Giải bài 8 trang 85 sách bài tập toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Mỗi giới hạn sau có tồn tại không? Nếu có, hãy tìm giới hạn đó.

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{\left| x \right|}}\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} – 2x}}{{\left| {x – 2} \right|}}\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2}}}{{\left| x \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} x = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{{x^2}}}{{\left| x \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{{x^2}}}{{ – x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \left( { – x} \right) = 0\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2}}}{{\left| x \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{{x^2}}}{{\left| x \right|}} = 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{\left| x \right|}} = 0\);

b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{{x^2} – 2x}}{{\left| {x – 2} \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{x\left( {x – 2} \right)}}{{2 – x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \left( { – x} \right) =  – 2\);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} – 2x}}{{\left| {x – 2} \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x\left( {x – 2} \right)}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} x = 2\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{{x^2} – 2x}}{{\left| {x – 2} \right|}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} – 2x}}{{\left| {x – 2} \right|}}\) nên không tồn tại giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} – 2x}}{{\left| {x – 2} \right|}}\).