Giải bài 6 trang 20 sách bài tập toán 11 – Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:

a) $\cos A\cos B – \sin A\sin B + \cos C = 0$;

b) $\cos \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} + \sin \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2} = \cos \frac{A}{2}$.

Lời giải chi tiết

a) Tam giác ABC có: $A + B + C$ $= {180^0} \Rightarrow A + B$ $= {180^0} – C$

$\cos A\cos B – \sin A\sin B + \cos C$ $= \cos \left( {A + B} \right) + \cos C$ $= \cos \left( {{{180}^0} – C} \right) + \cos C$

$=  – \cos C + \cos C$ $= 0$

b) Tam giác ABC có: $A + B + C$ $= {180^0} \Rightarrow \frac{B}{2} + \frac{C}{2}$ $= {90^0} – \frac{A}{2}$

$\cos \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} + \sin \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}$ $= \sin \left( {\frac{B}{2} + \frac{C}{2}} \right)$ $= \sin \left( {{{90}^0} – \frac{A}{2}} \right)$ $= \cos \frac{A}{2}$.