Giải bài 7 trang 20 sách bài tập toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Cho \(\sin \alpha  + \cos \alpha  = m\). Tìm m để \(\sin 2\alpha  =  – \frac{3}{4}\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\sin \alpha  + \cos \alpha  \) \( = \sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin \alpha  + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos \alpha } \right) \) \( = \sqrt 2 \sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{4}} \right)\)

Vì \( – 1 \le \sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1 \) \( \Rightarrow  – \sqrt 2  \le \sqrt 2 \sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \). Do đó, \( – \sqrt 2  \le m \le \sqrt 2 \)

Lại có: \({\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^2} \) \( = {\sin ^2}\alpha  + 2\sin \alpha \cos \alpha  + {\cos ^2}\alpha  \) \( = 1 + \sin 2\alpha \)

Do đó, \(\sin 2\alpha  \) \( = {\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^2} – 1 \) \( = {m^2} – 1\)

Mà \(\sin 2\alpha  \) \( =  – \frac{3}{4}\) nên \({m^2} – 1 \) \( = \frac{{ – 3}}{4} \Leftrightarrow m \) \( =  \pm \frac{1}{2}\left( {TM} \right)\)