5. Bài 5: Hệ số góc của đường thẳng

Giả sử  \(AH:y = {\rm{ax}} + b\)

Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC nên:  \(\displaystyle a.{{ – 1} \over 3} =  – 1 \Leftrightarrow a = 3\)

Mặt khác AH đi qua A(1 ; 2) nên ta có: \(3.1 + b = 2 \Leftrightarrow b =  – 1\)

Vậy \(AH:y = 3x – 1\)

Giả sử  \(MN:y = {\rm{ax}} + b\)

Ta có N thuộc \(MN \Rightarrow 0 = a.1 + b \Rightarrow a =  – b\)

M thuộc  \(MN \Rightarrow 2 = a.0 + b \Rightarrow b = 2 \Rightarrow a =  – 2\)

Do đó \(MN:y =  – 2{\rm{x}} + 2\)

Vì M, N lần lượt là rung điểm của các cạnh BC, CA của tam giác ABC nên MN là đường trung bình của tam giác \(ABC \Rightarrow MN//AB\)

Suy ra AB có dạng: \(y =  – 2x + b'(b’ \ne 2)\)

Vì P là trung điểm của AB nên AB đi qua \(P( – 1; -1)\)

\( \Rightarrow  – 1 =  – 2( – 1) + b’ \Leftrightarrow b’ =  – 3(t/m)\)

Vậy \(AB:y =  – 2x – 3.\)

Gọi phương trình đường trung trực của AB là \(d:y = mx + n\) và  \(MN:y = ax + b\)

Ta có N thuộc  \(MN \Rightarrow 0 = a.1 + b \Rightarrow a =  – b\)

M thuộc  \(MN \Rightarrow 2 = a.0 + b \Rightarrow b = 2 \Rightarrow a =  – 2\)

Do đó  \(MN:y =  – 2{\rm{x}} + 2\)

Vì M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA của tam giác ABC nên MN là đường trung bình của tam giác \(ABC \Rightarrow MN//AB\)

Vì d là đường trung trực của AB nên \(\displaystyle  BC \bot MN \Rightarrow m( – 2) =  – 1 \Leftrightarrow m = {1 \over 2}\)

\(\displaystyle  \Rightarrow d:y = {1 \over 2}x + n\)

Vì P là trung điểm của AB nên d  đi qua P

\( \displaystyle \Rightarrow  – 1 = {1 \over 2}( – 1) + n \Leftrightarrow n =  – {1 \over 2}\)

Vậy trung trực của AB là : \(\displaystyle  y = {1 \over 2}x – {1 \over 2}\)