Giải bài 4 trang 94 sách bài tập toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Cho $a > b > 0$ và $\lim \frac{{{a^{n + 1}} + {b^n}}}{{2{a^n} + {b^{n + 1}}}} = 1$. Tìm giá trị của a.

Lời giải chi tiết

Vì $a > b > 0 \Rightarrow 0 < \frac{b}{a} < 1 \Rightarrow \lim {\left( {\frac{b}{a}} \right)^n} = 0$

Ta có: $\lim \frac{{{a^{n + 1}} + {b^n}}}{{2{a^n} + {b^{n + 1}}}} = \lim \frac{{1 + \frac{1}{a}{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^n}}}{{\frac{2}{a} + {{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^{n + 1}}}} = \frac{{1 + \lim \left[ {\frac{1}{a}{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^n}} \right]}}{{\frac{2}{a} + \lim {{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^{n + 1}}}} = \frac{a}{2}$

Mà $\lim \frac{{{a^{n + 1}} + {b^n}}}{{2{a^n} + {b^{n + 1}}}} = 1$ nên $\frac{a}{2} = 1 \Rightarrow a = 2$