Các dạng toán về tìm min, max liên quan đến số phức

Các dạng toán về tìm min, max liên quan đến số phức

1. Kiến thức cần nhớ

– Mô đun của số phức z=a+bi|z|=a2+b20

– Bất đẳng thức Cô-si: x+y2xy với x,y>0

– Bất đẳng thức Bunhiacopxki: (a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2

– Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: ||z1||z2|||z1±z2||z1|+|z2| 

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất.

Phương pháp:

– Bước 1: Gọi số phức z=x+yi(x,yR).

– Bước 2: Thay z và biểu thức đã cho tìm mối quan hệ của x,y.

– Bước 3: Đánh giá biểu thức có được để tìm max, min, từ đó suy ra x,yz.

Ví dụ: Cho z1;z2 thỏa mãn |z1z2|=1;|z1+z2|=3. Tính maxT=|z1|+|z2|.

A. 8

B. 10

C. 4

D. 10

Giải

Đặt z1=x1+y1i;z2=x2+y2i. (x1,y1,x2,y2R). Điều kiện đã cho trở thành

+) |z1z2|=1|x1+y1ix2y2i|=1(x1x2)2+(y1y2)2=1 

x12+x22+y12+y222x1x22y1y2=1  (1)

+) |z1+z2|=3|x1+y1i+x2+y2i|=3

x12+x22+y12+y22+2x1x2+2y1y2=9  (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được x12+x22+y12+y22=5

+) T=|z1|+|z2|=x12+y12+x22+y22

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

T=1.x12+y12+1.x22+y22(1+1).(x12+x22+y12+y22) 

=2.5=10 maxT=10.

Đáp án D 

 

Có thể sử dụng phương pháp hình học để giải các bài tập dạng này. 

 
Phương pháp:
Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Có 4 tập hợp điểm thường gặp
+) Đường thẳng
Vui lòng nhập mật khẩu để tiếp tục

test123

+) Đường tròn
+) Đường elip
+) Parabol
Bước 2: Vẽ tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Từ đó tìm max, min của mô đun

Số phức z=x+yi(x,yR)  có điểm biểu diễn là M(x,y). Mô đun của số phức z là độ dài đoạn thẳng OM với O là gốc tọa độ.

Ví dụ: Cho số phức z=x+yi thỏa mãn |z24i|=|z2i| đồng thời có mô đun nhỏ nhất. Tính N=x2+y2.

A. N=8

B. N=10

C. N=16              

D. N=26

Giải

Gọi M(x,y) là điểm biểu diễn của số phức z=x+yi

+) |z24i|=|z2i|(x2)2+(y4)2=x2+(y2)24x+48y+16=4y+4

4x+4y=16x+y4=0

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của z là một đường thẳng x+y4=0

+) N=x2+y2=|z|2

Nmin|z|minOMmin OMd:x+y4=0

M(2,2)  N=22+22=8

Đáp án A.

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của mô đun số phức thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp:

– Sử dụng các bất đẳng thức Cô si, Bunhiacopxki và bất đẳng thức tam giác.

Ví dụ: Cho z thỏa mãn |z24i|=5. Tìm max|z|.

A. 35

B. 5

C. 5                                     

D. 13

Giải

Dấu hiệu: Đề bài yêu cầu tính max của một mô đun ta sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đôi.

Ta có: |z||24i||z24i||z|205|z|20+5=35

max|z|=35

Đáp án A.

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE