Các dạng toán về tìm min, max liên quan đến số phức

1. Kiến thức cần nhớ

– Mô đun của số phức $z = a + bi$ là $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \ge 0$

– Bất đẳng thức Cô-si: $x + y \ge 2\sqrt {xy}$ với $x,y > 0$

– Bất đẳng thức Bunhiacopxki: $\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}$

– Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: $\left| {\left| {{z_1}} \right| – \left| {{z_2}} \right|} \right| \le \left| {{z_1} \pm {z_2}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|$

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất.

Phương pháp:

– Bước 1: Gọi số phức $z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)$ .

– Bước 2: Thay $z$ và biểu thức đã cho tìm mối quan hệ của $x,y$ .

– Bước 3: Đánh giá biểu thức có được để tìm max, min, từ đó suy ra $x,y \Rightarrow z$ .

Ví dụ: Cho ${z_1};{z_2}$ thỏa mãn $\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 1;\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 3.$ Tính max $T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|.$

A. $8$

B. $10$

C. $4$

D. $\sqrt {10}$

Giải

Đặt ${z_1} = {x_1} + {y_1}i;{z_2} = {x_2} + {y_2}i.$ $({x_1},{y_1},{x_2},{y_2} \in R)$ . Điều kiện đã cho trở thành

+) $\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 1$ $\Rightarrow \left| {{x_1} + {y_1}i – {x_2} – {y_2}i} \right| = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{{({x_1} – {x_2})}^2} + {{({y_1} – {y_2})}^2}} = 1$

$\Leftrightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 – 2{x_1}{x_2} – 2{y_1}{y_2} = 1$ (1)

+) $\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 3 \Rightarrow \left| {{x_1} + {y_1}i + {x_2} + {y_2}i} \right| = 3$

$\Leftrightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 + 2{x_1}{x_2} + 2{y_1}{y_2} = 9$ (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được ${x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2 = 5$

+) $T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{x_1}^2 + {y_1}^2} + \sqrt {{x_2}^2 + {y_2}^2}$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

$T = 1.\sqrt {{x_1}^2 + {y_1}^2} + 1.\sqrt {{x_2}^2 + {y_2}^2} \le \sqrt {\left( {1 + 1} \right).\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2 + {y_1}^2 + {y_2}^2} \right)}$

$= \sqrt {2.5} = \sqrt {10} \Rightarrow$ $\max T = \sqrt {10} .$

Đáp án D

Có thể sử dụng phương pháp hình học để giải các bài tập dạng này.

Phương pháp:

Bước 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Có 4 tập hợp điểm thường gặp

+) Đường thẳng

+) Đường tròn

+) Đường elip

+) Parabol

Bước 2: Vẽ tập hợp điểm biểu diễn của số phức. Từ đó tìm max, min của mô đun

Số phức $z = x + yi(x,y \in R)$ có điểm biểu diễn là $M(x,y)$ . Mô đun của số phức $z$ là độ dài đoạn thẳng $OM$ với $O$ là gốc tọa độ.

Ví dụ: Cho số phức $z = x + yi$ thỏa mãn $\left| {z – 2 – 4i} \right| = \left| {z – 2i} \right|$ đồng thời có mô đun nhỏ nhất. Tính $N = {x^2} + {y^2}.$

A. $N = 8$

B. $N = 10$

C. $N = 16$

D. $N = 26$

Giải

Gọi $M(x,y)$ là điểm biểu diễn của số phức $z = x + yi$

+) $\left| {z – 2 – 4i} \right| = \left| {z – 2i} \right|$ $\Rightarrow {(x – 2)^2} + {(y – 4)^2} = {x^2} + {(y – 2)^2} \Leftrightarrow – 4x + 4 – 8y + 16 = – 4y + 4$

$\Leftrightarrow 4x + 4y = 16 \Leftrightarrow x + y – 4 = 0$

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của $z$ là một đường thẳng $x + y – 4 = 0$

+) $N = {x^2} + {y^2} = {\left| z \right|^2}$

$\Rightarrow N$ min $\Leftrightarrow \left| z \right|$ min $\Leftrightarrow OM$ min $\Rightarrow OM \bot d:x + y – 4 = 0$

$\Rightarrow M(2,2)$ $\Rightarrow N = {2^2} + {2^2} = 8$

Đáp án A.

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của mô đun số phức thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp:

– Sử dụng các bất đẳng thức Cô si, Bunhiacopxki và bất đẳng thức tam giác.

Ví dụ: Cho $z$ thỏa mãn $\left| {z – 2 – 4i} \right| = \sqrt 5 .$ Tìm max $\left| z \right|.$

A. $3\sqrt 5$

B. $5$

C. $\sqrt 5$

D. $\sqrt {13}$

Giải

Dấu hiệu: Đề bài yêu cầu tính max của một mô đun ta sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đôi.

Ta có: $\left| z \right| – \left| { – 2 – 4i} \right| \le \left| {z – 2 – 4i} \right| \Leftrightarrow \left| z \right| – \sqrt {20} \le \sqrt 5 \Leftrightarrow \left| z \right| \le \sqrt {20} + \sqrt 5 = 3\sqrt 5$