Giải bài 10 trang 95 sách bài tập toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 1

Cho điểm M thay đổi trên parabol $y = {x^2}$ ; H là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành. Gọi x là hoành độ của điểm H. Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {OM – MH} \right)$

Đề bài

Cho điểm M thay đổi trên parabol $y = {x^2}$ ; H là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành. Gọi x là hoành độ của điểm H. Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {OM – MH} \right)$

Phương pháp giải – Xem chi tiết

+ Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới của hàm số tại vô cực để tính: Cho $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = M$ , khi đó: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right] = L \pm M$ , $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{L}{M}$

+ Sử dụng kiến thức về giới hạn hữu hạn cơ bản để tính: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } c = c,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0$ (với c là hằng số, k là số nguyên dương)

Lời giải chi tiết

Ta có: $M\left( {x;{x^2}} \right)$ , $OM = \sqrt {{x^2} + {x^4}}$ , $MH = {x^2}$ .

Nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {OM – MH} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + {x^4}} – {x^2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + {x^4}} + {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} + 1} + 1}} = \frac{1}{2}$ .