5. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số

Đề bài

Câu 1 :

Biết hệ phương trình: {2x+by=abx+ay=5 có nghiệm x=1; y=3.Tính 10(a+b)

  • A.

    15

  • B.

    16

  • C.

    14

  • D.

    17

Câu 2 :

Cho hệ phương trình {x+2y=m+32x3y=m  (m là tham số) . Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn x+y=3.

  • A.

    m=6

  • B.

    m=6

  • C.

    m=3

  • D.

    m=4

Câu 3 :

Cho hệ phương trình {2x+y=5m1x2y=2. Có bao nhiêu giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn: x22y2=2

  • A.

    0

  • B.

    1

  • C.

    2

  • D.

    3

Câu 4 :

Cho hệ phương trình {(m1)x+y=2mx+y=m+1 (m là tham số) . Nghiệm của hệ phương trình khi m=2 là

  • A.

    (x;y)=(1;1)

  • B.

    (x;y)=(1;1)

  • C.

    (x;y)=(1;1)

  • D.

    (x;y)=(1;1)

Câu 5 :

Cho hệ phương trình {(m1)x+y=2mx+y=m+1 (m là tham số). Kết luận nào sau đây là đúng khi nói về nghiệm (x;y) của hệ phương trình

  • A.

    Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn 2x+y3

  • B.

    Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn 2x+y>3

  • C.

    Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn 2x+y3

  • D.

    Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn 2x+y=3

Câu 6 :

Biết rằng  hệ phương trình {(m2)x3y=5x+my=3có nghiệm duy nhất với mọi m. Tìm nghiệm duy nhất đó theo m.

  • A.

    (x;y)=(9+5mm22m+3;3m+1m22m+3)

  • B.

    (x;y)=(95mm22m+3;3m1m22m+3)

  • C.

    (x;y)=(95mm22m+3;3m1m22m+3)

  • D.

    (x;y)=(95mm22m+3;3m+1m22m+3)

Câu 7 :

Cho hệ phương trình {3x+y=2m+9x+y=5 có nghiệm (x;y). Tìm m để biểu thức A=xy+x1 đạt giá trị lớn nhất.

  • A.

    m=1

  • B.

    m=0

  • C.

    m=1

  • D.

    m=2

Câu 8 :

Cho hệ phương trình: {x+my=m+1mx+y=2m (m là tham số). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn {x2y1

  • A.

    m<1

  • B.

    m<1

  • C.

    m>1

  • D.

    m>1

Câu 9 :

Cho hệ phương trình :{2x+ay=4ax3y=5. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi

  • A.

    a<1

  • B.

    a<2

  • C.

    Mọi a

  • D.

    a>1

Câu 10 :

Cho hệ phương trình: {(a+1)xy=a+1(1)x+(a1)y=2(2) (a là tham số)

Với a0 hệ có nghiệm duy nhất (x;y). Tính x+y theo a

  • A.

    x+y=a2+a+2a2          

  • B.

    x+y=a2+2a2

  • C.

    x+y=a2+a+1a2

  • D.

    x+y=a+2a2

Câu 11 :

Cho hệ phương trình: {(a+1)xy=a+1(1)x+(a1)y=2(2)

(a là tham số)

Với a0 hệ có nghiệm duy nhất (x;y). Tìm các số nguyên a để hệ phương trình có nghiệm nguyên

  • A.

    a=1

  • B.

    a=1

  • C.

    a{±1}

  • D.

    a=±1

Câu 12 :

Cho hệ phương trình{x+2y=2mxy=m. Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y), tìm điều kiện của m để x>1y>0.

  • A.

    m>0

  • B.

    m>1

  • C.

    m<1

  • D.

    m>2

Câu 13 :

Cho hệ phương trình{mxy=2m4xmy=m+6. Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y), tìm hệ thức liên hệ giữa x,y không phụ thuộc vào m

  • A.

    2x+y+3=0

  • B.

    2xy=3

  • C.

    2x+y=3

  • D.

    2x+y=3

Câu 14 :

Cho hệ phương trình{mxy=2m4xmy=m+6. Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y), tìm giá trị của m để : 6x2y=13.

  • A.

    m=9

  • B.

    m=9

  • C.

    m=8

  • D.

    m=8

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Biết hệ phương trình: {2x+by=abx+ay=5 có nghiệm x=1; y=3.Tính 10(a+b)

  • A.

    15

  • B.

    16

  • C.

    14

  • D.

    17

Đáp án : B

Phương pháp giải :

-Thay x;y vào hệ phương trình ta được hệ phương trình mới ẩn a,b.

-Giải hệ phương trình mới bằng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế ta tìm được a,b

Lời giải chi tiết :

Thay x=1; y=3 vào hệ ta có:

{2.1+b.3=ab.1+a.3=5{a3b=23a+b=5{3a9b=63a+b=5{10b=13a+b=5{b=110a=1710.

Vậy a=110; y=1710 thì hệ phương trình có nghiệm x=1; y=3.

10(a+b)=16

Câu 2 :

Cho hệ phương trình {x+2y=m+32x3y=m  (m là tham số) . Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn x+y=3.

  • A.

    m=6

  • B.

    m=6

  • C.

    m=3

  • D.

    m=4

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Giải hệ phương trình tìm được nghiệm (x,y) theo tham số m

Bước 2: Thay x,y vừa tìm được vào hệ thức yêu cầu để tìm m

Lời giải chi tiết :

Ta có {x+2y=m+32x3y=m{2x+4y=2m+62x3y=m{x+2y=m+37y=m+6{x=5m+97y=m+67

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y)=(5m+97;m+67).

Lại có x+y=3 hay 5m+97+m+67=35m+9+m+6=216m=36m=6

Vậy với m=6 thì hệ phương trình  có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn x+y=3.

Câu 3 :

Cho hệ phương trình {2x+y=5m1x2y=2. Có bao nhiêu giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn: x22y2=2

  • A.

    0

  • B.

    1

  • C.

    2

  • D.

    3

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Giải hệ phương trình tìm được nghiệm (x,y) theo tham số m

Bước 2: Thay x,y vừa tìm được vào hệ thức yêu cầu để tìm m

Lời giải chi tiết :

Ta có {2x+y=5m1x2y=2{y=5m12xx2(5m12x)=2{y=5m12x5x=10m{x=2my=m1

Thay vào x22y2=2 ta có

x22y2=2(2m)22(m1)2=22m2+4m=0[m=0m=2

Vậy m{2;0}.

Câu 4 :

Cho hệ phương trình {(m1)x+y=2mx+y=m+1 (m là tham số) . Nghiệm của hệ phương trình khi m=2 là

  • A.

    (x;y)=(1;1)

  • B.

    (x;y)=(1;1)

  • C.

    (x;y)=(1;1)

  • D.

    (x;y)=(1;1)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Thay m vào hệ phương trình rồi giải hệ bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số ta tìm được nghiệm.

Lời giải chi tiết :

Thay m=2 vào hệ ta được {x+y=22x+y=3

Khi đó {x+y=22x+y=3{x+y=2x=1{x=1y=1

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1;1) khi m=2.

Câu 5 :

Cho hệ phương trình {(m1)x+y=2mx+y=m+1 (m là tham số). Kết luận nào sau đây là đúng khi nói về nghiệm (x;y) của hệ phương trình

  • A.

    Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn 2x+y3

  • B.

    Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn 2x+y>3

  • C.

    Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn 2x+y3

  • D.

    Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn 2x+y=3

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Giải hệ phương trình tìm được nghiệm (x,y) theo tham số m

Bước 2: Thay x,y vừa tìm được vào hệ thức yêu cầu để tìm m

Lời giải chi tiết :

Từ (m1)x+y=2 thế vào phương trình còn lại ta được phương trình: 

mx+2(m1)x=m+1x=m1 suy ra y=2(m1)2 với mọi m

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y)=(m1;2(m1)2)

2x+y=2(m1)+2(m1)2=m2+4m1

=3(m2)23 với mọi m.

Câu 6 :

Biết rằng  hệ phương trình {(m2)x3y=5x+my=3có nghiệm duy nhất với mọi m. Tìm nghiệm duy nhất đó theo m.

  • A.

    (x;y)=(9+5mm22m+3;3m+1m22m+3)

  • B.

    (x;y)=(95mm22m+3;3m1m22m+3)

  • C.

    (x;y)=(95mm22m+3;3m1m22m+3)

  • D.

    (x;y)=(95mm22m+3;3m+1m22m+3)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Rút x từ phương trình dưới thay vào phương trình trên

Bước 2: Tìm y theo phương trình mới, từ đó suy ra x

Lời giải chi tiết :

Ta có {(m2)x3y=5x+my=3{(m2)(3my)3y=5x=3my{3mm2y6+2my3y=5x=3my

{(m22m+3)y=3m1(1)x=3my(2)

Ta có: m22m+3=(m1)2+2>0m nên PT (1) có nghiệm duy nhất m

Hay hệ phương trình có nghiệm duy nhất m

Từ (1) ta có:y=3m1m22m+3 thay vào (2) ta có x=95mm22m+3

Vậy (x;y)=(95mm22m+3;3m1m22m+3)

Câu 7 :

Cho hệ phương trình {3x+y=2m+9x+y=5 có nghiệm (x;y). Tìm m để biểu thức A=xy+x1 đạt giá trị lớn nhất.

  • A.

    m=1

  • B.

    m=0

  • C.

    m=1

  • D.

    m=2

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Giải hệ phương trình tìm được nghiệm (x,y) theo tham số m

Bước 2: Thay x,y vừa tìm được vào hệ thức yêu cầu để tìm m

Lời giải chi tiết :

Ta có {3x+y=2m+9x+y=5{x=m+2y=3mA=xy+x1=8(m1)2 Amax=8 khi m=1.

Câu 8 :

Cho hệ phương trình: {x+my=m+1mx+y=2m (m là tham số). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn {x2y1

  • A.

    m<1

  • B.

    m<1

  • C.

    m>1

  • D.

    m>1

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Giải hệ phương trình tìm được nghiệm (x,y) theo tham số m

Bước 2: Thay x,y vừa tìm được vào hệ thức yêu cầu để tìm m

Lời giải chi tiết :

Xét hệ {x+my=m+1(1)mx+y=2m(2)

Từ (2) y=2mmx thay vào (1) ta được x+m(2mmx)=m+12m2m2x+x=m+1

(1m2)x=2m2+m+1(m21)x=2m2m1 (3)         

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (3)có nghiệm duy nhất m210m±1 ()

Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất {x=2m+1m+1y=mm+1

Ta có {x2y1{2m+1m+12mm+11{1m+101m+10m+1<0m<1

Kết hợp với () ta được giá trị m cần tìm là m<1.

Câu 9 :

Cho hệ phương trình :{2x+ay=4ax3y=5. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi

  • A.

    a<1

  • B.

    a<2

  • C.

    Mọi a

  • D.

    a>1

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hệ phương trình {ax+by=cax+by=c có nghiệm duy nhất khi aabb với a,b0.

Lời giải chi tiết :

Ta xét 2 trường hợp:

+ Nếu a=0, hệ có dạng: {2x=43y=5{x=2y=53. Vậy hệ có nghiệm duy nhất.

+ Nếu a0, hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: 2aa3a26 (luôn đúng, vì a20 với mọi a)

Do đó, với a0, hệ luôn có nghiệm duy nhất.

Tóm lại hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất với mọi a.

Câu 10 :

Cho hệ phương trình: {(a+1)xy=a+1(1)x+(a1)y=2(2) (a là tham số)

Với a0 hệ có nghiệm duy nhất (x;y). Tính x+y theo a

  • A.

    x+y=a2+a+2a2          

  • B.

    x+y=a2+2a2

  • C.

    x+y=a2+a+1a2

  • D.

    x+y=a+2a2

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Rút x từ phương trình dưới thay vào phương trình trên

Bước 2: Tìm y theo phương trình mới, từ đó suy ra x

Lời giải chi tiết :

Từ PT (1) ta có: y=(a+1)x(a+1)() thế vào PT (2) ta được: x+(a1)[(a+1)x(a+1)]=2x+(a21)x(a21)=2a2x=a2+1(3) 

Với a0, phương trình (3) có nghiệm duy nhất x=a2+1a2. Thay vào () ta có:

y=(a+1)a2+1a2(a+1)=(a+1)(a2+1)a2(a+1)a2=a3+a+a2+1a3a2a2=a+1a2

Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất(x;y)=(a2+1a2;a+1a2)

x+y=a2+1a2+a+1a2=a2+a+2a2

Câu 11 :

Cho hệ phương trình: {(a+1)xy=a+1(1)x+(a1)y=2(2)

(a là tham số)

Với a0 hệ có nghiệm duy nhất (x;y). Tìm các số nguyên a để hệ phương trình có nghiệm nguyên

  • A.

    a=1

  • B.

    a=1

  • C.

    a{±1}

  • D.

    a=±1

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1: Rút x từ phương trình dưới thay vào phương trình trên

Bước 2: Tìm y theo phương trình mới, từ đó suy ra x

Bước 3: Từ điều kiện x,y nguyên để tìm a.

Lời giải chi tiết :

Từ PT (1) ta có: y=(a+1)x(a+1) (*) thế vào PT (2) ta được: x+(a1)[(a+1)x(a+1)]=2x+(a21)x(a21)=2a2x=a2+1(3)

Với a0, phương trình (3) có nghiệm duy nhất x=a2+1a2. Thay vào () ta có:

y=(a+1)a2+1a2(a+1)=(a+1)(a2+1)a2(a+1)a2=a3+a+a2+1a3a2a2=a+1a2

Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất(x;y)=(a2+1a2;a+1a2)

Hệ phương trình có nghiệm nguyên: {xZyZ{a2+1a2Za+1a2Z(aZ)

Điều kiện cần: x=a2+1a2=1+1a2Z

1a2Z mà  a2>0 

a2=1a=±1 (TM a0)

Điều kiện đủ:

a=1y=0Z (nhận)

a=1y=2Z (nhận)

Vậy a=±1 hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên.

Câu 12 :

Cho hệ phương trình{x+2y=2mxy=m. Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y), tìm điều kiện của m để x>1y>0.

  • A.

    m>0

  • B.

    m>1

  • C.

    m<1

  • D.

    m>2

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Giải hệ phương trình tìm được nghiệm (x,y) theo tham số m

Bước 2: Thay x,y vừa tìm được vào hệ thức yêu cầu để tìm m

Lời giải chi tiết :

Ta có {x+2y=2mxy=m.{x=22ym(22y)y=m{x=22y(2m+1)y=m

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì m12

Suy ra y=m2m+1x=22.m2m+1x=2m+22m+1

Vậy hệ có nghiệm duy nhất  {x=2m+22m+1y=m2m+1

Để {x>1y>0{2m+22m+1>1m2m+1>0{12m+1>0m2m+1>0{2m+1>0m>0{m>12m>0m>0

Kết hợp điều kiện m12 ta có m>0.

Câu 13 :

Cho hệ phương trình{mxy=2m4xmy=m+6. Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y), tìm hệ thức liên hệ giữa x,y không phụ thuộc vào m

  • A.

    2x+y+3=0

  • B.

    2xy=3

  • C.

    2x+y=3

  • D.

    2x+y=3

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1: Giải hệ phương trình tìm được nghiệm (x,y) theo tham số m.

Bước 2: Dùng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế làm mất tham số m và kết luận.

Lời giải chi tiết :

Ta có {mxy=2m4xmy=m+6.{y=mx2m4xm(mx2m)=m+6{y=mx2mx(m24)=2m2m6

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi m240m{2;2}

Khi đó x=2m2m6m24=(2m+3)(m2)(m2)(m+2)=2m+3m+2y=m.2m+3m+22m=mm+2

{x=2m+3m+2y=mm+2{x=21m+2y=1+2m+2{2x=42m+2y=1+2m+22x+y=3.

Vậy hệ thức không phụ thuộc vào m2x+y=3.

Câu 14 :

Cho hệ phương trình{mxy=2m4xmy=m+6. Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y), tìm giá trị của m để : 6x2y=13.

  • A.

    m=9

  • B.

    m=9

  • C.

    m=8

  • D.

    m=8

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Giải hệ phương trình tìm được nghiệm (x,y) theo tham số m

Bước 2: Thay x,y vừa tìm được vào phương trình yêu cầu để tìm m

Lời giải chi tiết :

Ta có {mxy=2m4xmy=m+6.{y=mx2m4xm(mx2m)=m+6{y=mx2mx(m24)=2m2m6

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi m240m{2;2}

Khi đó x=2m2m6m24=(2m+3)(m2)(m2)(m+2)=2m+3m+2y=m.2m+3m+22m.

Thay {x=2m+3m+2y=mm+2 vào phương trình 6x2y=13 ta được

6.2m+3m+22.mm+2=13

14m+18m+2=13

14m+18=13m+26

m=8(TM)

Vậy m=8 là giá trị cần tìm.

TẢI APP ĐỂ XEM OFFLINE