4. Bài 6: Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Với \(m = 6\) thì phương trình (1) trở thành:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^2} – 5x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} – x – 4x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} – x} \right) – \left( {4x – 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x – 1} \right) – 4\left( {x – 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {x – 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – 1 = 0\\x – 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy với \(m = 6\) thì tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {1;4} \right\}\).

Để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( { – 5} \right)^2} – 4\left( {m – 2} \right) > 0\\5 > 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\m – 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}25 – 4m + 8 > 0\\m > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}33 – 4m > 0\\m > 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{{33}}{4}\\m > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 < m < \dfrac{{33}}{4}\).

Khi đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}{x_2} = m – 2\end{array} \right.\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{\sqrt {{x_1}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2}} }} = \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {{x_1}}  + \sqrt {{x_2}} }}{{\sqrt {{x_1}{x_2}} }} = \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow 2\left( {\sqrt {{x_1}}  + \sqrt {{x_2}} } \right) = 3\sqrt {{x_1}{x_2}} \\ \Leftrightarrow 4\left( {{x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} } \right) = 9{x_1}{x_2}\\ \Leftrightarrow 4\left( {5 + 2\sqrt {m – 2} } \right) = 9\left( {m – 2} \right)\\ \Leftrightarrow 9\left( {m – 2} \right) – 8\sqrt {m – 2}  – 20 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \(t = \sqrt {m – 2} \,\,\left( {t \ge 0} \right)\), phương trình (*) trở thành:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,9{t^2} – 8t – 20 = 0\\ \Leftrightarrow 9{t^2} – 18t + 10t – 20 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {9{t^2} – 18t} \right) + \left( {10t – 20} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 9t\left( {t – 2} \right) + 10\left( {t – 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t – 2} \right)\left( {9t + 10} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t – 2 = 0\\9t + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t =  – \dfrac{{10}}{9}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(t = 2\) \( \Rightarrow \sqrt {m – 2}  = 2 \Leftrightarrow m – 2 = 4 \Leftrightarrow m = 6\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy \(m = 6\).