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  – 3} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  – 3}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{ – 3\sqrt x  – 3}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  – 3} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x  – 3}}{{\sqrt x  + 1}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{ – 3\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} = \dfrac{{ – 3}}{{\sqrt x  + 3}}.\end{array}$

Vậy \(P = \dfrac{{ – 3}}{{\sqrt x  + 3}}\)  với \(x \ge 0;x \ne 9.\)

Ta có: $x = \dfrac{{3 – \sqrt 5 }}{2} = \dfrac{{6 – 2\sqrt 5 }}{4} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt 5  – 1} \right)}^2}}}{4}$

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt x  = \sqrt {\dfrac{{{{\left( {\sqrt 5  – 1} \right)}^2}}}{4}}  = \dfrac{{\left| {\sqrt 5  – 1} \right|}}{2} = \dfrac{{\sqrt 5  – 1}}{2}.\\ \Rightarrow P = \dfrac{{ – 3}}{{\dfrac{{\sqrt 5  – 1}}{2} + 3}} = \dfrac{{ – 3.2}}{{\sqrt 5  – 1 + 6}} = \dfrac{{ – 6}}{{\sqrt 5  + 5}} = \dfrac{{ – 6\left( {5 – \sqrt 5 } \right)}}{{{5^2} – 5}} = \dfrac{{6\sqrt 5  – 30}}{{20}} = \dfrac{{3\sqrt 5  – 15}}{{10}}.\end{array}\)

Ta có \(P = \dfrac{{ – 3}}{{\sqrt x  + 3}}\)  với \(x \ge 0;x \ne 9.\) Suy ra

$\begin{array}{l}P <  – \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow  – \dfrac{3}{{\sqrt x  + 3}} <  – \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{{\sqrt x  + 3}} > \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{3}{{\sqrt x  + 3}} – \dfrac{1}{2} > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{6 – \sqrt x  – 3}}{{2\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} > 0\\ \Leftrightarrow 3 – \sqrt x  > 0\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt x  + 3 > 0\,\,\forall x \ge 0;\,x \ne 9} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt x  < 3 \Leftrightarrow x < 9.\end{array}$

Kết hợp với ĐKXĐ ta được với \(0 \le x < 9\) thì $P <  – \dfrac{1}{2}$.

Ta có \(P = \dfrac{{ – 3}}{{\sqrt x  + 3}}\)  với \(x \ge 0;x \ne 9.\)

+ Với \(x\)  không là số chính phương thì \(\sqrt x \)  là số vô tỉ nên \(P = \dfrac{{ – 3}}{{\sqrt x  + 3}}\) là số vô tỉ (loại)

+ Với \(x\) là số chính phương

Ta có:

$\begin{array}{l}P \in Z \Leftrightarrow \dfrac{{ – 3}}{{\sqrt x  + 3}} \in Z \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  + 3} \right) \in U\left( { – 3} \right) \Leftrightarrow \left( {\sqrt x  + 3} \right) \in \left\{ {1;\,3} \right\}\,\,\left( {do\,\,\sqrt x  + 3 > 0\,\,\forall x \ge 0;\,x \ne 9} \right).\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  + 3 = 1\\\sqrt x  + 3 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  =  – 2\,\left( {ktm} \right)\\\sqrt x  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\left( {tm} \right)\end{array}$

Vậy x = 0 thì $P \in Z$.