3. Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Ta có $\left\{ \begin{array}{l} – x – \sqrt 2 y = \sqrt 3 \\\sqrt 2 x + 2y =  – \sqrt 6 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  – \sqrt 2 y – \sqrt 3 \\\sqrt 2 \left( { – \sqrt 2 y – \sqrt 3 } \right) + 2 y =  – \sqrt 6 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  – \sqrt 2 y – \sqrt 3 \\ – 2y – \sqrt 6  + 2 y =  – \sqrt 6 \end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  – \sqrt 2 y – \sqrt 3 \\ – \sqrt 6  =  – \sqrt 6 \end{array} \right.$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \in \mathbb{R}\\x =  – \sqrt 2 y – \sqrt 3 \end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)\left( {y – 1} \right) = xy – 1\\\left( {x – 3} \right)\left( {y – 3} \right) = xy – 3\end{array} \right.$

$ \left\{ \begin{array}{l}xy – x + y – 1 = xy – 1\\xy – 3x – 3y + 9 = xy – 3\end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} – x + y = 0\\ – 3x – 3y = -12\end{array} \right.$

Từ phương trình thứ nhất ta có: \(x = y\)

Thay vào phương trình thứ hai, ta được:

\(- 6y = -12\) hay \(y=2\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( { 2; 2} \right)$

+) Thay tọa độ điểm $I$ vào phương trình ${d_1}$ ta được $m.\left( { – 2} \right) – 2\left( {3n + 2} \right).3 = 6 $

$- 2m – 18n = 18 $

$m + 9n =  – 9$

+) Thay tọa độ điểm $I$ vào phương trình ${d_2}$ ta được $\left( {3m – 1} \right).\left( { – 2} \right) + 2n.3 = 56$

$  – 6m + 2 + 6n = 56 $

$m – n =  – 9$

Suy ra hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}m + 9n =  – 9\\m – n =  – 9\end{array} \right.$

Thế m theo n vào phương trình thứ hai, ta được:

$  \left\{ \begin{array}{l}m =  – 9 + n\\ – 9 + n + 9n =  – 9\end{array} \right. $

$\left\{ \begin{array}{l}m =  – 9 + n\\10n = 0\end{array} \right. $

$\left\{ \begin{array}{l}n = 0\\m =  – 9\end{array} \right. $

$m.n = 0.$

Vậy $m.n = 0$.

Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình đường thẳng ta được $3a + b =  – 5$

Thay tọa độ điểm $N$ vào phương trình đường thẳng ta được $a + b = 2$

Từ đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 2\\3a + b =  – 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2 – a\\3a + 2 – a = -5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2 – a\\2a = -7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{-7}{2}\\b = \dfrac{11}{2}\end{array} \right.$

Vậy $a = \dfrac{-7}{2};b = \dfrac{11}{2}$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{{2x + y}} + \dfrac{5}{{x + 2y}} = \dfrac{5}{6}\\\dfrac{3}{{2x + y}} – \dfrac{4}{{x + 2y}} =  – \dfrac{3}{5}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.\dfrac{1}{{2x + y}} + 5.\dfrac{1}{{x + 2y}} = \dfrac{5}{6}\\3.\dfrac{1}{{2x + y}} – 4.\dfrac{1}{{x + 2y}} =  – \dfrac{3}{5}\end{array} \right.$

Đặt $\dfrac{1}{{2x + y}} = a;\dfrac{1}{{x + 2y}} = b$ ta được hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2a + 5b = \dfrac{5}{6}\\3a – 4b =  – \dfrac{3}{5}\end{array} \right.$