4. Bài 5: Ứng dụng thực tế tỉ số lượng giác của góc nhọn

Đề bài

Câu 1 :

Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài $7,5m.$ Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng ${42^0}.$ Tính chiều cao của cột đèn. (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba)

A.

$6,753\,m$
B.

$6,75\,m$
C.

$6,751\,m$
D.

$6,755\,m$

Câu 2 :

Một cầu trượt trong công viên có độ dốc là ${28^0}$ và có độ cao là $2,1m.$Tính độ dài của mặt cầu trượt (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

A.

$3,95\,m$
B.

$3,8\,m$
C.

$4,5\,m$
D.

$4,47\,m$

Câu 3 :

Một cột đèn điện $AB$ cao $6m$ có bóng in trên mặt đất là $AC$ dài $3,5m.$ Hãy tính góc $\widehat {BCA}$ (làm tròn đến phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất.

A.

$58^\circ 45’$
B.

$59^\circ 50’$
C.

$59^\circ 45’$
D.

$59^\circ 4’$

Câu 4 :

Một cây tre cau $9m$ bị gió bão làm gãy ngang thân, ngọn cây chạm đất cách gốc $3m$. Hỏi điểm gãy cách gốc bao nhiêu?

A.

$6\,m$
B.

$5m$
C.

$4\,m$
D.

$3\,m$

Câu 5 :

Nhà bạn Minh có một chiếc thang dài $4\,m$. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng cách bằng bao nhiêu để nó tạo được với mặt đất một góc “an toàn” là ${65^0}$ (tức là đảm bảo thang không bị đổ khi sử dụng). (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

A.

$1,76\,m$
B.

$1,71\,\,m$
C.

$1,68\,m$
D.

$1,69\,m$

Câu 6 :

Một máy bay đang bay ở độ cao $10km$ so với mặt đất, muốn hạ cánh xuống sân bay. Để đường bay và mặt đất hợp thành một góc an toàn là ${15^0}$ thì phi công phải bắt đầu hạ cánh từ vị trí cách sân bay bao xa? ( làm tròn kết quả đến hai chữ số phần thập phân)

A.

$37,32\,km$
B.

$373,2\,km$
C.

$38,32\,km$
D.

$37,52\,km$

Câu 7 :

Một cái cây bị sét đánh trúng thân cây làm thân cây ngả xuống đất, tạo với mặt đất một góc là ${40^0}$. Biết rằng khúc cây còn đứng cao $1\,m$ . Tính chiều cao lúc đầu của cây.

A.

$2,61\,m$
B.

$2,81\,m$
C.

$2,58\,m$
D.

$2,56\,m$

Câu 8 :

Một chiếc máy bay đang bay lên với vận tốc $500\,km/h$ . Đường bay lên tạo với phương ngang một góc ${30^0}$. Hỏi sau $1,2$ phút kể từ lúc cất cánh, máy bay đạt được độ cao là bao nhiêu?

A.

$7\,km$
B.

$5\,km$
C.

$6\,km$
D.

$8\,km$

Câu 9 :

Một khúc sông rộng khoảng $250m$. Một chiếc thuyền muốn qua sông theo phương ngang nhưng bị dòng nước đẩy theo phương xiên, nên phải đi khoảng $320m$ mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy thuyền lệch đi một góc bao nhiêu độ?

A.

$30^\circ $
B.

$40^\circ $
C.

$38^\circ 37’$
D.

$39^\circ 37’$

Câu 10 :

Hai bạn học sinh Trung và Dũng đang đứng ở mặt đất bằng phẳng, cách nhau $100m$ thì nhìn thấy một chiếc diều ( ở vị trí $C$ giữa hai bạn). Biết góc ”nâng” để nhìn thấy diều ở vị trí của Trung là ${50^0}$ và góc ”nâng” để nhìn thấy diều ở vị trí của Dũng là ${40^0}$ . Hãy tính độ cao của diều lúc đó so với mặt đất? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

A.

$49,26\,m$
B.

$49,24\,m$
C.

$50\,m$
D.

$51\,m$

Câu 11 :

Hai bạn học sinh $A$ và $B$ đang đứng ở mặt đất bằng phẳng, cách nhau 80 m thì nhìn thấy một máy bay trực thăng điều khiển từ xa (ở vị trí $C$ nằm trên tia $AB$ và $AC>AB$). Biết góc ”nâng” để nhìn thấy máy bay ở vị trí của $B$ là $55^\circ $ góc ”nâng” để nhìn thấy máy bay ở vị trí của $A$ là $40^\circ $. Hãy tính độ cao của máy bay lúc đó so với mặt đất? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

A.

$162,75\,m$
B.

$162,95\,m$
C.

$163,75\,m$
D.

$180\,m$

Câu 12 :

Bạn Thanh đứng tại vị trí $A$ cách cây thông $6m$ và nhìn thấy ngọn của cây này dưới một góc bằng ${55^0}$ so với phương nằm ngang (như hình vẽ). Biết khoảng cách từ mắt của bạn Thanh đến mặt đất bằng $1,6m.$ Chiều cao $BC$ của cây thông bằng (làm tròn đến số thập phân thứ hai):

A.
$5,80m$
B.
$8,57m$
C.
$6,51m$
D.
$10,17m$

Câu 13 :

Tính khoảng cách giữa hai điểm $B$ và $C,$ biết rằng từ vị trị $A$ ta đo được $AB = 234\,m,\,\,\,AC = 185\,m$ và $\angle BAC = {53^0}$ (kết quả tính bằng mét và làm tròn đến hàng đơn vị).

A.
$190m$
B.
$191m$
C.
$192m$
D.
$193m$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

A.

$6,753\,m$
B.

$6,75\,m$
C.

$6,751\,m$
D.

$6,755\,m$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có chiều cao cột đèn là $AC$; $AB = 7,5\,m$ và $\widehat {ACB} = 42^\circ $

Xét tam giác $ACB$ vuông tại $A$ có

$AC = AB.\tan B = 7,5.\tan 42^\circ \simeq 6,753\,\,m$

Vậy cột đèn cao $6,753\,m$

Câu 2 :

Một cầu trượt trong công viên có độ dốc là ${28^0}$ và có độ cao là $2,1m.$Tính độ dài của mặt cầu trượt (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

A.

$3,95\,m$
B.

$3,8\,m$
C.

$4,5\,m$
D.

$4,47\,m$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Ta có độ dài của mặt cầu trượt là $AB$; $AC = 2,1\,m$ và $\widehat {ABC} = 28^\circ $

Xét tam giác $ACB$ vuông tại $A$ có

$BC = AB:\sin B = 2,1:\sin 28^\circ \simeq 4,47\,m$

Vậy độ dài của mặt cầu trượt là $4,47\,m.$

Câu 3 :

A.

$58^\circ 45’$
B.

$59^\circ 50’$
C.

$59^\circ 45’$
D.

$59^\circ 4’$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn từ đó suy ra góc.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{6}{{3,5}} = \dfrac{{12}}{7} \Rightarrow \widehat C \simeq 59^\circ 45’$

Câu 4 :

Một cây tre cau $9m$ bị gió bão làm gãy ngang thân, ngọn cây chạm đất cách gốc $3m$. Hỏi điểm gãy cách gốc bao nhiêu?

A.

$6\,m$
B.

$5m$
C.

$4\,m$
D.

$3\,m$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng định lý Py-ta-go: “Tổng bình phương hai cạnh góc vuông bằng bình phương cạnh huyền”

Lời giải chi tiết :

Giả sử $AB$ là độ cao của cây tre, $C$ là điểm gãy.

Đặt $AC = x (0<x<9)\Leftrightarrow CB = CD = 9-x$. Vì $\Delta ACD$ vuông tại $A$

Suy ra $A{C^2} + A{D^2} = C{D^2}$

$\Leftrightarrow {x^2} + {3^2} = {\left( {9 – x} \right)^2} $

$\Leftrightarrow x = 4$ (TM)

Vậy điểm gãy cách gốc cây $4m.$

Câu 5 :

A.

$1,76\,m$
B.

$1,71\,\,m$
C.

$1,68\,m$
D.

$1,69\,m$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Ta có $BC = 4\,\,m;\widehat C = 65^\circ $. Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AC = BC.\cos \widehat C = 4.\cos 65^\circ \simeq 1,69\,\,m$.

Câu 6 :

A.

$37,32\,km$
B.

$373,2\,km$
C.

$38,32\,km$
D.

$37,52\,km$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Từ giả thiết suy ra $AC = 10\,\,km;\,\,\widehat B = 15^\circ $.

Xét tam giác $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AB = AC.\cot B = 10.\cot 15^\circ \simeq 37,32\,km$

Câu 7 :

A.

$2,61\,m$
B.

$2,81\,m$
C.

$2,58\,m$
D.

$2,56\,m$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Từ giả thiết ta có chiều dài ban đầu của cây là $AD$; sau khi bị sét đánh thì cây còn lại $AC = 1\,\,m;\widehat {CBA} = 40^\circ $và $CD = CB$.

Xét tam giác $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $BC = \dfrac{{AC}}{{\sin 40^\circ }} = 1,56\,m$ nên $CD=1,56\,m$

Suy ra $AD = AC + CD $

$= 1 + 1,56 = 2,56\,m$.

Vậy cây cao $2,56\,m$.

Câu 8 :

A.

$7\,km$
B.

$5\,km$
C.

$6\,km$
D.

$8\,km$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Đổi $1,2′ = \dfrac{1}{{50}}h$.

Sau $1,2$ phút máy bay ở $C$.

Quãng đường bay được là $BC = 500.\dfrac{1}{{50}} = 10\,km$ và $\widehat B = 30^\circ $

Nên $AC = BC.\sin 30^\circ = 5\,km$.

Vậy máy bay đạt được độ cao là $5\,km$ sau $1,2$ phút.

Câu 9 :

A.

$30^\circ $
B.

$40^\circ $
C.

$38^\circ 37’$
D.

$39^\circ 37’$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để suy ra góc.

Lời giải chi tiết :

Ta có khúc sông $AC = 250\,m$, quãng đường thuyền đi là $BC = 320\,m$

Góc lệch là $\widehat C$.

Ta có $\cos C = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{250}}{{320}} \Rightarrow \widehat C \simeq 38^\circ 37’$

Vậy góc lệch là $38^\circ 37’$.

Câu 10 :

A.

$49,26\,m$
B.

$49,24\,m$
C.

$50\,m$
D.

$51\,m$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Độ cao của diều là $CD$, độ dài $AB = 100\,m$. Trung đứng ở $A$ , Dũng đứng ở $B$ .

Gọi $AD = x\left( {0 < x < 100} \right)$

$ \Rightarrow BD = 100 – x$

Xét $\Delta ACD$ vuông tại $D$ ta có $CD = AD.\tan A = x.\tan 50^\circ $

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $D$ ta có $CD = BD.{\mathop{\rm tanB}\nolimits}$

$ = \left( {100 – x} \right).\tan 40^\circ $

Nên $x.\tan 50^\circ = \left( {100 – x} \right)\tan 40^\circ $

$ \Rightarrow x \simeq 41,32$ (thoả mãn)

$ \Rightarrow CD = 41,32.\tan50^\circ \simeq 49,24\,m$

Vậy độ cao của diều lúc đó so với mặt đất là $49,24\,m$.

Câu 11 :

A.

$162,75\,m$
B.

$162,95\,m$
C.

$163,75\,m$
D.

$180\,m$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Độ cao của máy bay là $CD$, độ dài $AB=80\,m$.

Gọi $BC = x (x>0)\Rightarrow AC = 80 + x$

Xét tam giác $BDC$ vuông tại $C$ có $CD = x.\tan 55^\circ $

Xét tam giác $ADC$ vuông tại $C$ có $CD = \left( {80 + x} \right).\tan 40^\circ $

Suy ra $x\tan 55^\circ = \left( {80 + x} \right)\tan 40^\circ $

$\Leftrightarrow x \simeq 113,96\,m$

$ \Rightarrow CD = 113,96.\tan 55^\circ $

$\simeq 162,75\,m$

Vậy độ cao của máy bay so với mặt đất là $162,75\,m$.

Câu 12 :

A.
$5,80m$
B.
$8,57m$
C.
$6,51m$
D.
$10,17m$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để làm bài.

Lời giải chi tiết :

Đặt các điểm $D,\,\,E$ như hình vẽ.

Xét $\Delta CDE$ vuông tại $E$ ta có:

$CE = DE.\tan {55^0} = 6.\tan {55^0} \approx 8,57\,m.$

$ \Rightarrow $ Chiều cao của cây là: $BC = CE + BE = 8,57 + 1,6 = 10,17\,\,m.$

Câu 13 :

A.
$190m$
B.
$191m$
C.
$192m$
D.
$193m$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Từ $C,$ dựng đường vuông góc với $AB,$ cắt $AB$ tại $D.$

Khi đó ta có: $CD$ là đường cao của $\Delta ABC.$

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong

$\Delta ACD$ vuông tại $D$ ta có:

$\begin{array}{l}\sin \angle A = \dfrac{{CD}}{{CA}} \Rightarrow CD = CA.\sin \angle A\\\cos \angle A = \dfrac{{AD}}{{AC}} \Rightarrow AD = CA.\cos \angle A\\ \Rightarrow BD = AB – AD.\end{array}$

Áp dụng định lý Pitago cho $\Delta BCD$ để tính $BC.$

Lời giải chi tiết :

Từ $C,$ dựng đường vuông góc với $AB,$ cắt $AB$ tại $D.$

Khi đó ta có: $CD$ là đường cao của $\Delta ABC.$

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong

$\Delta ACD$ vuông tại $D$ ta có:

$\begin{array}{l}\sin \angle A = \dfrac{{CD}}{{CA}} \Rightarrow CD = CA.\sin \angle A\\ \Rightarrow CD = 185.\sin {53^0}.\\\cos \angle A = \dfrac{{AD}}{{AC}} \Rightarrow AD = CA.\cos \angle A\\ \Rightarrow AD = 185.\cos {53^0}.\\ \Rightarrow BD = AB – AD = 234 – 185.\cos {53^0}.\end{array}$

Áp dụng định lý Pitago cho $\Delta BCD$ để tính $BC.$

$\begin{array}{l}B{C^2} = B{D^2} + C{D^2} = {\left( {234 – 185.\cos {{53}^0}} \right)^2} + {\left( {185.\sin {{53}^0}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow B{C^2} = {234^2} – 2.234.185\cos {53^0} + {\left( {185.\cos {{53}^0}} \right)^2} + {\left( {185.\sin {{53}^0}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow B{C^2} = {234^2} – 2.234.185\cos {53^0} + {185^2}\\ \Leftrightarrow B{C^2} \approx 36875,86\\ \Rightarrow BC \approx 192\,m.\end{array}$

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE