Bài 9 trang 98 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Một hộp có 5 quả bóng xanh, 6 quả bóng đỏ và 4 quả bóng vàng có kích thước và khối lượng như nhau. Chọn ra ngẫu nhiên từ hộp 4 quả bóng. Tính xác suất của các biến cố:

$A$: “Cả 4 quả bóng lấy ra có cùng màu”;

$B$: “Trong 4 bóng lấy ra có đủ cả 3 màu”.

Lời giải chi tiết

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 quả bóng trong tổng số 15 quả bóng có ${C}_{15}^4 = 1365$ cách.

$\Rightarrow n\left( \Omega  \right) = 1365$

Gọi ${A_1}$ là biến cố “Cả 4 quả bóng lấy ra đều có cùng màu xanh”, ${A_2}$ là biến cố “Cả 4 quả bóng lấy ra đều có cùng màu đỏ”, ${A_3}$ là biến cố “Cả 4 quả bóng lấy ra đều có cùng màu vàng”.

Vậy $A = {A_1} \cup {A_2} \cup {A_3}$ là biến cố “Cả 4 quả bóng lấy ra có cùng màu”.

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 quả bóng trong tổng số 5 quả bóng xanh có ${C}_5^4 = 5$ cách.

$\Rightarrow n\left( {{A_1}} \right) = 5 \Rightarrow P\left( {{A_1}} \right) = \frac{{n\left( {{A_1}} \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{5}{{1365}} = \frac{1}{{273}}$

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 quả bóng trong tổng số 6 quả bóng đỏ có ${C}_6^4 = 15$ cách.

$\Rightarrow n\left( {{A_2}} \right) = 15 \Rightarrow P\left( {{A_2}} \right) = \frac{{n\left( {{A_2}} \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{15}}{{1365}} = \frac{1}{{91}}$

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 quả bóng trong tổng số 4 quả bóng vàng có ${C}_4^4 = 1$ cách.

$\Rightarrow n\left( {{A_3}} \right) = 1 \Rightarrow P\left( {{A_3}} \right) = \frac{{n\left( {{A_3}} \right)}}{{n\left( \Omega\right)}} = \frac{1}{{1365}}$

$\Rightarrow P\left( A \right) = P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {{A_2}} \right) + P\left( {{A_3}} \right) = \frac{1}{{65}}$

Gọi ${B_1}$ là biến cố “Lấy ra 2 bóng xanh, 1 bóng đỏ, 1 bóng vàng”, ${B_2}$ là biến cố “Lấy ra 1 bóng xanh, 2 bóng đỏ, 1 bóng vàng”, ${B_3}$ là biến cố “Lấy ra 1 bóng xanh, 1 bóng đỏ, 2 bóng vàng”.

Vậy $B = {B_1} \cup {B_2} \cup {B_3}$ là biến cố “Trong 4 bóng lấy ra có đủ cả 3 màu”.

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 2 quả bóng trong tổng số 5 quả bóng xanh có ${C}_5^2 = 10$ cách.

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 1 quả bóng trong tổng số 6 quả bóng đỏ có 6 cách.

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 1 quả bóng trong tổng số 4 quả bóng vàng có 4 cách.

$\Rightarrow n\left( {{B_1}} \right) = 10.6.4 = 240 \Rightarrow P\left( {{B_1}} \right) = \frac{{n\left( {{B_1}} \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{240}}{{1365}} = \frac{{16}}{{91}}$

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 1 quả bóng trong tổng số 5 quả bóng xanh có 5 cách.

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 2 quả bóng trong tổng số 6 quả bóng đỏ có ${C}_6^2 = 15$ cách.

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 1 quả bóng trong tổng số 4 quả bóng vàng có 4 cách.

$\Rightarrow n\left( {{B_2}} \right) = 5.15.4 = 300 \Rightarrow P\left( {{B_2}} \right) = \frac{{n\left( {{B_2}} \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{300}}{{1365}} = \frac{{20}}{{91}}$

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 1 quả bóng trong tổng số 5 quả bóng xanh có 5 cách.

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 1 quả bóng trong tổng số 6 quả bóng đỏ có 6 cách.

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 2 quả bóng trong tổng số 4 quả bóng vàng có ${C}_4^2 = 6$ cách.

$\Rightarrow n\left( {{B_3}} \right) = 5.6.6 = 180 \Rightarrow P\left( {{B_3}} \right) = \frac{{n\left( {{B_3}} \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{180}}{{1365}} = \frac{{12}}{{91}}$

$\Rightarrow P\left( B \right) = P\left( {{B_1}} \right) + P\left( {{B_2}} \right) + P\left( {{B_3}} \right) = \frac{{48}}{{91}}$