Giải bài 9 trang 95 sách bài tập toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x – 3}}\).

a) Xét tính liên tục của hàm số đã cho.

b) Tìm các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Hàm số f(x) xác định khi \(x – 3 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 3\). Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là \(D = \left( { – \infty ;3} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\). Suy ra, hàm số f(x) liên tục trên \(\left( { – \infty ;3} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x + 1}}{{x – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1 – \frac{3}{x}}} = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \frac{{2x + 1}}{{x – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1 – \frac{3}{x}}} = 2\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {2x + 1} \right) = 2.3 + 1 = 7 > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{1}{{x – 3}} =  + \infty \)

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left[ {\left( {2x + 1} \right).\frac{1}{{x – 3}}} \right] =  + \infty \)

Lại có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} \left( {2x + 1} \right) = 2.3 + 1 = 7 > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} \frac{1}{{x – 3}} =  – \infty \)

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} \frac{{2x + 1}}{{x – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} \left[ {\left( {2x + 1} \right).\frac{1}{{x – 3}}} \right] =  – \infty \)