3. Bài 3: Hình cầu. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

Đề bài

Câu 1 :

Cho hình cầu có đường kính $d = 6\,cm$ . Diện tích mặt cầu là

A.

$36\pi \,\left( {c{m^2}} \right)$
B.

$9\pi \,\left( {c{m^2}} \right)$
C.

$12\pi \,\left( {c{m^2}} \right)$
D.

$36\pi \,\left( {cm} \right)$

Câu 2 :

Cho mặt cầu có thể tích $V = 288\pi \,\left( {c{m^3}} \right)$ . Tính đường kính mặt cầu.

A.

$6\,cm$
B.

$12\,cm$
C.

$8\,cm$
D.

$16\,cm$

Câu 3 :

Cho mặt cầu có số đo diện tích bằng với số đo thể tích. Tính bán kính mặt cầu.

A.

$3$
B.

$6$
C.

$9$
D.

$12$

Câu 4 :

Cho hình cầu có bán kính $3\,cm$. Một hình nón cũng có bán kính đáy bằng $3\,cm$ và có diện tích toàn phần bằng diện tích mặt cầu. Tính chiều cao của hình nón.

A.

$3$
B.

$6\sqrt 3 $
C.

$72$
D.

$6\sqrt 2 $

Câu 5 :

Cho một hình cầu và hình trụ ngoại tiếp nó (đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính của hình cầu). Tính tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ.

A.

$3$
B.

$1$
C.

$\dfrac{1}{2}$
D.

$2$

Câu 6 :

Cho một hình cầu nội tiếp trong hình trụ. Biết rằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính của hình cầu. Tính tỉ số giữa thể tích hình cầu và thể tích hình trụ.

A.

$\dfrac{2}{3}$
B.

$\dfrac{3}{2}$
C.

$\dfrac{1}{2}$
D.

$2$

Câu 7 :

Cho một hình cầu và một hình lập phương ngoại tiếp nó. Tính tỉ số giữa diện tích mặt cậu và diện tích toàn phần của hình lập phương.

A.

$\dfrac{6}{\pi }$
B.

$\dfrac{1}{6}$
C.

$\dfrac{\pi }{6}$
D.

$\dfrac{1}{3}$

Câu 8 :

Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ có cạnh góc vuông bằng $a$. Tính diện tích mặt cầu được tạo thành khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ một vòng quanh cạnh $BC$.

A.

$2\pi {a^2}$
B.

$\dfrac{{\pi {a^2}}}{2}$
C.

$\dfrac{{{a^2}}}{2}$
D.

$\dfrac{{\pi a}}{2}$

Câu 9 :

Cho một tam giác đều $ABC$ có cạnh $AB = 8cm$, đường cao $AH$. Khi đó thể tích hình cầu được tạo thành khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ một vòng quanh $AH$.

A.

$\dfrac{{\pi {a^3}}}{{54}}$
B.

$\dfrac{{\sqrt 3 \pi {a^3}}}{{72}}$
C.

$\dfrac{{\sqrt 3 \pi {a^3}}}{{54}}$
D.

$\dfrac{{\pi {a^3}}}{{72}}$

Câu 10 :

Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 4\,cm;AD = 3\,cm$ . Tính diện tích mặt cầu thu được khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật $ABCD$ quay quanh đường thẳng $MN$ với $M$ là trung điểm $AD$ , $N$ là trung điểm $BC$ .

A.

$25\pi $
B.

$\dfrac{{25\pi }}{8}$
C.

$25$
D.

$\dfrac{{25\pi }}{4}$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Cho hình cầu có đường kính $d = 6\,cm$ . Diện tích mặt cầu là

A.

$36\pi \,\left( {c{m^2}} \right)$
B.

$9\pi \,\left( {c{m^2}} \right)$
C.

$12\pi \,\left( {c{m^2}} \right)$
D.

$36\pi \,\left( {cm} \right)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức diện tích mặt cầu $S = 4\pi {R^2}$

Lời giải chi tiết :

Vì đường kính $d = 6\,cm$ nên bán kính hình cầu $R = \dfrac{6}{2} = 3\,\,cm$

Diện tích mặt cầu $S = 4\pi {R^2} = 4\pi {.3^2} = 36\pi \,\,\left( {c{m^2}} \right)$

Câu 2 :

Cho mặt cầu có thể tích $V = 288\pi \,\left( {c{m^3}} \right)$ . Tính đường kính mặt cầu.

A.

$6\,cm$
B.

$12\,cm$
C.

$8\,cm$
D.

$16\,cm$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức thể tích khối cầu $V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}$ để tính bán kính, từ đó suy ra đường kính của mặt cầu.

Lời giải chi tiết :

Ta có $V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = 288\pi \Rightarrow {R^3} = 216 \Rightarrow R = 6\,cm$

Từ đó đường kính mặt cầu là $d = 2R = 2.6 = 12\,cm$.

Câu 3 :

Cho mặt cầu có số đo diện tích bằng với số đo thể tích. Tính bán kính mặt cầu.

A.

$3$
B.

$6$
C.

$9$
D.

$12$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức thể tích khối cầu $V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}$ và diện tích mặt cầu $S = 4\pi {R^2}$

Lời giải chi tiết :

Từ giả thiết ta có $4\pi {R^2} = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} \Rightarrow {R^3} = 3{R^2} \Rightarrow R = 3\,$

Câu 4 :

A.

$3$
B.

$6\sqrt 3 $
C.

$72$
D.

$6\sqrt 2 $

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức diện tích mặt cầu $S = 4\pi {R^2}$ và diện tích toàn phần của hình nón ${S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2}$

Sử dụng công thức liên hệ ${l^2} = {R^2} + {h^2}$ để tính chiều cao của hình nón.

Lời giải chi tiết :

Gọi $l$ là độ dài đường sinh của hình nón.

Vì bán kính hình cầu và bán kính đáy của hình nón bằng nhau nên từ giả thiết ta có $4\pi {R^2} = \pi Rl + \pi {R^2} \Leftrightarrow 4{R^2} = Rl + {R^2} \Leftrightarrow 3{R^2} = Rl \Rightarrow l = 3R = 3.3 = 9\,cm$

Sử dụng công thức liên hệ trong hình nón ta có ${h^2} = {l^2} – {R^2} = {9^2} – {3^2} = 72 $

$\Rightarrow h = 6\sqrt 2 \,\,cm$.

Câu 5 :

A.

$3$
B.

$1$
C.

$\dfrac{1}{2}$
D.

$2$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức diện tích mặt cầu $S = 4\pi {R^2}$ và diện tích xung quanh của hình trụ ${S_{xq}} = 2\pi Rh$

Lời giải chi tiết :

Vì đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính hình cầu nên $h = 2R$ với $R$ là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ.

Diện tích mặt cầu $S = 4\pi {R^2}$ , diện tích xung quanh của hình trụ ${S_{xq}} = 2\pi Rh = 2\pi R.2R = 4\pi {R^2}$

Tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ là $\dfrac{S}{{{S_{xq}}}} = \dfrac{{4\pi {R^2}}}{{4\pi {R^2}}} = 1$ .

Câu 6 :

A.

$\dfrac{2}{3}$
B.

$\dfrac{3}{2}$
C.

$\dfrac{1}{2}$
D.

$2$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức thể tích hình cầu $V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}$ và thể tích của khối trụ $V = \pi {R^2}h$

Lời giải chi tiết :

Thể tích hình cầu ${V_c} = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}$ ; thể tích khối trụ ${V_t} = \pi {R^2}.2R = 2\pi {R^3}$

Tỉ số thể tích hình cầu và thể tích hình trụ là $\dfrac{{{V_c}}}{{{V_t}}} = \dfrac{{\dfrac{4}{3}\pi {R^3}}}{{2\pi {R^3}}} = \dfrac{2}{3}$ .

Câu 7 :

Cho một hình cầu và một hình lập phương ngoại tiếp nó. Tính tỉ số giữa diện tích mặt cậu và diện tích toàn phần của hình lập phương.

A.

$\dfrac{6}{\pi }$
B.

$\dfrac{1}{6}$
C.

$\dfrac{\pi }{6}$
D.

$\dfrac{1}{3}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức diện tích mặt cầu $S = 4\pi {R^2}$ và diện tích toàn phần của hình lập phương ${S_{tp}} = 6{a^2}$ với $a$ là độ dài cạnh của hình lập phương.

Lời giải chi tiết :

Vì hình cầu nội tiếp hình lập phương nên bán kính hình cầu $R = \dfrac{a}{2}$ với $a$ là cạnh hình lập phương.

Khi đó ta có diện tích mặt cầu $S = 4\pi {R^2} = 4\pi .{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \pi {a^2}$

Diện tích toàn phần của hình lập phương ${S_{tp}} = 6{a^2}$

Tỉ số giữa diện tích mặt cậu và diện tích toàn phần của hình lập phương là $\dfrac{S}{{{S_{tp}}}} = \dfrac{{\pi {a^2}}}{{6{a^2}}} = \dfrac{\pi }{6}$

Câu 8 :

A.

$2\pi {a^2}$
B.

$\dfrac{{\pi {a^2}}}{2}$
C.

$\dfrac{{{a^2}}}{2}$
D.

$\dfrac{{\pi a}}{2}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$

Sử dụng công thức diện tích mặt cầu $S = 4\pi {R^2}$

Lời giải chi tiết :

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên có đường tròn ngoại tiếp là đường tròn đường kính $BC$ .

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là $R = \dfrac{{BC}}{2}$

Theo định lý Pytago ta có $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = 2{a^2} \Rightarrow BC = a\sqrt 2 $ $ \Rightarrow R = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ một vòng quanh cạnh $BC$ ta được hình cầu có bán kính $R = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$ nên diện tích mặt cầu là $S = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 2\pi {a^2}$ .

Câu 9 :

A.

$\dfrac{{\pi {a^3}}}{{54}}$
B.

$\dfrac{{\sqrt 3 \pi {a^3}}}{{72}}$
C.

$\dfrac{{\sqrt 3 \pi {a^3}}}{{54}}$
D.

$\dfrac{{\pi {a^3}}}{{72}}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Công thức thể tích hình cầu $V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}$

Lời giải chi tiết :

Vì $\Delta ABC$ là tam giác đều nên tâm đường tròn nội tiếp trùng với trọng tâm $O$ của tam giác.

Khi đó bán kính đường tròn nội tiếp là $R = OH = \dfrac{{AH}}{3}$

Xét tam giác vuông $ABH$ có $A{H^2} = A{B^2} – B{H^2} = {a^2} – {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4} \Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Suy ra $R = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}$

Khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ một vòng quanh $AH$ ta được hình cầu bán kính $R = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}$$ \Rightarrow V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)^3} = \dfrac{{\sqrt 3 \pi {a^3}}}{{54}}$

Câu 10 :

A.

$25\pi $
B.

$\dfrac{{25\pi }}{8}$
C.

$25$
D.

$\dfrac{{25\pi }}{4}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Công thức diện tích mặt cầu $S = 4\pi {R^2}$

Lời giải chi tiết :

Gọi $O$ là tâm của hình chữ nhật nên $OA = OB = OC = OD$ nên $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật $ABCD$ . Khi đó bán kính đường tròn là $R = OA = \dfrac{{AC}}{2}$

Theo định lý Pytago ta có $A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25 \Rightarrow AC = 5$ (vì $AB = DC = 4\,cm$ )$ \Rightarrow R = \dfrac{5}{2}$

Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật $ABCD$ quay quanh đường thẳng $MN$ với $M$ là trung điểm $AD$ , $N$ là trung điểm $BC$ ta được một hình cầu tâm $O$ bán kính $R = \dfrac{5}{2}$

Diện tích mặt cầu là $S = 4\pi {R^2} = 4.\pi {\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^2} = 25\pi $ $\left( {cm} \right)$ .

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE