4. Bài 4: Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Đề bài

Câu 1 :

Hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và $d’:y = a’x + b’\,\,\left( {a’ \ne 0} \right)$ cắt nhau khi

A.

$a \ne a’$
B.

$\left\{ \begin{array}{l}a \ne a’\\b \ne b’\end{array} \right.$
C.

$\left\{ \begin{array}{l}a = a’\\b \ne b’\end{array} \right.$
D.

$\left\{ \begin{array}{l}a \ne a’\\b = b’\end{array} \right.$

Câu 2 :

Hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và $d’:y = a’x + b’\,\,\left( {a’ \ne 0} \right)$ có $a = a’$ và $b \ne b’$. Khi đó

A.

$d{\rm{//}}d’$
B.

$d \equiv d’$
C.

$d$ cắt $d’$
D.

$d \bot d’$

Câu 3 :

Cho hai đường thẳng $d:y = x + 3$ và $d’:y = – 2x$. Khi đó

A.

$d{\rm{//}}d’$
B.

$d \equiv d’$
C.

$d$ cắt $d’$
D.

$d \bot d’$

Câu 4 :

Cho hai đồ thị của hàm số bậc nhất là hai đường thẳng $d:y = \left( {m + 2} \right)x – m$ và $d’:y = – 2x – 2m + 1$. Với giá trị nào của $m$ thì $d$ cắt $d’$?

A.

$m \ne – 2$
B.

$m \ne – 4$
C.

$m \ne \left\{ { – 2; – 4} \right\}$
D.

$m \ne \left\{ {2; – 4} \right\}$

Câu 5 :

Cho hai đường thẳng $d:y = \left( {m + 2} \right)x – m$ và $d’:y = – 2x – 2m + 1$ là đồ thị của hai hàm số bậc nhất. Với giá trị nào của $m$ thì $d$//$d’$

A.

$m = – 2$
B.

$m = – 4$
C.

$m = 2$
D.

$m \ne \left\{ {2; – 4} \right\}$

Câu 6 :

Cho hai đường thẳng $d:y = \left( {m + 2} \right)x – m$ và $d’:y = – 2x – 2m + 1$ .Với giá trị nào của $m$ thì $d \equiv d’$?

A.

$m = – 2$
B.

$m = – 4$
C.

$m = 2$
D.

Không có $m$ thỏa mãn

Câu 7 :

Cho hàm số $y = \left( {m – 5} \right)x – 4$. Tìm $m$ để hàm số nhận giá trị là $5$ khi $x = 3$.

A.

$m = 6$
B.

$m = 7$
C.

$m = 8$
D.

$m = – 3$

Câu 8 :

Viết phương trình đường thẳng $d$ biết $d$ cắt trục tung tại tại điểm có tung độ bằng $ – 2$ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $1$.

A.

$y = 2x + 2$
B.

$y = – 2x – 2$
C.

$y = 3x – 2$
D.

$y = 2x – 2$

Câu 9 :

Viết phương trình đường thẳng $d$ biết $d$ song song với đường thẳng $d’:y = 3x + 1$ và đi qua điểm $M\left( { – 2;2} \right)$.

A.

$y = 2x + 8$
B.

$y = 3x + 8$
C.

$y = 3x – 8$
D.

$y = 3x$

Câu 10 :

Viết phương trình đường thẳng $d$ biết $d$ vuông góc với đường thẳng $d’:y = – \dfrac{1}{2}x + 3$ và đi qua điểm $M\left( {2; – 1} \right)$.

A.

$y = 2x + 5$
B.

$y = – x + 4$
C.

$y = 2x – 5$
D.

$y = – \dfrac{1}{2}x$

Câu 11 :

Viết phương trình đường thẳng $d$ biết $d$ vuông góc với đường thẳng $y = \dfrac{1}{3}x + 3$ và cắt đường thẳng $y = 2x + 1$ tại điểm có tung độ bằng 5.

A.

$y = – 3x + 11$
B.

$y = – 3x + 4$
C.

$y = – 3x$
D.

$y = 3x + 11$

Câu 12 :

Viết phương trình đường thẳng $d$ biết $d$ song song với đường thẳng $y = – 2x + 1$ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $3$ .

A.

$y = – 2x + 6$
B.

$y = – 3x + 6$
C.

$y = – 2x – 4$
D.

$y = – 2x + 1$

Câu 13 :

Viết phương trình đường thẳng $d$ biết $d$ đi qua hai điểm $A\left( {1;2} \right);B\left( { – 2;0} \right).$

A.

$y = – \dfrac{2}{3}x – \dfrac{4}{3}$
B.

$y = – \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{3}$
C.

$y = \dfrac{2}{3}x – \dfrac{4}{3}$
D.

$y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{3}$

Câu 14 :

Tìm điểm cố định mà đường thẳng $d:y = 3mx – \left( {m + 3} \right)$ đi qua với mọi $m$.

A.

$M\left( {\dfrac{1}{3};3} \right)$
B.

$M\left( {\dfrac{1}{3}; – 3} \right)$
C.

$M\left( { – \dfrac{1}{3}; – 3} \right)$
D.

$M\left( -{\dfrac{1}{3};3} \right)$

Câu 15 :

Cho tam giác $ABC$ có đường thẳng $BC:y = – \dfrac{1}{3}x + 1$ và $A\left( {1,2} \right)$ . Viết phương trình đường cao $AH$ của tam giác $ABC$ .

A.

$y = 3x – \dfrac{2}{3}$
B.

$y = 3{\rm{x}} + \dfrac{2}{3}$
C.

$y = 3{\rm{x}} + 2$
D.

Đáp án khác

Câu 16 :

Cho đường thẳng $d:y = ({m^2} – 2m + 2)x + 4$. Tìm $m$ để $d$ cắt $Ox$ tại $A$ và cắt $Oy$ tại $B$ sao cho diện tích tam giác $AOB$ lớn nhất.

A.

$m = 1$
B.

$m = 0$
C.

$m = – 1$
D.

$m = 2$

Câu 17 :

Điểm cố định mà đường thẳng $d:y = \dfrac{{\sqrt k + 1}}{{\sqrt 3 – 1}}x + \sqrt k + \sqrt 3(k \ge 0)$ luôn đi qua là:

A.

$M\left( {1 – \sqrt 3 ;\sqrt 3 – 1} \right)$
B.

$M\left( {\sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right)$
C.

$M\left( {\sqrt 3 ;\sqrt 3 – 1} \right)$
D.

Cả A, B, C đều sai.

Câu 18 :

Cho đường thẳng $d:y = (2m + 1)x – 1$. Tìm $m$ để $d$ cắt 2 trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng $\dfrac{1}{2}$.

A.

$m = 0$
B.

$m = 1$
C.

$m = – 1$
D.

Cả A và C đều đúng

Câu 19 :

Cho đường thẳng $d:y = mx + m – 1$. Tìm $m$ để d cắt $Ox$ tại $A$ và cắt $Oy$ tại $B$ sao cho tam giác $AOB$ vuông cân.

A.

$m < 1$
B.

$m = 1$
C.

$m > 1$
D.

$m = 1$ hoặc $m = – 1$

Câu 20 :

Cho đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):\,\,y = ax + b$ song song với đường thẳng $\left( {{d_2}} \right):\,\,\,y = 2x + 2019$ và cắt trục tung tại điểm $A\left( {0; – 2} \right).$ Giá trị của biểu thức ${a^2} + {b^3}$ bằng:

A.
$ – 6$
B.
$ – 2$
C.
$ – 4$
D.
$12$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và $d’:y = a’x + b’\,\,\left( {a’ \ne 0} \right)$ cắt nhau khi

A.

$a \ne a’$
B.

$\left\{ \begin{array}{l}a \ne a’\\b \ne b’\end{array} \right.$
C.

$\left\{ \begin{array}{l}a = a’\\b \ne b’\end{array} \right.$
D.

$\left\{ \begin{array}{l}a \ne a’\\b = b’\end{array} \right.$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Cho hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và $d’:y = a’x + b’\,\,\left( {a’ \ne 0} \right)$.

$d$ cắt $d’$$ \Leftrightarrow a \ne a’$.

Câu 2 :

Hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và $d’:y = a’x + b’\,\,\left( {a’ \ne 0} \right)$ có $a = a’$ và $b \ne b’$. Khi đó

A.

$d{\rm{//}}d’$
B.

$d \equiv d’$
C.

$d$ cắt $d’$
D.

$d \bot d’$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Cho hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và $d’:y = a’x + b’\,\,\left( {a’ \ne 0} \right)$.

+) $d{\rm{//}}d’ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a’\\b \ne b’\end{array} \right.$

+) $d$ cắt $d’$$ \Leftrightarrow a \ne a’$.

+) $d \equiv d’ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a’\\b = b’\end{array} \right.$.

+) $d \bot d’ \Leftrightarrow a.a’ = – 1$.

Câu 3 :

Cho hai đường thẳng $d:y = x + 3$ và $d’:y = – 2x$. Khi đó

A.

$d{\rm{//}}d’$
B.

$d \equiv d’$
C.

$d$ cắt $d’$
D.

$d \bot d’$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và $d’:y = a’x + b’\,\,\left( {a’ \ne 0} \right)$.

+) $d{\rm{//}}d’ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a’\\b \ne b’\end{array} \right.$

+) $d$cắt$d’$$ \Leftrightarrow a \ne a’$.

+) $d \equiv d’ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a’\\b = b’\end{array} \right.$.

+) $d \bot d’ \Leftrightarrow a.a’ = – 1$.

Lời giải chi tiết :

Ta thấy $d:y = x + 3$ có $a = 1$ và $d’:y = – 2x$ có $a’ = – 2$$ \Rightarrow a \ne a’\left( {1 \ne – 2} \right)$ nên $d$ cắt $d’$.

Câu 4 :

A.

$m \ne – 2$
B.

$m \ne – 4$
C.

$m \ne \left\{ { – 2; – 4} \right\}$
D.

$m \ne \left\{ {2; – 4} \right\}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+) Tìm điều kiện để hàm số $y=ax+b$ là hàm số bậc nhất là $a\ne 0$

+) Sử dụng vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và $d’:y = a’x + b’\,\,\left( {a’ \ne 0} \right)$.

+) $d{\rm{//}}d’ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a’\\b \ne b’\end{array} \right.$

+) $d$ cắt $d’$$ \Leftrightarrow a \ne a’$.

+) $d \equiv d’ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a’\\b = b’\end{array} \right.$.

+) $d \bot d’ \Leftrightarrow a.a’ = – 1$.

Lời giải chi tiết :

+) Ta thấy $d:y = \left( {m + 2} \right)x – m$ có $a = m + 2$ và $d’:y = – 2x – 2m + 1$ có $a’ = – 2$ .

+) Để $y = \left( {m + 2} \right)x – m$ là hàm số bậc nhất thì $m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne – 2$

+) Để $d$ cắt $d’$$ \Leftrightarrow a \ne a’$

$ \Leftrightarrow m + 2 \ne – 2 \Leftrightarrow m \ne – 4$

Vậy $m \ne \left\{ { – 2; – 4} \right\}$.

Câu 5 :

Cho hai đường thẳng $d:y = \left( {m + 2} \right)x – m$ và $d’:y = – 2x – 2m + 1$ là đồ thị của hai hàm số bậc nhất. Với giá trị nào của $m$ thì $d$//$d’$

A.

$m = – 2$
B.

$m = – 4$
C.

$m = 2$
D.

$m \ne \left\{ {2; – 4} \right\}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và $d’:y = a’x + b’\,\,\left( {a’ \ne 0} \right)$.

+) $d{\rm{//}}d’ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a’\\b \ne b’\end{array} \right.$

+) $d$ cắt $d’$$ \Leftrightarrow a \ne a’$.

+) $d \equiv d’ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a’\\b = b’\end{array} \right.$.

+) $d \bot d’ \Leftrightarrow a.a’ = – 1$.

Lời giải chi tiết :

Ta thấy $d:y = \left( {m + 2} \right)x – m$ có $a = m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne – 2$ và $d’:y = – 2x – 2m + 1$ có $a’ = – 2 \ne 0$ .

Để $d$//$d’$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a’\\b \ne b’\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 2 = – 2\\ – m \ne – 2m + 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = – 4\\m \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = – 4$ (TM) .

Câu 6 :

Cho hai đường thẳng $d:y = \left( {m + 2} \right)x – m$ và $d’:y = – 2x – 2m + 1$ .Với giá trị nào của $m$ thì $d \equiv d’$?

A.

$m = – 2$
B.

$m = – 4$
C.

$m = 2$
D.

Không có $m$ thỏa mãn

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng $d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ và $d’:y = a’x + b’\,\,\left( {a’ \ne 0} \right)$.

+) $d{\rm{//}}d’ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a’\\b \ne b’\end{array} \right.$

+) $d$ cắt $d’$$ \Leftrightarrow a \ne a’$.

+) $d \equiv d’ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a’\\b = b’\end{array} \right.$.

+) $d \bot d’ \Leftrightarrow a.a’ = – 1$.

Lời giải chi tiết :

+) Ta thấy $d:y = \left( {m + 2} \right)x – m$ có $a = m + 2$ và $d’:y = – 2x – 2m + 1$ có $a’ = – 2$ .

+) Điều kiện để $y = \left( {m + 2} \right)x – m$ là hàm số bậc nhất $m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne – 2$

+) Để $d$$ \equiv $$d’$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a’\\b = b’\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 2 = – 2\\ – m = – 2m + 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = – 4\\m = 1\end{array} \right.$ (vô lý)

Vậy không có giá trị nào của $m$ để $d$$ \equiv $$d’$.

Câu 7 :

Cho hàm số $y = \left( {m – 5} \right)x – 4$. Tìm $m$ để hàm số nhận giá trị là $5$ khi $x = 3$.

A.

$m = 6$
B.

$m = 7$
C.

$m = 8$
D.

$m = – 3$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Thay $x,y$ vào hàm số đã cho để tìm $m.$

Lời giải chi tiết :

Thay $x = 3;y = 5$ vào hàm số $y = \left( {m – 5} \right)x – 4$ ta được $\left( {m – 5} \right).3 – 4 = 5 \Leftrightarrow \left( {m – 5} \right).3 = 9 \Leftrightarrow m – 5 = 3 \Leftrightarrow m = 8$

Vậy $m = 8$.

Câu 8 :

Viết phương trình đường thẳng $d$ biết $d$ cắt trục tung tại tại điểm có tung độ bằng $ – 2$ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $1$.

A.

$y = 2x + 2$
B.

$y = – 2x – 2$
C.

$y = 3x – 2$
D.

$y = 2x – 2$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Ta có $y = ax + b$ với $a \ne 0$ là phương trình đường thẳng cắt trục tung tại điểm $A\left( {0;b} \right)$, cắt trục hoành tại điểm $B\left( { – \dfrac{b}{a};0} \right)$.

Bước 1: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là $y = ax + b\,\,$ $ (a \ne 0)$

Bước 2: Thay tọa độ hai điểm $A,B$ vào phương trình đường thẳng để tìm hệ số $a,b$.

Lời giải chi tiết :

Gọi phương trình đường thẳng $d$ cần tìm là $y = ax + b\,\,$ $ (a \ne 0)$

Vì $d$ cắt trục tung tại tại điểm có tung độ bằng $ – 2$ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $1$ nên $d$ đi qua hai điểm $A\left( {0; – 2} \right);B\left( {1;0} \right)$.

Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $a.0 + b = – 2 \Rightarrow b = – 2$.

Thay tọa độ điểm $B$ và $b = – 2$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $a.1 – 2 = 0 \Leftrightarrow a = 2$.

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $y = 2x – 2$.

Câu 9 :

Viết phương trình đường thẳng $d$ biết $d$ song song với đường thẳng $d’:y = 3x + 1$ và đi qua điểm $M\left( { – 2;2} \right)$.

A.

$y = 2x + 8$
B.

$y = 3x + 8$
C.

$y = 3x – 8$
D.

$y = 3x$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là $y = ax + b\,\,$ $ (a \ne 0)$

Bước 2: Tìm hệ số $a$ theo mối quan hệ song song.

Bước 3: Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình đường thẳng ta tìm được $b$.

Lời giải chi tiết :

Gọi phương trình đường thẳng $d$ cần tìm là $y = ax + b\,\,$ $ (a \ne 0)$

Vì $d$//$d’$ nên $\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b \ne 1\end{array} \right.$$ \Rightarrow d:y = 3x + b$

Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $3.\left( { – 2} \right) + b = 2 \Leftrightarrow b = 8$( thỏa mãn)

Vậy phương trình đường thẳng $d:y = 3x + 8$

Câu 10 :

Viết phương trình đường thẳng $d$ biết $d$ vuông góc với đường thẳng $d’:y = – \dfrac{1}{2}x + 3$ và đi qua điểm $M\left( {2; – 1} \right)$.

A.

$y = 2x + 5$
B.

$y = – x + 4$
C.

$y = 2x – 5$
D.

$y = – \dfrac{1}{2}x$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là $y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$

Bước 2: Tìm hệ số $a$ theo mối quan hệ vuông góc.

Bước 3: Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình đường thẳng ta tìm được $b$.

Lời giải chi tiết :

Gọi phương trình đường thẳng $d$ cần tìm là $y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$

Vì $d$$ \bot $$d’$ nên $a.\left( { – \dfrac{1}{2}} \right) = – 1 \Leftrightarrow a = 2$ (TM)

$ \Rightarrow d:y = 2x + b$

Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $2.2 + b = – 1 \Leftrightarrow b = – 5$

Vậy phương trình đường thẳng $d:y = 2x – 5$.

Câu 11 :

A.

$y = – 3x + 11$
B.

$y = – 3x + 4$
C.

$y = – 3x$
D.

$y = 3x + 11$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là $y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$

Bước 2: Tìm hệ số $a$ theo mối quan hệ vuông góc.

Bước 3: Tìm tọa độ điểm $M$ là giao của đường thẳng $d$ với đường thẳng cho trước rồi thay tọa độ vào phương trình đường thẳng ta tìm được $b$.

Lời giải chi tiết :

Gọi phương trình đường thẳng $d$ cần tìm là $y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$

Vì $d$$ \bot $$d’$ nên $a.\dfrac{1}{3} = – 1 \Leftrightarrow a = – 3$$ \Rightarrow d:y = – 3x + b$

Gọi điểm $M\left( {x;5} \right)$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và đường thẳng $y = 2x + 1$

Khi đó $2x + 1 = 5 \Leftrightarrow 2x = 4 \Leftrightarrow x = 2$$ \Rightarrow M\left( {2;5} \right)$

Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $ – 3.2 + b = 5 \Leftrightarrow b = 11$

Vậy phương trình đường thẳng $d:y = – 3x + 11$.

Câu 12 :

Viết phương trình đường thẳng $d$ biết $d$ song song với đường thẳng $y = – 2x + 1$ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $3$ .

A.

$y = – 2x + 6$
B.

$y = – 3x + 6$
C.

$y = – 2x – 4$
D.

$y = – 2x + 1$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là $y = ax + b\,\,$ $ (a \ne 0)$

Bước 2: Tìm hệ số $a$ theo mối quan hệ song song.

Bước 3: Tìm tọa độ điểm $M$ là giao của đường thẳng $d$với trục hoành rồi thay tọa độ vào phương trình đường thẳng ta tìm được $b$.

Lời giải chi tiết :

Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là $y = ax + b\,\,$ $ (a \ne 0).$

Vì $d$ song song với đường thẳng $y = – 2x + 1$ nên $a = – 2;b \ne 1 \Rightarrow y = – 2x + b$

Giao điểm của đường thẳng $d$ với trục hoành có tọa độ $\left( {3;0} \right)$

Thay $x = 3;y = 0$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $ – 2.3 + b = 0 \Leftrightarrow b = 6\,\left( {TM} \right) \Rightarrow y = – 2x + 6$

Vậy $d:y = – 2x + 6$.

Câu 13 :

Viết phương trình đường thẳng $d$ biết $d$ đi qua hai điểm $A\left( {1;2} \right);B\left( { – 2;0} \right).$

A.

$y = – \dfrac{2}{3}x – \dfrac{4}{3}$
B.

$y = – \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{3}$
C.

$y = \dfrac{2}{3}x – \dfrac{4}{3}$
D.

$y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{3}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là $y = ax + b\,\,$ $(a \ne 0)$

Bước 2: Thay tọa độ hai điểm $A,B$ vào phương trình đường thẳng $d$ để tìm hệ số $a,b$.

Lời giải chi tiết :

Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là $y = ax + b\,\,$

Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $a + b = 2$$ \Rightarrow b = 2 – a$

Thay tọa độ điểm $B$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $ – 2a + b = 0$$ \Rightarrow b = 2a$

Suy ra $2a = 2 – a \Leftrightarrow a = \dfrac{2}{3}$ (TM)

$ \Rightarrow b = 2.\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3} \Rightarrow y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{3}$.

Vậy $d:y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{4}{3}$.

Câu 14 :

Tìm điểm cố định mà đường thẳng $d:y = 3mx – \left( {m + 3} \right)$ đi qua với mọi $m$.

A.

$M\left( {\dfrac{1}{3};3} \right)$
B.

$M\left( {\dfrac{1}{3}; – 3} \right)$
C.

$M\left( { – \dfrac{1}{3}; – 3} \right)$
D.

$M\left( -{\dfrac{1}{3};3} \right)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Gọi $M\left( {x;y} \right)$ là điểm cần tìm khi đó tọa độ điểm $M\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn phương trình đường thẳng $d$.

Đưa phương trình đường thẳng $d$ về phương trình bậc nhất ẩn $m$.

Từ đó để phương trình bậc nhất $ax + b = 0$ luôn đúng thì $a = b = 0$

Giải điều kiện ta tìm được $x,y$.

Khi đó $M\left( {x;y} \right)$ là điểm cố định cần tìm.

Lời giải chi tiết :

Gọi $M\left( {x;y} \right)$ là điểm cố định cần tìm khi đó

$3mx – \left( {m + 3} \right) = y\,$ đúng với mọi $m$

$ \Leftrightarrow 3mx – m – 3 – y = 0$ đúng với mọi $m$

$ \Leftrightarrow m\left( {3x – 1} \right) + – 3 – y = 0$ đúng với mọi $m$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x – 1 = 0\\ – 3 – y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{3}\\y = – 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\dfrac{1}{3}; – 3} \right)$

Vậy điểm $M\left( {\dfrac{1}{3}; – 3} \right)$ là điểm cố định cần tìm.

Câu 15 :

Cho tam giác $ABC$ có đường thẳng $BC:y = – \dfrac{1}{3}x + 1$ và $A\left( {1,2} \right)$ . Viết phương trình đường cao $AH$ của tam giác $ABC$ .

A.

$y = 3x – \dfrac{2}{3}$
B.

$y = 3{\rm{x}} + \dfrac{2}{3}$
C.

$y = 3{\rm{x}} + 2$
D.

Đáp án khác

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức

+) Cho $d:\, y=ax+b \,(a\ne 0)$ và $d’:\, y=a’x+b’\,(a’\ne 0)$, thì $d \bot d’ \Leftrightarrow a.a’ = – 1$

+) Điểm thuộc đường thẳng.

Lời giải chi tiết :

Giả sử $AH:y = {\rm{ax}} + b$

Vì $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$ nên $AH$ vuông góc với $BC$ nên: $a.\dfrac{{ – 1}}{3} = – 1 \Leftrightarrow a = 3$

Mặt khác $AH$ đi qua $A\left( {1;2} \right)$ nên ta có: $3.1 + b = 2 \Leftrightarrow b = – 1$

Vậy $AH:y = 3x – 1$.

Câu 16 :

Cho đường thẳng $d:y = ({m^2} – 2m + 2)x + 4$. Tìm $m$ để $d$ cắt $Ox$ tại $A$ và cắt $Oy$ tại $B$ sao cho diện tích tam giác $AOB$ lớn nhất.

A.

$m = 1$
B.

$m = 0$
C.

$m = – 1$
D.

$m = 2$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và 2 trục tọa độ.

Biện luận và giải phương trình.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}d \cap Oy = \left\{ B \right\}\\x_B = 0 \Rightarrow y_B = 4 \Rightarrow B(0;4) \Rightarrow OB = |4| = 4\\d \cap {\rm{Ox}} = \left\{ A \right\}\\y_A = 0 \Leftrightarrow ({m^2} – 2m + 2)x_A + 4 = 0 \\\Leftrightarrow x_A = \dfrac{{ – 4}}{{{m^2} – 2m + 2}} \Rightarrow A\left( {\dfrac{{ – 4}}{{{m^2} – 2m + 2}};0} \right)\\ \Rightarrow OA = \left| {\dfrac{{ – 4}}{{{m^2} – 2m + 2}}} \right|\end{array}$

${S_{\Delta AOB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB $$= \dfrac{1}{2}.4.\left| {\dfrac{{ – 4}}{{{m^2} – 2m + 2}}} \right| $$= \dfrac{8}{{{{(m – 1)}^2} + 1}}$

Ta có ${(m – 1)^2} + 1 \ge 1\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\forall m}\end{array}$

Do đó ${S_{\Delta AOB}} = \dfrac{8}{{{{(m – 1)}^2} + 1}} \le \dfrac{8}{1} = 8$

Dấu “=” xảy ra khi $m – 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$.

Hay tam giác $OAB$ có diện tích lớn nhất là $8$ khi $m=1.$

Câu 17 :

Điểm cố định mà đường thẳng $d:y = \dfrac{{\sqrt k + 1}}{{\sqrt 3 – 1}}x + \sqrt k + \sqrt 3(k \ge 0)$ luôn đi qua là:

A.

$M\left( {1 – \sqrt 3 ;\sqrt 3 – 1} \right)$
B.

$M\left( {\sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right)$
C.

$M\left( {\sqrt 3 ;\sqrt 3 – 1} \right)$
D.

Cả A, B, C đều sai.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

$M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm cố định mà d luôn đi qua$ \Leftrightarrow M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in d,\forall m \Leftrightarrow m.A + B = 0,\forall m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.$

Giải hệ phương trình tìm nghiệm.

Lời giải chi tiết :

Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm cố định mà d luôn đi qua.

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in d\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\forall k\\ \Leftrightarrow {y_0} = \dfrac{{\sqrt k + 1}}{{\sqrt 3 – 1}}{x_0} + \sqrt k + \sqrt 3 \begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\forall k\\ \Leftrightarrow \sqrt k {x_0} + {x_0} + \sqrt {3k} – \sqrt k – \sqrt 3 + 3 – \sqrt 3 {y_0} + {y_0} = 0\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\forall k\\ \Leftrightarrow \sqrt k ({x_0} + \sqrt 3 – 1) + {x_0} + 3 – \sqrt 3 + (1 – \sqrt 3 ){y_0} = 0\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}\end{array}\forall k\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} + \sqrt 3 – 1 = 0\\{x_0} + (1 – \sqrt 3 ){y_0} + 3 – \sqrt 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1 – \sqrt 3 \$1 – \sqrt 3 ) + (1 – \sqrt 3 ){y_0} + 3 – \sqrt 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1 – \sqrt 3 \\(1 – \sqrt 3 ){y_0} + 4 – 2\sqrt 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1 – \sqrt 3 \\(1 – \sqrt 3 ){y_0} + {(1 – \sqrt 3 )^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1 – \sqrt 3 \\{y_0} = – 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array}$

$ \Rightarrow M\left( {1 – \sqrt 3 ;\sqrt 3 – 1} \right)$là điểm cố định mà d luôn đi qua.

Câu 18 :

Cho đường thẳng $d:y = (2m + 1)x – 1$. Tìm $m$ để $d$ cắt 2 trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng $\dfrac{1}{2}$.

A.

$m = 0$
B.

$m = 1$
C.

$m = – 1$
D.

Cả A và C đều đúng

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và các trục tọa độ

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông

Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối để tìm $m$

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}d \cap Oy = \left\{ B \right\} \Rightarrow x_B = 0 \Rightarrow y_B = – 1\\ \Rightarrow B(0; – 1) \Rightarrow OB = | – 1| = 1\\d \cap {\rm{Ox}} = \left\{ A \right\} \Rightarrow y_A = 0 \\\Leftrightarrow (2m + 1)x – 1 = 0 \Leftrightarrow x_A = \dfrac{1}{{2m + 1}}(m \ne \dfrac{{ – 1}}{2})\\ \Rightarrow A\left( {\dfrac{1}{{2m + 1}};0} \right) \Rightarrow OA = \left| {\dfrac{1}{{2m + 1}}} \right|\end{array}$

${S_{\Delta AOB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.1.\left| {\dfrac{1}{{2m + 1}}} \right| = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow |2m + 1| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = – 1\end{array} \right.(tmdk)$

Câu 19 :

Cho đường thẳng $d:y = mx + m – 1$. Tìm $m$ để d cắt $Ox$ tại $A$ và cắt $Oy$ tại $B$ sao cho tam giác $AOB$ vuông cân.

A.

$m < 1$
B.

$m = 1$
C.

$m > 1$
D.

$m = 1$ hoặc $m = – 1$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức

Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và 2 trục tọa độ.

Điều kiện để có tam giác cân.

Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}d \cap Oy = \left\{ B \right\}\\x_B = 0 \Rightarrow y_B = m – 1\\ \Rightarrow B(0;m – 1) \Rightarrow OB = |m – 1|\\d \cap {\rm{Ox}} = \left\{ A \right\}\\y_A = 0 \Leftrightarrow mx_A + m – 1 = 0 \Leftrightarrow x_A = \dfrac{{1 – m}}{m}(m \ne 0)\\ \Rightarrow A\left( {\dfrac{{1 – m}}{m};0} \right) \Rightarrow OA = \left| {\dfrac{{1 – m}}{m}} \right|\end{array}$

Tam giác OAB vuông cân tại O

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow OA = OB \Leftrightarrow |m – 1| = \left| {\dfrac{{1 – m}}{m}} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m – 1 = \dfrac{{1 – m}}{m}\\m – 1 = \dfrac{{m – 1}}{m}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 1\\(m – 1)\left( {1 – \dfrac{1}{m}} \right) = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \pm 1\\\dfrac{{{{\left( {m – 1} \right)}^2}}}{m} = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow m = \pm 1\end{array}$

Câu 20 :

A.
$ – 6$
B.
$ – 2$
C.
$ – 4$
D.
$12$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hai đường thẳng $y = ax + b$ và $y = a’x + b’$ song song với nhau $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a’\\b \ne b’\end{array} \right..$

Lời giải chi tiết :

Theo đề bài ta có:${d_1}//{d_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b \ne 2019\end{array} \right. \Rightarrow {d_1}:\,\,\,y = 2x + b.$

${d_1}$ cắt trục tung tại $A\left( {0; – 2} \right) \Rightarrow – 2 = 2.0 + b \Leftrightarrow b = – 2\,\,\left( {tm} \right)$

$ \Rightarrow {a^2} + {b^3} = {2^2} + {\left( { – 2} \right)^3} = 4 – 8 = – 4.$

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE