Giải bài 1 trang 84 sách bài tập toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  – 1} \left( {{x^3} – 3x} \right)$;

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {2x + 5}$;

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{4 – x}}{{2x + 1}}$.

Lời giải chi tiết

a) Giả sử $\left( {{x_n}} \right)$ là dãy số bất kì thỏa mãn ${x_n} \ne  – 1$ với mọi n và ${x_n} \to  – 1$ khi $n \to  + \infty$.

Ta có: $\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {x_n^3 – 3{x_n}} \right) = \lim x_n^3 – 3\lim {x_n} = {\left( { – 1} \right)^3} – 3.\left( { – 1} \right) = 2$

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to  – 1} \left( {{x^3} – 3x} \right) = 2$;

b) Giả sử $\left( {{x_n}} \right)$ là dãy số bất kì thỏa mãn ${x_n} \ge \frac{{ – 5}}{2},{x_n} \ne 2$ với mọi n và $\lim {x_n} = 2$

Ta có: $\lim \sqrt {2{x_n} + 5}  = \sqrt {2\lim {x_n} + \lim 5}  = \sqrt {2.2 + 5}  = 3$

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {2x + 5}  = 3$;

c) Giả sử $\left( {{x_n}} \right)$ là dãy số bất kì thỏa mãn $\lim {x_n} =  + \infty$.

Ta có: $\lim \frac{{4 – {x_n}}}{{2{x_n} + 1}}$$= \lim \frac{{\frac{4}{{{x_n}}} – 1}}{{2 + \frac{1}{{{x_n}}}}}$$= \frac{{\lim \frac{4}{{{x_n}}} – \lim 1}}{{\lim 2 + \lim \frac{1}{{{x_n}}}}}$$= \frac{{0 – 1}}{{2 + 0}} = \frac{{ – 1}}{2}$

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{4 – x}}{{2x + 1}} = \frac{{ – 1}}{2}$.