1. Căn thức bậc hai

Đề bài

Câu 1 :

Cho số thực $a > 0$. Số nào sau đây là căn bậc hai số học của $a$ ?

A.

$\sqrt a $
B.

$ – \sqrt a $
C.

$\sqrt {2a} $
D.

$2\sqrt a $

Câu 2 :

Số nào sau đây là căn bậc hai số học của số $a = 0,36.$

A.

$ – 0,6$
B.

$0,6$
C.

$0,9$
D.

$ – 0,18$

Câu 3 :

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

$\sqrt {{A^2}} = A\,\,\,khi\,\,A < 0$
B.

$\sqrt {{A^2}} = – A\,\,\,khi\,\,A \ge 0$
C.

$\sqrt A < \sqrt B \,\,\, \Leftrightarrow \,\,0 \le A < B$
D.

$A > B \Leftrightarrow \sqrt A < \sqrt B $

Câu 4 :

Biểu thức $\sqrt {x – 3} $ có nghĩa khi

A.

$x < 3$
B.

$x < 0$
C.

$x \ge 0$
D.

$x \ge 3$

Câu 5 :

So sánh hai số $2$ và $1 + \sqrt 2 $.

A.

$2 \ge 1 + \sqrt 2 $
B.

$2 = 1 + \sqrt 2 $
C.

$2 < 1 + \sqrt 2 $
D.

Không thể so sánh

Câu 6 :

Tìm các số $x$ không âm thỏa mãn $\sqrt x \ge 3$

A.

$x \ge 9$
B.

$x < 9$
C.

$x > 9$
D.

$x \le 9$

Câu 7 :

Tính giá trị biểu thức $\sqrt {{{\left( {2 – \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {1 – \sqrt 3 } \right)}^2}}$

A.

$3$
B.

$1$
C.

$2\sqrt 3 $
D.

$2$

Câu 8 :

Tính giá trị biểu thức $6\sqrt {{{\left( { – 2,5} \right)}^2}} – 8\sqrt {{{\left( { – 0,5} \right)}^2}} $.

A.

$15$
B.

$ – 11$
C.

$ 11$
D.

$ – 13$

Câu 9 :

Tìm điều kiện xác định của $\sqrt {5 – 3x} $.

A.

$x \le \dfrac{5}{3}$
B.

$x \ge \dfrac{5}{3}$
C.

$x \ge \dfrac{3}{5}$
D.

$x \le \dfrac{3}{5}$

Câu 10 :

Rút gọn biểu thức $A = \sqrt {36{a^2}} + 3a$ với $a > 0$.

A.

$ – 9a$
B.

$ – 3a$
C.

$ 3a$
D.

$ 9a$

Câu 11 :

Tìm $x$ để $\sqrt {\dfrac{{ – 2}}{{3x – 1}}} $ có nghĩa

A.

$x < \dfrac{1}{3}$
B.

$x \le \dfrac{1}{3}$
C.

$x \ge \dfrac{1}{3}$
D.

$x > \dfrac{1}{3}$

Câu 12 :

Giá trị của biểu thức $\dfrac{2}{5}\sqrt {25} – \dfrac{9}{2}\sqrt {\dfrac{{16}}{{81}}} + \sqrt {169} $ là

A.

$12$
B.

$13$
C.

$14$
D.

$15$

Câu 13 :

Tìm giá trị của $x$ không âm biết $2\sqrt x – 30 = 0$.

A.

$x = – 15$
B.

$x = 225$
C.

$x = 25$
D.

$x = 15$

Câu 14 :

Tính giá trị biểu thức $\sqrt {15 + 6\sqrt 6 } – \sqrt {15 – 6\sqrt 6 } $.

A.

$2\sqrt 6 $
B.

$\sqrt 6 $
C.

$6 $
D.

$12$

Câu 15 :

Rút gọn biểu thức

$\sqrt {{a^2} + 8a + 16} + \sqrt {{a^2} – 8a + 16} $ với $ – 4 \le a \le 4$ ta được

A.

$2a$
B.

$8$
C.

$ – 8$
D.

$ – 2a$

Câu 16 :

Tìm $x$ thỏa mãn phương trình $\sqrt {{x^2} – x – 6} = \sqrt {x – 3} $

A.

$x = 2$
B.

$x = 4$
C.

$x = 1$
D.

$x = 3$

Câu 17 :

Nghiệm của phương trình $\sqrt {{\rm{2}}{{\rm{x}}^2} + 2} = 3x – 1$ là

A.

$x = 2$
B.

$x = 5$
C.

$x = 1$
D.

$x = 3$

Câu 18 :

Nghiệm của phương trình $\sqrt {{x^2} + 6x + 9} = 4 – x$ là

A.

$x = 2$
B.

$x = \dfrac{1}{4}$
C.

$x = \dfrac{1}{2}$
D.

$x = 3$

Câu 19 :

Rút gọn biểu thức $\dfrac{{\sqrt {{x^2} – 6x + 9} }}{{x – 3}}$ với $x < 3$ ta được

A.

$ – 1$
B.

$ 1$
C.

$ 2$
D.

$ – 2$

Câu 20 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = \sqrt {{m^2} + 2m + 1} + \sqrt {{m^2} – 8m + 16} $.

A.

$2$
B.

$9$
C.

$5$
D.

$10$

Câu 21 :

Rút gọn $P = \sqrt {6 + \sqrt 8 + \sqrt {12} + \sqrt {24} } $

A.
$P = \sqrt 2 + \sqrt 3 $
B.
$P = \sqrt 2 + \sqrt 3 + 1$
C.
$P = \sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 $
D.
Kết quả khác

Câu 22 :

Giá trị của biểu thức $A = \sqrt {3 – 2\sqrt 2 } + \sqrt {5 – 2\sqrt 6 } + \sqrt {7 – 2\sqrt {12} } + … + \sqrt {199 – 2\sqrt {9900} } $ là:

A.
$A = \pm 9$
B.
$A = – 9$
C.
$A = 9$
D.
Kết quả khác

Câu 23 :

Giá trị nhỏ nhất của $A = \sqrt {x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 10} $ là:

A.
$3$
B.

$\dfrac{{31}}{4}$
C.

$\dfrac{{ – \sqrt {31} }}{4}$
D.

$x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt 5 }}{2}$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Cho số thực $a > 0$. Số nào sau đây là căn bậc hai số học của $a$ ?

A.

$\sqrt a $
B.

$ – \sqrt a $
C.

$\sqrt {2a} $
D.

$2\sqrt a $

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về căn bậc hai số học.

Lời giải chi tiết :

Với số dương $a$, số $\sqrt a $ được gọi là căn bậc hai số học của $a$.

Câu 2 :

Số nào sau đây là căn bậc hai số học của số $a = 0,36.$

A.

$ – 0,6$
B.

$0,6$
C.

$0,9$
D.

$ – 0,18$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng định nghĩa căn bậc hai số học. Với số dương $a$, số $\sqrt a $ được gọi là căn bậc hai số học của $a$.

Lời giải chi tiết :

Căn bậc hai số học của $a = 0,36$ là $\sqrt {0,36} = 0,6$.

Câu 3 :

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

$\sqrt {{A^2}} = A\,\,\,khi\,\,A < 0$
B.

$\sqrt {{A^2}} = – A\,\,\,khi\,\,A \ge 0$
C.

$\sqrt A < \sqrt B \,\,\, \Leftrightarrow \,\,0 \le A < B$
D.

$A > B \Leftrightarrow \sqrt A < \sqrt B $

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ và cách so sánh hai căn bậc hai.

Lời giải chi tiết :

– Với $A,B$ không âm ta có $A < B $ hay $ \sqrt A < \sqrt B $ nên C đúng, D sai.

– Ta có hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,A\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A \ge 0\\ – A\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A < 0\end{array} \right.$ nên A, B sai.

Câu 4 :

Biểu thức $\sqrt {x – 3} $ có nghĩa khi

A.

$x < 3$
B.

$x < 0$
C.

$x \ge 0$
D.

$x \ge 3$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng điều kiện để $\sqrt A $ có nghĩa. Ta có $\sqrt A $ có nghĩa khi $ A \ge 0$.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\sqrt {x – 3} $ có nghĩa khi $x – 3 \ge 0 $ hay $x \ge 3$.

Câu 5 :

So sánh hai số $2$ và $1 + \sqrt 2 $.

A.

$2 \ge 1 + \sqrt 2 $
B.

$2 = 1 + \sqrt 2 $
C.

$2 < 1 + \sqrt 2 $
D.

Không thể so sánh

Đáp án : C

Phương pháp giải :

So sánh hai căn bậc hai: Với hai số $a,b$ không âm ta có $a < b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b $.

Lời giải chi tiết :

Tách $2 = 1 + 1 = 1 + \sqrt 1 $.

Vì $1 < 2 $ nên $ \sqrt 1 < \sqrt 2 $

$1 < \sqrt 2 $

$1 + 1 < 1 + \sqrt 2 $

$2 < 1 + \sqrt 2 $.

Câu 6 :

Tìm các số $x$ không âm thỏa mãn $\sqrt x \ge 3$

A.

$x \ge 9$
B.

$x < 9$
C.

$x > 9$
D.

$x \le 9$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng cách so sánh hai căn bậc hai $\sqrt A > \sqrt B \Leftrightarrow A > B$ với $A,B$ không âm.

Lời giải chi tiết :

Vì $3 = \sqrt 9 $ nên $\sqrt x \ge 3$ được viết là $\sqrt x \ge \sqrt 9 $. Vì $x$ không âm nên $\sqrt x \ge \sqrt 9 $$ \Rightarrow x \ge 9$.

Câu 7 :

Tính giá trị biểu thức $\sqrt {{{\left( {2 – \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {1 – \sqrt 3 } \right)}^2}}$

A.

$3$
B.

$1$
C.

$2\sqrt 3 $
D.

$2$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$

– So sánh hai căn bậc hai $\sqrt A > \sqrt B \Leftrightarrow A > B$ với $A,B$ không âm để phá dấu giá trị tuyệt đối.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\sqrt {{{\left( {2 – \sqrt 3 } \right)}^2}} = \left| {2 – \sqrt 3 } \right|$ mà $2 = \sqrt 4 > \sqrt 3 $ (vì $4 > 3$) nên $2 – \sqrt 3 > 0$. Từ đó $\sqrt {{{\left( {2 – \sqrt 3 } \right)}^2}} = \left| {2 – \sqrt 3 } \right| = 2 – \sqrt 3 $.

Ta có $\sqrt {{{\left( {1 – \sqrt 3 } \right)}^2}} = \left| {1 – \sqrt 3 } \right|$ mà $1 = \sqrt 1 < \sqrt 3 $ (vì $1 < 3$) nên $1 – \sqrt 3 < 0$. Từ đó

$\sqrt {{{\left( {1 – \sqrt 3 } \right)}^2}} = \left| {1 – \sqrt 3 } \right|$$ = \sqrt 3 – 1$.

Nên $\sqrt {{{\left( {2 – \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {1 – \sqrt 3 } \right)}^2}} $$ = 2 – \sqrt 3 + \sqrt 3 – 1 = 1$.

Câu 8 :

Tính giá trị biểu thức $6\sqrt {{{\left( { – 2,5} \right)}^2}} – 8\sqrt {{{\left( { – 0,5} \right)}^2}} $.

A.

$15$
B.

$ – 11$
C.

$ 11$
D.

$ – 13$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$

– Phá dấu giá trị tuyệt đối $\left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,A \ge 0\\ – A\,\,\,khi\,A < 0\end{array} \right.$.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\sqrt {{{\left( { – 2,5} \right)}^2}} = \left| { – 2,5} \right| = 2,5$ và $\sqrt {{{\left( { – 0,5} \right)}^2}} = \left| { – 0,5} \right| = 0,5$

Nên $6\sqrt {{{\left( { – 2,5} \right)}^2}} – 8\sqrt {{{\left( { – 0,5} \right)}^2}} $$ = 6.2,5 – 8.0,5 = 15 – 4 = 11.$

Câu 9 :

Tìm điều kiện xác định của $\sqrt {5 – 3x} $.

A.

$x \le \dfrac{5}{3}$
B.

$x \ge \dfrac{5}{3}$
C.

$x \ge \dfrac{3}{5}$
D.

$x \le \dfrac{3}{5}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng điều kiện để $\sqrt A $ có nghĩa. Ta có $\sqrt A $ có nghĩa khi $ A \ge 0$.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\sqrt {5 – 3x} $ có nghĩa khi

$5 – 3x \ge 0 \\3x \le 5 \\ x \le \dfrac{5}{3}$.

Câu 10 :

Rút gọn biểu thức $A = \sqrt {36{a^2}} + 3a$ với $a > 0$.

A.

$ – 9a$
B.

$ – 3a$
C.

$ 3a$
D.

$ 9a$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$

– Phá dấu giá trị tuyệt đối $\left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,A \ge 0\\ – A\,\,\,khi\,A < 0\end{array} \right.$.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\sqrt {36{a^2}} = \sqrt {{{\left( {6a} \right)}^2}} = \left| {6a} \right|$ mà $a > 0 \Rightarrow 6a > 0$ nên $\left| {6a} \right| = 6a$ hay $\sqrt {36{a^2}} = 6a$.

Từ đó $A = \sqrt {36{a^2}} + 3a = 6a + 3a = 9a$

Câu 11 :

Tìm $x$ để $\sqrt {\dfrac{{ – 2}}{{3x – 1}}} $ có nghĩa

A.

$x < \dfrac{1}{3}$
B.

$x \le \dfrac{1}{3}$
C.

$x \ge \dfrac{1}{3}$
D.

$x > \dfrac{1}{3}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng điều kiện để $\sqrt A $ có nghĩa. Ta có $\sqrt A $ có nghĩa $ \Leftrightarrow A \ge 0$.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\sqrt {\dfrac{{ – 2}}{{3x – 1}}} $có nghĩa khi $\dfrac{{ – 2}}{{3x – 1}} \ge 0$ mà $ – 2 < 0$

$ \Rightarrow 3x – 1 < 0 $

hay $ x < \dfrac{1}{3}$.

Câu 12 :

Giá trị của biểu thức $\dfrac{2}{5}\sqrt {25} – \dfrac{9}{2}\sqrt {\dfrac{{16}}{{81}}} + \sqrt {169} $ là

A.

$12$
B.

$13$
C.

$14$
D.

$15$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức$\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\sqrt {25} = \sqrt {{5^2}} = \left| 5 \right| = 5$, $\sqrt {\dfrac{{16}}{{81}}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{4}{9}} \right)}^2}} = \left| {\dfrac{4}{9}} \right| = \dfrac{4}{9}$, $\sqrt {169} = \sqrt {{{13}^2}} = \left| {13} \right| = 13$

Nên $\dfrac{2}{5}\sqrt {25} – \dfrac{9}{2}\sqrt {\dfrac{{16}}{{81}}} + \sqrt {169} $$ = \dfrac{2}{5}.5 – \dfrac{9}{2}.\dfrac{4}{9} + 13 = 2 – 2 + 13 = 13$

Câu 13 :

Tìm giá trị của $x$ không âm biết $2\sqrt x – 30 = 0$.

A.

$x = – 15$
B.

$x = 225$
C.

$x = 25$
D.

$x = 15$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đưa phương trình chứa căn về dạng $\sqrt A = B$ và sử dụng cách giải $\sqrt A = B\; khi \;\left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A = {B^2}\end{array} \right.$.

Lời giải chi tiết :

Với $x$ không âm ta có

$2\sqrt x – 30 = 0 $

$ 2\sqrt x = 30 $

$ \sqrt x = 15$ mà $15 > 0$ nên $\sqrt x = 15 $

$ x = {15^2} $

$x = 225$ (thỏa mãn).

Vậy $x = 225$.

Câu 14 :

Tính giá trị biểu thức $\sqrt {15 + 6\sqrt 6 } – \sqrt {15 – 6\sqrt 6 } $.

A.

$2\sqrt 6 $
B.

$\sqrt 6 $
C.

$6 $
D.

$12$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

-Đưa biểu thức dưới dấu căn thành hằng đẳng thức ${\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$ và ${\left( {a – b} \right)^2} = {a^2} – 2ab + {b^2}$.

-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$

– Phá dấu giá trị tuyệt đối $\left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,A \ge 0\\ – A\,\,\,khi\,A < 0\end{array} \right.$.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\sqrt {15 + 6\sqrt 6 } = \sqrt {{3^2} + 2.3.\sqrt 6 + 6} = \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt 6 } \right)}^2}}$

$ = \left| {3 + \sqrt 6 } \right| = 3 + \sqrt 6 $

Và $\sqrt {15 – 6\sqrt 6 } = \sqrt {{3^2} – 2.3.\sqrt 6 + 6} = \sqrt {{{\left( {3 – \sqrt 6 } \right)}^2}} $

$= \left| {3 – \sqrt 6 } \right|= 3 – \sqrt 6 $

(vì $3 = \sqrt 9 > \sqrt 6 \Rightarrow 3 – \sqrt 6 > 0$)

Nên $\sqrt {15 + 6\sqrt 6 } – \sqrt {15 – 6\sqrt 6 } $

$ = 3 + \sqrt 6 – \left( {3 – \sqrt 6 } \right) $

$= 3 + \sqrt 6 – 3 + \sqrt 6 = 2\sqrt 6 $

Câu 15 :

Rút gọn biểu thức

$\sqrt {{a^2} + 8a + 16} + \sqrt {{a^2} – 8a + 16} $ với $ – 4 \le a \le 4$ ta được

A.

$2a$
B.

$8$
C.

$ – 8$
D.

$ – 2a$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

-Đưa biểu thức dưới dấu căn thành hằng đẳng thức ${\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$ và ${\left( {a – b} \right)^2} = {a^2} – 2ab + {b^2}$.

-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$

– Phá dấu giá trị tuyệt đối $\left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,A \ge 0\\ – A\,\,\,khi\,A < 0\end{array} \right.$ (dựa vào điều kiện đề bài).

Lời giải chi tiết :

Ta có $\sqrt {{a^2} + 8a + 16} = \sqrt {{{\left( {a + 4} \right)}^2}} = \left| {a + 4} \right|$.

Mà $ – 4 \le a \le 4 \Rightarrow a + 4 \ge 0$

$\Rightarrow \left| {a + 4} \right| = a + 4$

Hay $\sqrt {{a^2} + 8a + 16} = a + 4$ với $ – 4 \le a \le 4$

Ta có $\sqrt {{a^2} – 8a + 16} = \sqrt {{{\left( {a – 4} \right)}^2}} $

$= \left| {a – 4} \right|$.

Mà $ – 4 \le a \le 4 \Rightarrow a – 4 \le 0 $

$\Rightarrow \left| {a – 4} \right| = 4 – a$

Hay $\sqrt {{a^2} – 8a + 16} = 4 – a$ với $ – 4 \le a \le 4$

Khi đó $\sqrt {{a^2} + 8a + 16} + \sqrt {{a^2} – 8a + 16} $

$= a + 4 + 4 – a = 8$.

Câu 16 :

Tìm $x$ thỏa mãn phương trình $\sqrt {{x^2} – x – 6} = \sqrt {x – 3} $

A.

$x = 2$
B.

$x = 4$
C.

$x = 1$
D.

$x = 3$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

– Tìm điều kiện xác định

– Với điều kiện trên thì phương trình theo dạng $\sqrt A = \sqrt B \Leftrightarrow A = B$

-So sánh điều kiện và kết luận nghiệm

Lời giải chi tiết :

ĐK: $x – 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3$

Với điều kiện trên, ta có $\sqrt {{x^2} – x – 6} = \sqrt {x – 3} $

$ \Leftrightarrow {x^2} – x – 6 = x – 3$

$\Leftrightarrow {x^2} – 2x – 3 = 0 $

$\Leftrightarrow {x^2} – 3x + x – 3 = 0$

$ \Leftrightarrow x\left( {x – 3} \right) + \left( {x – 3} \right) = 0 $

$\Leftrightarrow \left( {x – 3} \right)\left( {x + 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – 3 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\,\left( N \right)\\x = – 1\,(L)\end{array} \right.$.

Vậy phương trình có nghiệm $x = 3$.

Câu 17 :

Nghiệm của phương trình $\sqrt {{\rm{2}}{{\rm{x}}^2} + 2} = 3x – 1$ là

A.

$x = 2$
B.

$x = 5$
C.

$x = 1$
D.

$x = 3$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Phương trình theo dạng $\sqrt A = B$

– Tìm điều kiện $B \ge 0$

– Với điều kiện trên thì phương trình theo dạng $\sqrt A = B \Leftrightarrow A = {B^2}$

– So sánh điều kiện và kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết :

ĐK: $3x – 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{3}$

Với điều kiện trên ta có: $\sqrt {{\rm{2}}{{\rm{x}}^2} + 2} = 3x – 1$$ \Leftrightarrow 2{x^2} + 2 = {\left( {3x – 1} \right)^2} $

$\Leftrightarrow 2{x^2} + 2 = 9{x^2} – 6x + 1 $

$\Leftrightarrow 7{x^2} – 6x – 1 = 0$

$ \Leftrightarrow 7{x^2} – 7x + x – 1 = 0 $

$\Leftrightarrow 7x\left( {x – 1} \right) + \left( {x – 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {7x + 1} \right)\left( {x – 1} \right) = 0 $

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}7x + 1 = 0\\x – 1 = 0\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ – 1}}{7}\left( L \right)\\x = 1\,\left( N \right)\end{array} \right.$.

Câu 18 :

Nghiệm của phương trình $\sqrt {{x^2} + 6x + 9} = 4 – x$ là

A.

$x = 2$
B.

$x = \dfrac{1}{4}$
C.

$x = \dfrac{1}{2}$
D.

$x = 3$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

-Đưa biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức.

-Sử dụng cách giải phương trình $\sqrt {{A^2}} = B $ khi $\left| A \right| = B.$

– Với điều kiện $B \ge 0$, giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối $\left| A \right| = B $ hay$ \left[ \begin{array}{l}A = B\\A = – B\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

$\sqrt {{x^2} +6x + 9} = 4 – x$

$\sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2}} = 4 – x$

$ \left| {x + 3} \right| = 4 – x \, \,\, ĐK: x \le 4 \\ \left[ \begin{array}{l}x + 3 = 4 – x\\x + 3 = x – 4\end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{l}2x = 1 \\ x = \dfrac{1}{2}\, \, (TM)\\3 = – 4\,\left( L \right)\end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm $x = \dfrac{1}{2}$.

Câu 19 :

Rút gọn biểu thức $\dfrac{{\sqrt {{x^2} – 6x + 9} }}{{x – 3}}$ với $x < 3$ ta được

A.

$ – 1$
B.

$ 1$
C.

$ 2$
D.

$ – 2$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$

– Phá dấu giá trị tuyệt đối $\left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,A \ge 0\\ – A\,\,\,khi\,A < 0\end{array} \right.$ (dựa vào điều kiện đề bài).

Lời giải chi tiết :

Ta có $\sqrt {{x^2} – 6x + 9} = \sqrt {{{\left( {x – 3} \right)}^2}} = \left| {x – 3} \right| = 3 – x$ vì $x < 3$.

Nên $\dfrac{{\sqrt {{x^2} – 6x + 9} }}{{x – 3}} = \dfrac{{3 – x}}{{x – 3}} = \dfrac{{ – \left( {x – 3} \right)}}{{\left( {x – 3} \right)}} = – 1$

Câu 20 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = \sqrt {{m^2} + 2m + 1} + \sqrt {{m^2} – 8m + 16} $.

A.

$2$
B.

$9$
C.

$5$
D.

$10$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

– Đưa biểu thức dưới dấu căn thành hằng đẳng thức.

– Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$

– Sử dụng bất đẳng thức $\left| A \right| + \left| B \right| \ge \left| {A + B} \right|$ với mọi $A,B.$ Dấu ‘=’ xảy ra $ \Leftrightarrow A = B$

Lời giải chi tiết :

Ta có $A = \sqrt {{m^2} + 2m + 1} + \sqrt {{m^2} – 8m + 16} $$ = \sqrt {{{\left( {m + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {m – 4} \right)}^2}} = \left| {m + 1} \right| + \left| {m – 4} \right|$

Ta có $\left| {m + 1} \right| + \left| {m – 4} \right| = \left| {m + 1} \right| + \left| {4 – m} \right| \ge \left| {m + 1 + 4 – m} \right| = 5$

Dấu “=” xảy ra khi $m + 1 = 4 – m $ hay $ 2m = 3 \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}$

Suy ra GTNN của $B$ là $5 $ khi $ m = \dfrac{3}{2}$ .

Câu 21 :

Rút gọn $P = \sqrt {6 + \sqrt 8 + \sqrt {12} + \sqrt {24} } $

A.
$P = \sqrt 2 + \sqrt 3 $
B.
$P = \sqrt 2 + \sqrt 3 + 1$
C.
$P = \sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 $
D.
Kết quả khác

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ – A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..$

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}P = \sqrt {6 + \sqrt 8 + \sqrt {12} + \sqrt {24} } \\ = \sqrt {6 + \sqrt {4.2} + \sqrt {4.3} + \sqrt {4.6} } \\ = \sqrt {6+ 2\sqrt 2 + 2\sqrt 3 + 2\sqrt 6 } \\ = \sqrt {2 + 3 + 1 + 2\sqrt 2 + 2\sqrt 3 + 2\sqrt 2 .\sqrt 3 } \\ = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + 1} \right)}^2}} \\ = \left| {\sqrt 2 + \sqrt 3 + 1} \right|\\ = \sqrt 2 + \sqrt 3 + 1\,\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt 2 + \sqrt 3 + 1 > 0} \right).\end{array}$

Câu 22 :

Giá trị của biểu thức $A = \sqrt {3 – 2\sqrt 2 } + \sqrt {5 – 2\sqrt 6 } + \sqrt {7 – 2\sqrt {12} } + … + \sqrt {199 – 2\sqrt {9900} } $ là:

A.
$A = \pm 9$
B.
$A = – 9$
C.
$A = 9$
D.
Kết quả khác

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Biến đổi các biểu thức dưới dấu căn về bình phương của một hiệu sau đó áp dụng công thức để đưa biểu thức ra ngoài dấu căn.

Áp dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ – A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..$

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$A = \sqrt {3 – 2\sqrt 2 } + \sqrt {5 – 2\sqrt 6 } + \sqrt {7 – 2\sqrt {12} } + … + \sqrt {199 – 2\sqrt {9900} } $

$ = \sqrt {2 – 2.\sqrt 2 + 1} + \sqrt {3 – 2.\sqrt 3 .\sqrt 2 + 2} + \sqrt {4 – 2.2.\sqrt 3 + 3} + ….. + \sqrt {100 – 2.\sqrt {100.99} + 99} $

$ = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 – 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 – \sqrt 2 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 4 – \sqrt 3 } \right)}^2}} + …. + \sqrt {{{\left( {\sqrt {100} – \sqrt {99} } \right)}^2}} $

$ = \left| {\sqrt 2 – 1} \right| + \left| {\sqrt 3 – \sqrt 2 } \right| + \left| {\sqrt 4 – \sqrt 3 } \right| + … + \left| {10 – \sqrt {99} } \right|$

$ = \sqrt 2 – 1 + \sqrt 3 – \sqrt 2 + \sqrt 4 – \sqrt 3 + … + 10 – \sqrt {99} $ $\left( {do\,\,\sqrt 2 – 1 > 0,…..,\,\,10 – \sqrt {99} > 0} \right)$

$ = 10 – 1 = 9$

Câu 23 :

Giá trị nhỏ nhất của $A = \sqrt {x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 10} $ là:

A.
$3$
B.

$\dfrac{{31}}{4}$
C.

$\dfrac{{ – \sqrt {31} }}{4}$
D.

$x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt 5 }}{2}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Biến đổi: $x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = \left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)$

Đặt ${x^2} + 3x = y$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ẩn $y.$

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 10 \ge 0$
$\begin{array}{l}A = \sqrt {x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 10} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {\left[ {x\left( {x + 3} \right)} \right].\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)} \right] + 10} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {\left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) + 10} \end{array}$
Đặt ${x^2} + 3x = y$
Khi đó, $A$ trở thành:

$\begin{array}{l}A = \sqrt {{y^2} + 2y + 10} \\A = \sqrt {{{\left( {y + 1} \right)}^2} + 9} \ge \sqrt 9 \\ \Rightarrow A \ge 3\end{array}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $y = – 1$

Suy ra:

$\begin{array}{l}{x^2} + 3x = – 1\\ hay \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ – 3 + \sqrt 5 }}{2}}\\{x = \frac{{ – 3 – \sqrt 5 }}{2}}\end{array}} \right.\end{array}$

Vậy GTNN của A bằng 3 khi $x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt 5 }}{2}$

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE