Giải bài 5 trang 20 sách bài tập toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 1

Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của x. a) ${\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} – x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)$ ;

Đề bài

Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của x.

a) ${\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} – x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)$ ;

b) $\cos \left( {x – \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right)$ .

Phương pháp giải – Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về công thức lượng giác để tính:

a) $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha – \beta } \right)} \right]$ , $\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha – 1$

b) $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha – \beta } \right)} \right]$

Lời giải chi tiết

a) ${\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} – x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)$ $= {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + \cos 2x} \right)$ $= {\sin ^2}x – \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos 2x$

$= {\sin ^2}x – \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\left( {1 – 2{{\sin }^2}x} \right)$ $= \frac{1}{4}$

Vậy giá trị của biểu thức ${\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} – x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)$ không phụ thuộc vào giá trị của x.

b) $\cos \left( {x – \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right)$

$= \frac{1}{2}\left[ {\cos \frac{{7\pi }}{{12}} + \cos \left( {2x – \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right] + \frac{1}{2}\left[ {\cos \frac{{7\pi }}{{12}} + \cos \left( {2x + \frac{{11\pi }}{{12}}} \right)} \right]$

$= \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2x – \frac{\pi }{{12}}} \right) + \cos \left( {2x + \pi – \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right] + \cos \frac{{7\pi }}{{12}}$

$= \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2x – \frac{\pi }{{12}}} \right) – \cos \left( {2x – \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right] + \cos \frac{{7\pi }}{{12}}$ $= \cos \frac{{7\pi }}{{12}}$

Vậy giá trị của biểu thức $\cos \left( {x – \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right)$ không phụ thuộc vào giá trị của x.