Giải mục 2 trang 72, 73 SGK Toán 11 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Hoạt động 2

Cho hai hàm số  và \(y = g\left( x \right) = \frac{x}{{x + 1}}\).

a) Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì thoả mãn \({x_n} \ne  – 1\) với mọi \(n\) và \({x_n} \to 1\) khi \(n \to  + \infty \). Tìm giới hạn \(\lim \left[ {f\left( {{x_n}} \right) + g\left( {{x_n}} \right)} \right]\).

b) Từ đó, tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]\), và so sánh với \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\rm{ }}f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)\).

Phương pháp giải:

a) Áp dụng các công thức tính giới hạn hữu hạn của dãy số.

b) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right],\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\rm{ }}f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)\) bằng cách đưa về tính giới hạn của dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) thỏa mãn \({x_n} \to {x_0}\) khi \(n \to  + \infty \) sau đó so sánh.

Lời giải chi tiết:

a) \(\lim \left[ {f\left( {{x_n}} \right) + g\left( {{x_n}} \right)} \right] = \lim \left( {2{x_n} + \frac{{{x_n}}}{{{x_n} + 1}}} \right) = 2\lim {x_n} + \lim \frac{{{x_n}}}{{{x_n} + 1}} = 2.1 + \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{5}{2}\)

b) Vì \(\lim \left[ {f\left( {{x_n}} \right) + g\left( {{x_n}} \right)} \right] = \frac{5}{2}\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \frac{5}{2}\) (1).

Ta có:   \(\lim {\rm{ }}f\left( {{x_n}} \right) = \lim 2{x_n} = 2\lim {x_n} = 2.1 = 2 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\rm{ }}f\left( x \right) = 2\)

\(\lim g\left( {{x_n}} \right) = \lim \frac{{{x_n}}}{{{x_n} + 1}} = \lim \frac{{{x_n}}}{{{x_n} + 1}} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\rm{ }}g\left( x \right) = \frac{1}{2}\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\rm{ }}f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\rm{ }}f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)\)

Thực hành 2

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  – 2} \left( {{x^2} + 5x – 2} \right)\);      

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} – 1}}{{x – 1}}\).

Phương pháp giải:

a) Áp dụng định lý giới hạn hữu hạn của hàm số.

b) Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành tích các nhân tử.

Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu.

Bước 3: Áp dụng định lý giới hạn hữu hạn của hàm số.

Lời giải chi tiết:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  – 2} \left( {{x^2} + 5x – 2} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – 2} {x^2} + \mathop {\lim }\limits_{x \to  – 2} \left( {5x} \right) – \mathop {\lim }\limits_{x \to  – 2} 2\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – 2} {x^2} + 5\mathop {\lim }\limits_{x \to  – 2} x – \mathop {\lim }\limits_{x \to  – 2} 2 = {\left( { – 2} \right)^2} + 5.\left( { – 2} \right) – 2 =  – 8\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} – 1}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 1 = 1 + 1 = 2\)