8. Tổng hợp bài tập dao động và sóng điện từ (phần 1)

– Cách 1:

Gọi độ lệch pha giữa ${q_1}$ và ${q_2}$ là $\Delta \varphi$, tại thời điểm ${q_1} = 0$ thì ${i_1} = {I_{01}} = \omega {Q_{01}}$ và ${q_2} = {Q_{02}}{\rm{cos}}\left( {\Delta \varphi } \right)$

Thay vào phương trình ${q_1}{i_2} + {\rm{ }}{q_2}{i_1} = {\rm{ }}{6.10^{ – 9}}$ ta có:

${Q_1}{Q_2}\omega c{\rm{os}}\Delta \varphi {\rm{ =  6}}{\rm{.1}}{{\rm{0}}^{{\rm{ – 9}}}} \Rightarrow \omega  = \dfrac{{{{6.10}^{ – 9}}}}{{{Q_1}{Q_2}.c{\rm{os}}\Delta \varphi }}$

Mặt khác ta có:

${Q_1} + {Q_2} \geqslant 2\sqrt {{Q_1}{Q_2}} \Rightarrow {Q_1}{Q_2} \leqslant \dfrac{{{{\left( {{Q_1} + {Q_2}} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{{{{\left( {{{8.10}^{ – 6}}} \right)}^2}}}{4} = 1,{6.10^{ – 11}}$

Lại có: $\left| {c{\rm{os}}\Delta \varphi } \right| \le 1$

$\to \omega  \ge \dfrac{{{{6.10}^{ – 9}}}}{{{{1,6.10}^{ – 11}}}} = 375$  (1)

Thêm vào đó, ta có: $\omega  = 2\pi f \to f = \dfrac{\omega }{{2\pi }}$ (2)

 Từ (1) và (2) ta suy ra: $f \geqslant \dfrac{{375}}{{2\pi }} = 59,68Hz$

– Cách 2:

Ta có: ${Q_1}.{Q_2} = \sqrt {q_1^2 + {{\left( {\dfrac{{{i_1}}}{\omega }} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\dfrac{{{i_2}}}{\omega }} \right)}^2} + q_2^2} \geqslant \dfrac{{{q_1}{i_2}}}{\omega } + \dfrac{{{q_2}{i_1}}}{\omega } = \dfrac{{{{6.10}^{ – 9}}}}{\omega }(1)$  (bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki)

Mà $\dfrac{{{Q_1} + {Q_2}}}{2} \ge \sqrt {{Q_1}.{Q_2}}  \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{{Q_1} + {Q_2}}}{2}} \right)^2} \ge {Q_1}.{Q_2} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{{{8.10}^{ – 6}}}}{2}} \right)^2} \ge {Q_1}.{Q_2}(2)$ (bất đẳng thức Cô-si)

Từ (1) và (2) =>${\left( {\dfrac{{{{8.10}^{ – 6}}}}{2}} \right)^2} \ge \dfrac{{{{6.10}^{ – 9}}}}{\omega } \Rightarrow \omega  \ge \dfrac{{{{4.6.10}^{ – 9}}}}{{{{64.10}^{ – 12}}}} = 375(rad/s)$

Thêm vào đó, ta có: $\omega = 2\pi f \to f = \dfrac{\omega }{{2\pi }}$ (2)

 Từ (1) và (2) ta suy ra: $f \ge \dfrac{{375}}{{2\pi }} = 59,68Hz$