11. Tổng hợp câu hay và khó về hệ thức Vi-et

Khi $m =  – 2$, ta có phương trình: ${x^4} + 2{x^3} – {x^2} – 2x + 1 = 0$

Kiểm tra ta thấy $x = 0$ không là nghiệm của phương trình

Chia hai vế của phương trình cho ${x^2}$ ta được: ${x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} + 2\left( {1 – \dfrac{1}{x}} \right) – 1 = 0$

Đặt $t = x – \dfrac{1}{x}$, suy ra ${x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = {t^2} + 2$. Thay vào phương trình trên ta được: ${t^2} + 2t – 1 = 0 \Leftrightarrow t =  – 1$. Với $t =  – 1$ ta được $x – \dfrac{1}{x} =  – 1 \Leftrightarrow {x^2} + x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ – 1 \pm \sqrt 5 }}{2}$. Vậy với $m =  – 2$ phương tình có nghiệm $x = \dfrac{{ – 1 \pm \sqrt 5 }}{2}$.

Nếu $x = 0$ phương trình đã cho thành: ${\left( {m + 1} \right)^2} = 0$

Khi $m \ne  – 1$ phương trình vô nghiệm.

Khi $m =  – 1$ thì $x = 0$ là một nghiệm của phương trình đã cho và khi đó phương trình đã cho có dạng ${x^4} + {x^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  – 1\end{array} \right.$. Trong trường hợp này phương trình chỉ có hai nghiệm nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó $x \ne 0$ và $m \ne  – 1$. Chia hai vế của phương trình cho ${x^2} \ne 0$ và đặt $t = x + \dfrac{{\left( {m + 1} \right)}}{x}$. Ta thu được phương trình: ${t^2} – mt – \left( {m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  – 1\\t = m + 1\end{array} \right.$

Với $t =  – 1$ ta được ${x^2} + x + \left( {m + 1} \right) = 0$   (1)

Với $t = m + 1$ ta được ${x^2} – \left( {m + 1} \right)x + \left( {m + 1} \right) = 0$   (2)

Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi mỗi một trong các phương trình (1) và (2) đều có hai nghiệm phân biệt, đồng thời chúng không có nghiệm chung.

Để (1) và (2) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

$\left\{ \begin{array}{l}1 – 4\left( {m + 1} \right) > 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} – 4\left( {m + 1} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m <  – 1$     (*)

Khi đó nếu ${x_0}$ là một nghiệm chung của (1) và (2) thì: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {m + 1} \right) =  – x_0^2 – {x_0}\\\left( {m + 1} \right) =  – x_0^2 + \left( {m + 1} \right){x_0}\end{array} \right.$

Suy ra $\left( {m + 2} \right){x_0} = 0$ điều này tương đương với hoặc $m =  – 2$ hoặc ${x_0} = 0$.

Nếu ${x_0} = 0$ thì $m =  – 1$ (không thỏa mãn).

Nếu $m =  – 2$ thì (1) và (2) cùng có hai nghiệm $x = \dfrac{{ – 1 \pm \sqrt 5 }}{2}$

Do đó kết hợp với (*), suy ra phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $– 2 \ne m <  – 1$.