6. Mệnh đề chứa kí hiệu Với mọi, Tồn tại

1. Lý thuyết

+ Kí hiệu \(\forall \) đọc là “với mọi”

+ Kí hiệu \(\exists \) đọc là “tồn tại”

+  Mệnh đề “\(\forall x \in X,P(x)\)”

Đúng nếu với mọi \({x_0} \in X\), \(P({x_0})\) là mệnh đề đúng.

Sai nếu có \({x_0} \in X\) sao cho \(P({x_0})\) là mệnh đề sai.

+  Mệnh đề “\(\exists x \in X,P(x)\)”

Đúng nếu có \({x_0} \in X\) sao cho \(P({x_0})\) là mệnh đề đúng.

Sai nếu mọi \({x_0} \in X\) ta có \(P({x_0})\) là mệnh đề sai.

+ Mệnh đề phủ định

Phủ định của mệnh đề \(\forall x \in X,P(x)\) là \(\exists x \in X,\overline {P(x)} \).

Phủ định của mệnh đề \(\exists x \in X,P(x)\) là \(\forall x \in X,\overline {P(x)} \).

2. Ví dụ minh họa

A: “Mọi số tự nhiên đều không âm”

B: “Với mọi số thực x, \(\sqrt x \) là số vô tỉ”

C: “Có số tự nhiên n sao cho \(n(n + 2)\) là số chính phương”

+ Viết lại các mệnh đề, sử dụng kí hiệu \(\forall ,\;\exists \)

A: “\(\forall n \in \mathbb{N},n \ge 0\)”

B: “\(\forall x \in \mathbb{R}|\sqrt x \) là số vô tỉ”

C: “\(\exists n \in \mathbb{N}|n(n + 3)\) là số chính phương”

+ Xét tính đúng sai:

Mệnh đề A đúng.

Mệnh đề B sai vì \(x = 1 \in \mathbb{R},\sqrt x  = 1\) không là số vô tỉ.

Mệnh đề C đúng, vì \(n = 1\) thì \(n(n + 3) = 4\) là số chính phương.