4. Bài tập ôn tập chương 8

Gọi \(h\)  là chiều cao hình nón \(\left( {h > 0} \right)\) . Đường sinh của hình nón bằng \(l = \sqrt {{h^2} + 4} \)

Diện tích toàn phần của hình nón \({S_{tp}} = \pi .2.\sqrt {{h^2} + 4}  + \pi {.2^2} = \pi \left( {2\sqrt {{h^2} + 4}  + 4} \right)\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Vì chiều cao hình nón bằng đường kính hình cầu nên bán kính hình cầu là \(\dfrac{h}{2}\,\left( {cm} \right)\)

Diện tích mặt cầu là \(S = 4\pi .{\left( {\dfrac{h}{2}} \right)^2} = \pi {h^2}\)

Theo bài ra ta có

\(\pi \left( {2\sqrt {{h^2} + 4}  + 4} \right) = \pi {h^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\sqrt {{h^2} + 4}  + 4 = {h^2}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {{h^2} + 4}  = {h^2} – 4\,\,\left( {h > 2} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4\left( {{h^2} + 4} \right) = {h^4} – 8{h^2} + 16\\ \Leftrightarrow {h^4} – 12{h^2} = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{h^2} = 0\\{h^2} = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}h = 0\left( L \right)\\h =  – 2\sqrt 3 \left( L \right)\\h = 2\sqrt 3 \,\left( N \right)\end{array} \right.\)

Vậy chiều cao hình nón là \(2\sqrt 3 \,cm.\)