5. Bài 5: Góc có đỉnh bên trong đường tròn, góc có đỉnh bên ngoài đường tròn

Đề bài

Câu 1 :

Cho hình vẽ dưới đây, góc $BIC$ có số đo bằng

A.

$\dfrac{1}{2}$(sđ $\overparen{BC} + $ sđ $\overparen{AD}$ )
B.

$\dfrac{1}{2}$(sđ $\overparen{BC} – $ sđ $\overparen{AD}$ )
C.

$\dfrac{1}{2}$(sđ $\overparen{AB} + $ sđ $\overparen{CD}$ )
D.

$\dfrac{1}{2}$(sđ $\overparen{AB} – $ sđ $\overparen{CD}$ )

Câu 2 :

Cho hình vẽ dưới đây, góc $DIE$ có số đo bằng

A.

$\dfrac{1}{2}$(sđ $\overparen{DmE} + $ sđ $\overparen{CnF}$ )
B.

$\dfrac{1}{2}$(sđ $\overparen{DmE} – $ sđ $\overparen{CnF}$ )
C.

$\dfrac{1}{2}$(sđ $\overparen{DF} + $ sđ $\overparen{CE}$ )
D.

$\dfrac{1}{2}$(sđ $\overparen{DF} + $ sđ $\overparen{CE}$ )

Câu 3 :

Cho nửa đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB$ và $C$ là điểm trên cung nhỏ $AB$ (cung $CB$ nhỏ hơn cung $CA$ ). Tiếp tuyến tại $C$ của nửa đường tròn cắt đường thẳng $AB$ tại $D$ . Biết tam giác $ADC$ cân tại $C$ . Tính góc $ADC$ .

A.

$40^\circ $
B.

$45^\circ $
C.

$60^\circ $
D.

$30^\circ $

Câu 4 :

Trên $\left( O \right)$ lấy bốn điểm $A,B,C,D$ theo thứ tự sao cho cung $AB = $ cung $BC = $ cung $CD$ . Gọi $I$ là giao điểm của $BD$ và $AC$ , biết $\widehat {BIC} = 70^\circ $ . Tính $\widehat {ABD}$ .

A.

$20^\circ $
B.

$15^\circ $
C.

$35^\circ $
D.

$30^\circ $

Câu 5 :

Cho $\left( {O;R} \right)$ và dây $AB$ bất kỳ. Gọi $M$ là điểm chính giữa cung nhỏ $AB$ , $E;F$ là hai điểm bất kỳ trên dây $AB$ . Gọi $C,D$ lần lượt là giao điểm của $ME;MF$ với $\left( O \right)$ . Khi đó $\widehat {EFD} + \widehat {ECD}$ bằng

A.

$180^\circ $
B.

$150^\circ $
C.

$135^\circ $
D.

$120^\circ $

Câu 6 :

Cho $\left( {O;R} \right)$ có hai đường kính $AB,CD$ vuông góc với nhau. Gọi $M$ là điểm chính giữa cung $BC$ . Dây $AM$ cắt $OC$ tại $E$ , dây $CM$ cắt đường thẳng $AB$ tại $N$ .

Câu 6.1

Tam giác $MCE$ là tam giác gì?

A

$\Delta MEC$ cân tại $E$
B

$\Delta MEC$ cân tại $M$
C

$\Delta MEC$ cân tại $C$
D

$\Delta MEC$ đều

Câu 6.2

Hai đoạn thẳng nào sau đây bằng nhau?

A

$BN;BC$
B

$BN;NC$
C

$BC;NC$
D

$BC;OC$

Câu 6.3

Tính diện tích tam giác $CBN$ theo $R$

A

$\dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2}$
B

$\dfrac{{{R^2}\sqrt 2 }}{2}$
C

$\dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2}$
D

${R^2}\sqrt 2 $

Câu 7 :

Từ $A$ ở ngoài $\left( O \right)$ vẽ tiếp tuyến $AB$ và cát tuyến $ACD$ . Tia phân giác $\widehat {BAC}$ cắt $BC,BD$ lần lượt tại $M,N$ . Vẽ dây $BF$ vuông góc với $MN$ tại $H$ và cắt $CD$ tại $E$ .

Câu 7.1

Tam giác $BMN$ là tam giác gì?

A

$\Delta {\rm B}{\rm M}{\rm N}$ cân tại $N$
B

$\Delta {\rm B}{\rm M}{\rm N}$ cân tại $M$
C

$\Delta {\rm B}{\rm M}{\rm N}$ cân tại $B$
D

$\Delta {\rm B}{\rm M}{\rm N}$ đều

Câu 7.2

Tích $FE.FB$ bằng

A

$B{E^2}$
B

$B{F^2}$
C

$D{B^2}$
D

$F{D^2}$

Câu 8 :

Trên đường tròn $\left( {O;R} \right)$ vẽ ba dây liên tiếp bằng nhau $AB = BC = CD$, mỗi dây có độ dài nhỏ hơn $R$. Các đường thẳng $AB,CD$ cắt nhau tại $I$, các tiếp tuyến của $\left( O \right)$ tại $B$ và $D$ cắt nhau tại $K$ .

Câu 8.1

Góc $BIC$ bằng góc nào dưới đây?

A

$\widehat {DKC}$
B

$\widehat {DKB}$
C

$\widehat {BKC}$
D

$\widehat {ICB}$

Câu 8.2

$BC$ là tia phân giác của góc nào dưới đây?

A

$\widehat {KBD}$
B

$\widehat {KBO}$
C

$\widehat {IBD}$
D

$\widehat {IBO}$

Câu 9 :

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $\left( O \right)$ . Các tiếp tuyến tại $B,C$ của $\left( O \right)$ cắt nhau tại $M$. Biết $\widehat {BAC} = 2\widehat {BMC}$. Tính $\widehat {BAC}$ .

A.

$45^\circ $
B.

$50^\circ $
C.

$72^\circ $
D.

$120^\circ $

Câu 10 :

Cho đường tròn $\left( O \right)$ và một dây $AB$ . Vẽ đường kính $CD \bot AB$ ($D$ thuộc cung nhỏ $AB$ ). Trên cung nhỏ $BC$ lấy điểm $M$ . Các đường thẳng $CM,DM$ cắt đường thẳng $AB$ lần lượt tại $E$ và $F$ . Tiếp tuyến của đường tròn tại $M$ cắt đường thẳng $AB$ tại $N$. Hai đoạn thẳng nào dưới đây không bằng nhau?

A.

$NM;NE$
B.

$NM;NF$
C.

$NE;NF$
D.

$EN;AE$

Câu 11 :

Cho $\left( {O;R} \right)$ có hai đường kính $AB,CD$ vuông góc với nhau. Trên đường kính $AB$ lấy điểm $E$ sao cho $AE = R\sqrt 2 $. Vẽ dây $CF$ đi qua $E$ . Tiếp tuyến của đường tròn tại $F$ cắt đường thẳng $CD$ tại $M$ , dây $AF$ cắt $CD$ tại $N$. Chọn khẳng định sai.

A.

$AC{\rm{//}}MF$
B.

$\Delta ACE$ cân tại $A$
C.

$\Delta ABC$ cân tại $C$
D.

$AC{\rm{//}}FD$

Câu 12 :

Cho ΔABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Vẽ phân giác trong AD của góc A (D ≠ (O)). Lấy điểm E thuộc cung nhỏ AC. Nối BE cắt AD và AC lần lượt tại I và tại K, nối DE cắt AC tại J. Kết luận nào đúng?

A.

$\widehat {BID} = \widehat {{\rm{AJ}}E}$
B.

$\widehat {BID} = 2\widehat {{\rm{AJ}}E}$
C.

$\widehat {2BID} = \widehat {{\rm{AJ}}E}$
D.

Các đáp án trên đều sai

Câu 13 :

Cho đường tròn (O). Từ một điểm M nằm ngoài (O), vẽ các cát tuyến MCA và MBD sao cho góc $\widehat {CMD} = {40^0}$. Gọi E là giao điểm của AD và BC. Biết $\widehat {AEB} = {70^0}$, số đo cung lớn AB là

A.

${200^0}$
B.

${240^0}$
C.

${290^0}$
D.

${250^0}$

Câu 14 :

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Trên các cung nhỏ AB và AC lần lượt lấy các điểm I, K sao cho cung AI = cung AK. Dây IK cắt các cạnh AB, AC lân lượt tại D và E.

A.

$\widehat {ADK} = \widehat {ACB}$
B.

$\widehat {ADI} = \dfrac{1}{2}\left( {sđ\overparen{AC} + sđ\overparen{CB}} \right)$
C.

$\widehat {AEI} = \widehat {ABC}$
D.

Tất cả các câu đều đúng

Câu 15 :

Cho đường tròn (O) và một dây AB. Vẽ đường kính CD vuông góc với AB (D thuộc cung nhỏ AB). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm N. Các đường thẳng CN và DN lần lượt cắt các đường thẳng AB tại E và F. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N cắt các đường thẳng AB tại I. Chọn đáp án đúng.

A.

Các tam giác $FNI,{\rm{ }}INE$ cân
B.

$\widehat {IEN} = 2\widehat {NDC}$
C.

$\widehat {DNI} = 3\widehat {DCN}$
D.

Tất cả các câu đều sai

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Cho hình vẽ dưới đây, góc $BIC$ có số đo bằng

A.

$\dfrac{1}{2}$(sđ $\overparen{BC} + $ sđ $\overparen{AD}$ )
B.

$\dfrac{1}{2}$(sđ $\overparen{BC} – $ sđ $\overparen{AD}$ )
C.

$\dfrac{1}{2}$(sđ $\overparen{AB} + $ sđ $\overparen{CD}$ )
D.

$\dfrac{1}{2}$(sđ $\overparen{AB} – $ sđ $\overparen{CD}$ )

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Số đo của góc có đỉnh bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

$\widehat {BIC} = $$\dfrac{1}{2}$(sđ $\overparen{BC} – $ sđ $\overparen{AD}$ )

Câu 2 :

Cho hình vẽ dưới đây, góc $DIE$ có số đo bằng

A.

$\dfrac{1}{2}$(sđ $\overparen{DmE} + $ sđ $\overparen{CnF}$ )
B.

$\dfrac{1}{2}$(sđ $\overparen{DmE} – $ sđ $\overparen{CnF}$ )
C.

$\dfrac{1}{2}$(sđ $\overparen{DF} + $ sđ $\overparen{CE}$ )
D.

$\dfrac{1}{2}$(sđ $\overparen{DF} + $ sđ $\overparen{CE}$ )

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Số đo của góc có đỉnh bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

$\widehat {DIE} = $$\dfrac{1}{2}$(sđ $\overparen{DmE} + $ sđ $\overparen{CnF}$ )

Câu 3 :

A.

$40^\circ $
B.

$45^\circ $
C.

$60^\circ $
D.

$30^\circ $

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng góc nội tiếp và góc có đỉnh bên ngoài đường tròn

Lời giải chi tiết :

Xét nửa $\left( O \right)$ có $\widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}$ sđ $\overparen{BC}$ (góc nội tiếp chắn cung BC) và $\widehat {CDA} = \dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{AC} – $ sđ $\overparen{BC}$ ) (góc có đỉnh bên ngoài đường tròn)

Mà $\Delta ADC$ cân tại $C$ nên $\widehat {DAC} = \widehat {CDA} \Leftrightarrow $ sđ $\overparen{BC} = $ sđ $\overparen{AC} – $ sđ $\overparen{BC}$

Suy ra sđ $\overparen{AC} = 2$. sđ $\overparen{BC}$

Mà sđ $\overparen{AC} + $ sđ $\overparen{BC} = 180^\circ $ nên sđ $\overparen{AC} = 120^\circ $ ; sđ$\overparen{BC}= 60^\circ $

Do đó $\widehat {ADC} = 30^\circ $.

Câu 4 :

A.

$20^\circ $
B.

$15^\circ $
C.

$35^\circ $
D.

$30^\circ $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng góc nội tiếp và góc có đỉnh bên trong đường tròn

Lời giải chi tiết :

Vì cung $AB = $ cung $BC = $ cung $CD$ nên gọi số đo mỗi cung là $a$ độ. Ta có số đo cung $AD$ là $360^\circ – 3a$

Vì $\widehat {BIC}$ là góc có đỉnh bên trong đường tròn nên

$\widehat {BIC} = \dfrac{{a + 360^\circ – 3a}}{2} = 70^\circ \Rightarrow a = 110^\circ \Rightarrow $ số đo cung $AD$ là $360^\circ – 3.110^\circ = 30^\circ $

$\widehat {ABD}$ là góc nội tiếp chắn cung $AD$ nên $\widehat {ABD} = \dfrac{{30^\circ }}{2} = 15^\circ $ .

Câu 5 :

A.

$180^\circ $
B.

$150^\circ $
C.

$135^\circ $
D.

$120^\circ $

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng góc nội tiếp và góc có đỉnh bên trong đường tròn.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\widehat {EFD}$ là góc có đỉnh bên trong đường tròn nên

$\widehat {EFD} = \dfrac{1}{2}$(sđ $\overparen{MnA} +$ sđ $\overparen{BmD}$ )

Và $\widehat {ECD} = \widehat {MCD} = \dfrac{1}{2}$ sđ $\overparen{MnD}$

Từ đó $\widehat {EFD} + \widehat {ECD} = \dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{MnA} + $ sđ $\overparen{BmD}$$ + $ sđ $\overparen{MnD}$)

Mà cung $AnM = $ cung $MB$ nên $\widehat {EFD} + \widehat {ECD} = \dfrac{1}{2}$ (sđ$\overparen{MB} + $ sđ $\overparen{BmD}$$ + $ sđ $\overparen{MnA} + $sđ $\overparen{AD}$ ) =$\dfrac{1}{2}.360^\circ = 180^\circ $.

Câu 6 :

Câu 6.1

Tam giác $MCE$ là tam giác gì?

A

$\Delta MEC$ cân tại $E$
B

$\Delta MEC$ cân tại $M$
C

$\Delta MEC$ cân tại $C$
D

$\Delta MEC$ đều

Đáp án: B

Phương pháp giải :

Sử dụng góc nội tiếp và góc có đỉnh bên trong đường tròn

Lời giải chi tiết :

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {MEC}$ là góc có đỉnh bên trong đường tròn nên

$\widehat {MEC} = \dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{AD} + $ sđ $\overparen{MC}$ )

Và $\widehat {MCE} = \widehat {MCD} $

$= \dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{BD} + $ sđ $\overparen{BM}$ )

mà cung $MB = $ cung $MC$

và cung $AD = $ cung $BD$

Từ đó $\widehat {MEC} = \widehat {MCE} \Rightarrow \Delta MEC$ cân tại $M$ .

Câu 6.2

Hai đoạn thẳng nào sau đây bằng nhau?

A

$BN;BC$
B

$BN;NC$
C

$BC;NC$
D

$BC;OC$

Đáp án: A

Phương pháp giải :

Sử dụng góc nội tiếp và góc có đỉnh bên ngoài đường tròn

Lời giải chi tiết :

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {CNA}$ là góc có đỉnh bên ngoài đường tròn nên

$\widehat {CNB} = \dfrac{1}{2}$ $ (sđ \overparen{AC}-sđ \overparen{MB})$

Mà sđ $\overparen{MB}$$ = \dfrac{1}{2}$ sđ $\overparen{AC}$ nên $\widehat {CNA} = \dfrac{1}{2}$sđ $\overparen{MB}$

Lại có $\widehat {MCB} = \dfrac{1}{2}$ sđ $\overparen{MB}$ (góc nội tiếp) nên $\widehat {MCB} = \widehat {BNC} \Rightarrow \Delta BNC$ cân tại $B \Rightarrow BN = BC$ .

Câu 6.3

Tính diện tích tam giác $CBN$ theo $R$

A

$\dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2}$
B

$\dfrac{{{R^2}\sqrt 2 }}{2}$
C

$\dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2}$
D

${R^2}\sqrt 2 $

Đáp án: B

Phương pháp giải :

Sử dụng định lý Pytago và công thức diện tích tam giác

Lời giải chi tiết :

Xét $\Delta COB$ vuông cân tại $O$ ta có

$BC = \sqrt {O{C^2} + O{B^2}} = R\sqrt 2 $

nên $BN = R\sqrt 2 $

Khi đó ${S_{BNC}} = \dfrac{1}{2}NB.CO = \dfrac{{{R^2}\sqrt 2 }}{2}$ .

Câu 7 :

Câu 7.1

Tam giác $BMN$ là tam giác gì?

A

$\Delta {\rm B}{\rm M}{\rm N}$ cân tại $N$
B

$\Delta {\rm B}{\rm M}{\rm N}$ cân tại $M$
C

$\Delta {\rm B}{\rm M}{\rm N}$ cân tại $B$
D

$\Delta {\rm B}{\rm M}{\rm N}$ đều

Đáp án: C

Phương pháp giải :

Sử dụng góc có đỉnh bên trong đường tròn và góc có đỉnh bên ngoài đường tròn để chứng minh các góc bằng nhau

Lời giải chi tiết :

Xét $\left( O \right)$ có đường thẳng $AM$ cắt đường tròn tại $I;K$ .

Khi đó

$\widehat {BAK} = \dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{BK} – $ sđ $\overparen{BI}$ );

$\widehat {CAK} = \dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{DK} – $ sđ $\overparen{CI}$ )

Mà $\widehat {BAK} = \widehat {CAK} $

$\Rightarrow $ $\dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{BK}- $ sđ $\overparen{BI}$ )

$ = \dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{DK} – $ sđ $\overparen{CI}$ )

Nên $ \dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{BK} + $ sđ $\overparen{CI}$ )

$=\dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{DK} + $ sđ $\overparen{BI}$ )

Hay $\widehat {BMN} = \widehat {BNM}$

$\Rightarrow \Delta BMN$ cân tại $B$ .

Câu 7.2

Tích $FE.FB$ bằng

A

$B{E^2}$
B

$B{F^2}$
C

$D{B^2}$
D

$F{D^2}$

Đáp án: D

Phương pháp giải :

Sử dụng góc nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau để suy ra tam giác đồng dạng từ đó có hệ thức chứng minh.

Lời giải chi tiết :

Vì tam giác $BMN$ cân tại $B$ có $BH$ là đường cao nên $BH$ cũng là đường phân giác.

$ \Rightarrow \widehat {CBF} = \widehat {DBF}$

$\Rightarrow $ cung $CF = $ cung $DF$

$ \Rightarrow \widehat {DBF} = \widehat {CDF}$ (hệ quả góc nội tiếp)

$ \Rightarrow \Delta FED\backsim\Delta FDB\left( {g – g} \right)$

$\Rightarrow \dfrac{{EF}}{{FD}} = \dfrac{{FD}}{{FB}} \Rightarrow FE.FB = F{D^2}$ .

Câu 8 :

Câu 8.1

Góc $BIC$ bằng góc nào dưới đây?

A

$\widehat {DKC}$
B

$\widehat {DKB}$
C

$\widehat {BKC}$
D

$\widehat {ICB}$

Đáp án: B

Phương pháp giải :

Sử dụng góc có đỉnh bên ngoài đường tròn để chứng minh các góc bằng nhau

Lời giải chi tiết :

Vì ba dây $AB = BC = CD $

$\Rightarrow $ $\overparen{AB}= $ $\overparen{BC} = $ $\overparen{DC}$

Xét $\left( O \right)$ có

$\widehat {BIC} = \dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{AmD}- $ sđ $\overparen{BC}$ )

$\widehat {DKB} = \dfrac{1}{2}$ (sđ$\overparen{BmD} – $ sđ $\overparen{BnD}$ )

$ = \dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{AmD} + $sđ$\overparen{BA} – 2$. sđ$\overparen{BC}$ )

$ = \dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{AmD} – $ sđ $\overparen{BC}$ )$ = \widehat {BIC}$

Câu 8.2

$BC$ là tia phân giác của góc nào dưới đây?

A

$\widehat {KBD}$
B

$\widehat {KBO}$
C

$\widehat {IBD}$
D

$\widehat {IBO}$

Đáp án: A

Phương pháp giải :

Sử dụng góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.

Lời giải chi tiết :

Xét $\left( O \right)$ có $\widehat {KBC} = \widehat {CDB}$ (hệ quả góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

Lại có $\widehat {CDB} = \widehat {CBD}$ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Nên $\widehat {CBD} = \widehat {KBC} \Rightarrow BC$ là tia phân giác góc $KBD$ .

Câu 9 :

A.

$45^\circ $
B.

$50^\circ $
C.

$72^\circ $
D.

$120^\circ $

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng góc nội tiếp và góc có đỉnh bên ngoài đường tròn

Lời giải chi tiết :

Xét $\left( O \right)$ có

$\widehat {BMC} $ $= \dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{BmC} – $ sđ $\overparen{BnC}$ ) (góc có đỉnh bên ngoài đường tròn)

Và $\widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}$ sđ $\overparen{BnC}$

Mà $\widehat {BAC} = 2\widehat {BMC}$ nên

(sđ $\overparen{BmC} – $ sđ $\overparen{BnC}$ )$ = \dfrac{1}{2}$ sđ $ \overparen{BnC}$

$ \Rightarrow $ sđ $\overparen{BmC} = $ $\dfrac{3}{2}$. sđ $\overparen{BnC}$

mà sđ $\overparen{BmC} + $ sđ $\overparen{BnC}$$ = 360^\circ $

Nên sđ $\overparen{BnC}=$ $\dfrac{{2.360^\circ }}{5} = 144^\circ $ , do đó $\widehat {BAC} = \dfrac{{120^\circ }}{2} = 72^\circ $ .

Câu 10 :

A.

$NM;NE$
B.

$NM;NF$
C.

$NE;NF$
D.

$EN;AE$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng góc có đỉnh bên ngoài đường tròn, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung để chứng minh các góc bằng nhau

Lời giải chi tiết :

Xét $\left( O \right)$ có $D$ là điểm chính giữa cung $AB$ (Vì đường kính $CD \bot AB$ nên đi qua điểm chính giữa cung $AB$ )

$\widehat {NMD} = \dfrac{1}{2}$ sđ $\overparen{DM}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

$\widehat {MEN} = \dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{MB} + $ sđ $\overparen{AD}$ )

$ = \dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{MB} + $ sđ $\overparen{BD}$ )

$ = \widehat {NMD}$

Suy ra $\Delta MNE$ cân tại $N \Rightarrow NE = NM$ (*).

Lại có

$\widehat {NFM} = \widehat {NMF}$

(vì $\widehat {NFM} + \widehat {FEM} = 90^\circ $

$= \widehat {NMF} + \widehat {NME}$ và $\widehat {NME} = \widehat {NEM}$ )

Nên $\Delta NMF$ cân tại $N \Rightarrow NF = NM$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $NE = NF = NM$ .

Câu 11 :

A.

$AC{\rm{//}}MF$
B.

$\Delta ACE$ cân tại $A$
C.

$\Delta ABC$ cân tại $C$
D.

$AC{\rm{//}}FD$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng góc có đỉnh bên ngoài đường tròn để chứng minh các góc bằng nhau

Lời giải chi tiết :

Xét $\Delta AOC$ vuông cân tại $O$ có $AC = \sqrt {O{A^2} + O{C^2}} = R\sqrt 2 $

$\Rightarrow AC = AE$ nên $\Delta AEC$ cân tại $A \Rightarrow \widehat {ACE} = \widehat {AEC}$

Hay $\dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{AD} + $ sđ $\overparen{DF}$ )

$ = \dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{AC}+ $ sđ $\overparen{BF}$ )

mà $\overparen{AD} = $ $\overparen{AC}$ nên $\overparen{DF}$ $ = $ $\overparen{BF}$ .

Ta có $\widehat {ACD} = \dfrac{1}{2}$ sđ $\overparen{AD}$ ;

$\widehat {FMC} = \dfrac{1}{2}$ (sđ $\overparen{FC} – $ sđ $\overparen{DF}$ )

mà $\overparen{DF}$ $ = $ $\overparen{BF}$ .

Nên $\widehat {FMC} = \dfrac{1}{2}$sđ $\overparen{BC}= \dfrac{1}{2}$ sđ $\overparen{AD}$$ = \widehat {ACD}$

Mà hai góc ở vị trí so le trong nên $AC{\rm{//}}MF$.

Xét tam giác $CAB$ có $CO$ là đường trung trực của $AB$ nên $\Delta ACB$ cân tại $C$ .

Phương án A, B, C đúng.

Câu 12 :

A.

$\widehat {BID} = \widehat {{\rm{AJ}}E}$
B.

$\widehat {BID} = 2\widehat {{\rm{AJ}}E}$
C.

$\widehat {2BID} = \widehat {{\rm{AJ}}E}$
D.

Các đáp án trên đều sai

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+) Nhận biết được góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn, góc nội tiếp

+) Tính được số đo góc nằm ngoài đường tròn theo cung bị chắn

+) Nắm vững mối quan hệ góc nội tiếp và số đo cung bị chắn

Lời giải chi tiết :

Ta có $\widehat {BID}$ là góc có đỉnh nằm trong đường tròn (O) chắn hai cung BD và AE

$ \Rightarrow \widehat {BID} = \dfrac{1}{2}\left( {s{\rm{đ}}\overparen{BD} + sđ\overparen{AE}} \right)$

+) $\widehat {{\rm{AJ}}E}$ là góc có đỉnh nằm trong đường tròn (O) chắn hai cung CD và AE

$ \Rightarrow \widehat {AJE} = \dfrac{1}{2}(sđ\overparen{AE }+ $sđ$\overparen{DC})$

Mà AD là phân giác của góc A nên sđ$\overparen{BD} = $sđ$\overparen{CD}$

Suy ra $\widehat {BID} = \widehat {{\rm{AJ}}E}$

Câu 13 :

A.

${200^0}$
B.

${240^0}$
C.

${290^0}$
D.

${250^0}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+) Nhận biết được góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn, góc nội tiếp

+) Tính được số đo góc nằm ngoài đường tròn theo cung bị chắn

+) Nắm vững mối quan hệ góc nội tiếp và số đo cung bị chắn

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\widehat {DEB} = \dfrac{1}{2}\left( {sđ\overparen{DB} – sđ\overparen{AC}} \right) = {70^0}\\ \Rightarrow s{\rm{đ}}\overparen{DB} – sđ\overparen{AC} = {140^0}\left( 1 \right)\\\widehat {AMD} = \dfrac{1}{2}\left( {sđ\overparen{AD} – sđ\overparen{BC}} \right) = {40^0}\\ \Rightarrow sđ\overparen{AD} – sđ\overparen{BC} = {80^0}\left( 2 \right)\\sđ\overparen{AC} + sđ\overparen{CB} + sđ\overparen{DB} + sđ\overparen{AD} = {360^0}\left( 3 \right)\\(1) + (2) + (3) \Rightarrow 2\left( {sđ\overparen{DB} + sđ\overparen{AD}} \right) = {580^0}\\ \Leftrightarrow sđ\overparen{DB} + sđ\overparen{AD} = {290^0}\\ \Leftrightarrow sđ\overparen{AB} = {290^0}\end{array}$

Câu 14 :

A.

$\widehat {ADK} = \widehat {ACB}$
B.

$\widehat {ADI} = \dfrac{1}{2}\left( {sđ\overparen{AC} + sđ\overparen{CB}} \right)$
C.

$\widehat {AEI} = \widehat {ABC}$
D.

Tất cả các câu đều đúng

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+) Nhận biết được góc có đỉnh nằm trong đường tròn, góc nội tiếp

+) Tính được số đo góc nằm trong đường tròn theo cung bị chắn

+) Nắm vững mối quan hệ góc nội tiếp và số đo cung bị chắn, mối uan hệ giữa số đo cung và dây cung

Lời giải chi tiết :

+) Ta có $\widehat {ADK}$ là góc có đỉnh nằm trong đường tròn nên

$\begin{array}{l}\widehat {ADK} = \dfrac{1}{2}\left( {sđ\overparen{AK} + sđ\overparen{IB}} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {sđ\overparen{AI} + sđ\overparen{IB}} \right)\\ = \dfrac{1}{2}sđ\overparen{AB} = \widehat {ACB}\end{array}$

+)Ta có $\widehat {ADI}$ là góc có đỉnh nằm trong đường tròn nên

$\begin{array}{l}\widehat {ADI} = \dfrac{1}{2}\left( {sđ\overparen{KB} + sđ\overparen{IA}} \right) \\= \dfrac{1}{2}\left( {sđ\overparen{KB} + sđ\overparen{IA}} \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left( {sđ\overparen{KB} + sđ\overparen{AK}} \right) \\= \dfrac{1}{2}sđ\overparen{AB} = \dfrac{1}{2}\left( {sđ\overparen{AC} + sđ\overparen{CB}} \right)\end{array}$

+)Ta có $\widehat {AEI}$ là góc có đỉnh ở trong đường tròn nên

$\widehat {AEI} = \dfrac{1}{2}\left( {sđ\overparen{AI} + sđ\overparen{KC}} \right) \\= \dfrac{1}{2}\left( {sđ\overparen{AK} + sđ\overparen{KC}} \right) = \dfrac{1}{2}sđ\overparen{AC} = \widehat {ABC}$

Câu 15 :

A.

Các tam giác $FNI,{\rm{ }}INE$ cân
B.

$\widehat {IEN} = 2\widehat {NDC}$
C.

$\widehat {DNI} = 3\widehat {DCN}$
D.

Tất cả các câu đều sai

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+) Nhận biết được góc có đỉnh nằm trong, ngoài đường tròn, góc nội tiếp

+) Tính được số đo góc nằm trong, ngoài đường tròn theo cung bị chắn

+) Nắm vững mối quan hệ góc nội tiếp và số đo cung bị chắn, mối uan hệ giữa số đo cung và dây cung

Lời giải chi tiết :

Ta có tam giác AOB cân tại O nên dễ dàng chỉ ra được $sđ\overparen{AD} = sđ\overparen{DB}$

$\begin{array}{l}\widehat {IFN} = \dfrac{1}{2}\left( {sđ\overparen{BN} + sđ\overparen{AD}} \right) \\= \dfrac{1}{2}\left( {sđ\overparen{BN} + sđ\overparen{BD}} \right)\\ = \dfrac{1}{2}sđ\overparen{DN} = \widehat {INF}\end{array}$

Suy ra tam giác FIN cân tại I

Ta có:

$\begin{array}{l}{\widehat N_1} + \widehat {{N_3}} = {90^0} \Rightarrow {\widehat N_1} + \widehat {{C_4}} = {90^0}\\\widehat {{E_1}} = \dfrac{1}{2}\left( {sđ\overparen{AC} – sđ\overparen{BN}} \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left( {sđ\overparen{BC} – sđ\overparen{CN}} \right) = \dfrac{1}{2}sđ\overparen{NC}\\ \Rightarrow \widehat {{C_4}} + \widehat {{E_1}} = \dfrac{1}{2}sđ\overparen{DN} + \dfrac{1}{2}sđ\overparen{NC} \\= \dfrac{1}{2}sđ\overparen{DC} = {90^0}\\ \Rightarrow \widehat {{E_1}} = \widehat {{N_1}}\end{array}$

Do đó $\Delta INE$ cân tại I.

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE